江苏省南京市鼓楼区两校联考2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 2025-2026学年南京鼓楼区八年级下期末数学联考卷，以生活实践与几何探究为载体，融合统计、函数与四边形知识，凸显数学眼光与思维的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/12|因式分解、幂运算、几何性质|第5题结合旋转与矩形性质，考查空间观念| |填空题|10/20|统计抽样、反比例函数、折叠最值|第16题正方形折叠求AC′最小值，体现几何直观| |解答题|11/88|分式计算、几何证明、统计应用|21题足球文创价格问题（分式方程）、27题旋转综合题，凸显模型意识与推理能力|

2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区两校联考八年级（下）期末数学试卷 一、单选题（每小题2分，共12分） 1．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 2．（2分）多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 3．（2分）计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 4．（2分）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 5．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．点O为BC上一点，将△ABC绕点O旋转180°，得到△A'B'C'．若四边形ABA′B′是矩形，则BB'的长是（　　） A．6 B．6.25 C．6.5 D．6.75 6．（2分）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，且HF⊥EG．设BE＝a，CF＝b，DG＝c，AH＝d，则下列结论正确的是（　　） A．a+c＝b+d B．a+d＝b+c C．a2+c2＝b2+d2 D．a2+d2＝b2+c2 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．（2分）某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是　 　 ． 8．（2分）要记录近10天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是 　 　 ． 9．（2分）商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶、矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为　 　 °． 10．（2分）若方程有增根，则a的值为　 　 ． 11．（2分）为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是 　 　 ． 12．（2分）一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为　 　 ，频率为　 　 ． 13．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为 　 　 ． 14．（2分）在▱ABCD中，若∠A＝3∠B，则∠C＝　 　 °． 15．（2分）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　 　 ． 16．（2分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，连接AC′．当AC′的长最小时，BF的长为　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（8分）计算： （1）； （2）（）×（3）． 18．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 19．（8分）学校计划开展“行走南京”社会实践活动，有以下四条特色线路：A环湖路、B陵园路、C颐和路、D鸡鸣寺路．为了解学生对这四条线路的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　 　 ，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“颐和路”所对应的扇形圆心角的度数为　 　 °； （3）若该校共有380名学生，请估计选择“鸡鸣寺路”学生的人数． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F，连接AF、CD． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）当　 　 时，四边形ADCF是正方形． 21．（8分）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，BE⊥AD，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）连接AF，若AF平分∠BAD，AE＝3，AB＝5，则AF的长为　 　 ． 23．（8分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分，则四边形ABCD是矩形． 24．（8分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是　 　 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 25．（8分）在物理中，压强p（Pa）、压力F（N）、受力面积S（m2）满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有 　 　 ．（填写序号） （2）比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 26．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 27．（8分）如图，将四边形ABCD绕点A旋转，使得点B的对应点 B'恰好落在射线BD上，旋转后的四边形为 AB'C'D'，连接BC′交AD于点E． （1）如图①，若四边形ABCD为正方形，则四边形ABDC′是 　 　 .（填序号） ①平行四边形②矩形③菱形 （2）如图②，若四边形ABCD为矩形， （Ⅰ）求证AE＝DE； （Ⅱ）若 AB＝6，BC＝8，B'C'交AD于点F，则EF的长为 　 　 ； （3）如图③，若BC'与AD互相平分，求证AB∥CD． 2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区两校联考八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、单选题（每小题2分，共12分） 1．（2分）下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（　　） A．3（x﹣y）＝3x﹣3y B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2 C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 D．6m2n2＝2m2•3n2 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【解答】解：A．3（x﹣y）＝3x﹣3y，是整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意，； B．y2﹣6y+9＝（y﹣3）2，符合因式分解定义，故选项B符合题意； C．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3，等号右边不是几个整式积的形式，故选项C不符合题意； D．6m2n2＝2m2•3n2，等号的左边不是应该多项式，不是因式分解，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式积的形式是解题的关键． 2．（2分）多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是（　　） A．mn B．5mn C．m2n2 D．5m2n2 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：多项式5m2n﹣10mn2中各项的公因式是5mn， 故选：B． 【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 3．（2分）计算（﹣2）2026+（﹣2）2025的结果为（　　） A．﹣22026 B．﹣22025 C．22025 D．22026 【分析】通过提取（﹣2）2025 简化表达式，利用负数的奇数次幂为负的性质进一步求解即可． 【解答】解：（﹣2）2026+（﹣2）2025 ＝（﹣2）2025×[（﹣2）+1] ＝（﹣2）2025×（﹣1） ＝﹣22025×（﹣1） ＝22025． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键． 4．（2分）下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+xy+y2 B．x2﹣1 C．x2﹣2x D．x2+1 【分析】根据平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式即可． 【解答】解：A、x2+xy+y2，三项，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； C、x2﹣2x＝x（x﹣2），不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x2+1不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 5．（2分）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．点O为BC上一点，将△ABC绕点O旋转180°，得到△A'B'C'．若四边形ABA′B′是矩形，则BB'的长是（　　） A．6 B．6.25 C．6.5 D．6.75 【分析】连接AA′，再根据矩形的对角线相等以及勾股定理解答即可． 【解答】解：如图所示，连接AA′，则AA′经过点O， ∵四边形ABA′B′是矩形， ∴OA＝OB， ∴OC＝BC﹣OB＝4﹣OB＝4﹣OA， 在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，即（4﹣OA）2+32＝OA2， 解得OA， ∴BB'＝26.25． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是矩形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 6．（2分）如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，且HF⊥EG．设BE＝a，CF＝b，DG＝c，AH＝d，则下列结论正确的是（　　） A．a+c＝b+d B．a+d＝b+c C．a2+c2＝b2+d2 D．a2+d2＝b2+c2 【分析】依据题意，分别过G、H作GM⊥AB，HN⊥BC，垂足分别为M，N，则MG＝HG＝DC＝BC，∠HNF＝∠GME＝90°，又EG⊥HF，∠B＝90°，可得∠HFN＝∠GEM，进而△HFN≌△GEM（AAS），故FN＝EM，结合BM＝CG，DH＝CN，然后逐个判断可以得解． 【解答】解：由题意，分别过G、H作GM⊥AB，HN⊥BC，垂足分别为M，N， ∴MG＝HG＝DC＝BC，∠HNF＝∠GME＝90°， ∵EG⊥HF，∠B＝90°， ∴∠HFN＝∠GEM． ∴△HFN≌△GEM（AAS）． ∴FN＝EM． 由题意易得，BM＝CG，DH＝CN， 设正方形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝x， ∴a+c＝BM+EM+x﹣CG＝EM+x， b+d＝CN+FN+x﹣DH＝DH+EM+x﹣DH＝EM+x， ∴a+c＝b+d，故A正确，B不正确； a2+d2＝（EM+BM）2+（x﹣DH）2 ＝（EM+x﹣c）2+（x﹣b+EM）2 ＝EM2+x2+c2+2xEM﹣2cEM﹣2xc+x2+b2+EM2+2xEM﹣2bEM﹣2bx． b2+d2＝（EM+x﹣d）2+d2 ＝EM2+x2+d2+2xEM﹣2dEM﹣2xd+d2， ∴C不正确， 同理，D不正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、完全平方公式的几何背景，解题时要熟练掌握并能找到全等三角形是关键． 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．（2分）某数学兴趣小组为了了解所在地区老年人的健康状况，设计了下列三种不同的抽样调查：①在公园调查1000名老年人的健康状况；②调查10名老年邻居的健康状况；③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况．其中抽样合理的序号是　③　 ． 【分析】根据抽样调查要有广泛性和代表性，进行判断即可． 【解答】解：①在公园调查1000名老年人的健康状况，缺少代表性； ②调查10名老年邻居的健康状况，缺少代表性； ③利用派出所的户籍网随机调查该地区10%的老年人的健康状况，具有代表性； 故抽样合理的序号是③． 故答案为：③． 【点评】本题考查了抽样调查的可靠性，解题的关键看抽本的样本是否具有随机性，考查数据分析能力，是基础题． 8．（2分）要记录近10天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是 　折线统计图　 ． 【分析】折线统计图反映的是数据增减变化的情况，一周内的气温增高、降低变化情况表示出来，折线统计图比较合适． 【解答】解：要记录近10天南京的气温变化趋势，最合适的统计图是折线统计图． 故答案为：折线统计图． 【点评】本题考查了统计图的选择，掌握各种统计图表的特点是关键． 9．（2分）商店某天卖出橙汁20瓶、可乐20瓶、矿泉水10瓶．若画出它们这天销量的扇形统计图，则表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数为　72　 °． 【分析】首先求出销量的和，然后求出“矿泉水”在总销量中所占的比例，用圆周角乘以这个比例即可得到扇形的圆心角的度数． 【解答】解：“矿泉水