内蒙古通辽市科尔沁区第七中学2025-2026学年 八年级下学期数学学情自测试卷（4月份）

**基本信息** 以中国结、无人机测量等真实情境为载体，覆盖二次根式、勾股定理及特殊四边形等核心知识，通过基础辨析与探究创新的梯度设计，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|二次根式意义（1）、勾股定理逆定理（2）、矩形性质（3）|结合坐标系考查正方形变形（7），体现几何直观| |填空题|4/12|中位线应用（9）、勾股定理与面积（11）、菱形性质（12）|小长方形拼图求周长（10），渗透模型意识| |解答题|6/54|二次根式运算（13）、菱形证明与面积（15）、无人机高度测量（17）|几何探究题（18）通过构造中位线/倍长中线，发展推理能力|

2025-2026学年八年级（下）数学月考试卷（4月份） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＜7 B．x≤7 C．x＞7 D．x≥7 2．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的为（　　） A．1，， B．2，3， C．5，13，12 D．4，，5 3．（3分）下列说法中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 4．（3分）下列各式计算正确的是（　　） A． B．22 C．32 D． 5．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 6．（3分）中国结象征着中华民族的历史文化与精神．小乐家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，于是利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝4cm，∠DAB＝60°，直线EF过点O且与AB垂直，分别交AB，DC于E，F，则EF的长为（　　） A． B． C．4cm D． 7．（3分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（　　） A．（，1） B．（2，1） C．（1，） D．（2，） 8．（3分）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论： ①DN＝BM； ②EM∥FN； ③AE＝FC； ④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形． 其中，正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．（3分）如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记OA，OB的中点分别为点D，E，测得DE＝18米，则A，B间的距离是　 　 ． 10．（3分）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为 　 　 ． 11．（3分）如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知AC＝8，BC＝6，其中阴影部分的面积是 　 　 ． 12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH．若OA＝8，OH＝4，则菱形ABCD的面积为 　 　 ． 三、解答题 13．（10分）计算： （1）； （2）（）（）﹣1+|2|． 14．（9分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE． 求证：BE＝DF． 15．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积． 16．（10分）[知识再现] 乘积是1的两个数互为倒数．如：21，我们就说2和互为倒数． [主题探究] 在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：由（1）（1）＝1，可得1与1互为倒数，即，． 类似地，，；2，2． [启发应用] 根据以上规律，解决下列问题： （1）　 　 ，　 　 ；（n为正整数） （2）若2m，则m＝　 　 ； （3）计算：　 　 ． 17．（12分）综合与实践】在数学项目式学习活动中，小轩同学尝试利用勾股定理测量无人机悬停时离地面的垂直高度．他将问题抽象为如下几何模型，并记录了测册数据．请根据表格信息，完成以下任务． 项目主题 无人机定点悬停高度测量 测量工具 具备测距功能的无人机及配套遥控器 测量示意图 相关说明 （1）点A，B，C，D，E，F，G在同一竖直平面内； （2）点D，F，B在同一水平线上； （3）遥控器离地面的高度CD＝EF＝1.5米，围墙的高度FG＝2.4米． 测量步骤 （1）观测者站在围墙外D处，无人机悬停在围墙上方G处，遥控器显示无人机到遥控器的距离CG＝4.1米； （2）观测者保持位置不变，无人机飞到教学楼顶部A处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AC＝15米； （3）无人机悬停在教学楼顶部A处，观测者从D向教学楼走到F处，遥控器显示无人机到遥控器的距离AE＝13米． 完成任务 （1）求观测点D到围墙的水平距离CE； （2）求教学楼的高度AB（忽略无人机自身尺寸）． 18．（13分）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在四边形ABCD中，∠A+∠ABC＝90°，AD＝10，BC＝8，点P、Q分别为AB、CD的中点，求PQ的长． 有两名同学思考良久之后，给出如下的解题思路： 如图2，小鹏同学思考的时候，发现有“两个中点P、Q”，于是想到了老师讲过的“中位线的构造技巧”的这个解题经验，建立图2的辅助线，连接BD，取BD的中点H，连接PH，QH，再通过“中位线的性质”将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 如图3，小亮同学思考的时候，发现题中有“∠A+∠ABC＝90°”，于是就想把这两个角合到一起，于是就利用“中线倍长的构造技巧”的这个解题经验，建立图3的辅助线，连接DP并延长DP，使PH＝DP，再连接CH，BH，再通过“倍长中线”后的性质，将已知线段转移到同一个三角形中把问题解决； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明线段的关系转化为我们熟悉的角的关系去理解；为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答： 如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接AE使AE⊥BD，探究AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）如图5，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF＝8，CF＝3，请求出FD的长． 2023-2024学年辽八年级（下）数学月考试卷（4月份） 参考答案与试题解析 一、选择题 1．D． 2．D． 3．D． 4．C． 5．C． 6．A． 7．D． 8．D． 二、填空题 9．36米． 10．22． 11．56． 12．64． 三、解答题 13．解：（1）原式 ； 解：（2）原式2﹣（2） ＝﹣222 ＝﹣3． 14．（9分）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OD＝OB， ∵AF＝CE， ∴OE＝OF， 在△BEO和△DFO中， ， ∴△BEO≌△DFO（SAS）， ∴BE＝DF． 15．（1）证明：∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ∵， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴AF＝DB， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CDBC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：设AF到CD的距离为h， ∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°， ∴S菱形ADCF＝CD•hBC•h＝S△ABCAB•AC12×16＝96． 16．（1），； （2）±； （3）9． 17．解：任务一：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合， ∴EF垂直平分AB， ∴∠NEA＝90°，AN＝BN，AE＝BE， ∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处， ∴∠BAM＝∠BNM＝90°，BM垂直平分AN， ∴AB＝BN， ∴AB＝AN＝BN， ∴△ABN是等边三角形， ∴∠EBN＝60°， ∴∠ENB＝30°， ∴∠MNE＝60°， ∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处， ∴∠ABG＝∠HBG＝45°， ∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°， 故答案为：60；15； 证明：任务二：∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A′处， ∴ST垂直平分AA′， ∴AO＝A′O，AA′⊥ST， ∵AD∥BC， ∴∠ASO＝∠A′TO，∠SAO＝∠TA′O， ∴△ASO≌△A′TO（AAS）， ∴SO＝TO， ∴四边形SATA′是平行四边形， ∵AA′⊥ST， ∴四边形SATA′是菱形； 解：任务三：正确的数值为7，9，理由如下： ∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A′处， ∴AT＝A′T， 在Rt△A′TB中，A′T＞BT， ∴AT＞10﹣AT， ∴AT＞5， ∵点T在AB上， ∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10， ∴5＜AT≤10， ∴发现四中的4个数值中正确的数值为7，9， 故答案为：7，9． 18．解：（1）小鹏的做法：如图2，连接BD，取BD的中点H，连接PH，QH， ∵点P、Q分别为AB、CD的中点， ∴PH∥AD，，HQ∥BC，， ∴∠BPH＝∠A，∠DHQ＝∠DBC， ∴∠PHD＝∠BPH+∠ABD＝∠A+∠ABD， ∠PHQ＝∠A+∠ABD+∠DHQ＝∠A+∠ABC＝90°， 在直角三角形PQH中，由勾股定理得：， 小亮的做法：如图3，连接DP并延长，使PH＝DP，再连接CH，BH， ∵点P、Q分别为AB、CD的中点， ∴AP＝BP，∠APD＝∠BPH， 在△APD和△BPH中， ， ∴△APD≌△BPH（SAS）， ∴∠A＝∠HBP， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠PBH+∠ABC＝∠HBC＝90°， 在直角三角形BCH中，由勾股定理得：， ∵点P、Q分别为DH、CD的中点， ∴； （2）AB2＝AE2+BD2；理由如下： 如图4，延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT， ∵EC＝DC，∠ACE＝∠TCD， ∴△ACE≌△TCD（SAS）， ∴AE＝DT，∠EAC＝∠DTC， ∴AE∥DT， ∵AE⊥BD， ∴BD⊥DT， ∴∠TDB＝90°， 由勾股定理得：BT2＝DT2+BD2＝AE2+BD2， ∵∠ACB＝90°，AC＝CT， ∴BC是AT的垂直平分线， ∴BT＝BA， ∴AB2＝AE2+BD2； （3）如图5，延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵DF＝DT，∠ADF＝∠BDT， ∴△ADF≌△BDT（SAS）， ∴AF＝BT＝8，∠FAD＝∠TBD， ∴AF∥BT， ∵AF⊥CJ， ∴CJ⊥BT， ∴∠AFC＝∠CJB＝∠ACB＝90°， ∵∠ACF+∠BCJ＝90°，∠BCJ+∠CBJ＝90°， ∴∠ACF＝∠CBJ， ∵AC＝BC， ∴△AFC≌△CJB（AAS）， ∴CF＝BJ＝3，AF＝CJ＝8， ∴JT＝BT﹣BJ＝8﹣3＝5，FJ＝CJ﹣CF＝8﹣3＝5， ∴FJ＝JT， ∵∠FJT＝90°， ∴△FJT是等腰直角三角形， ∴， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $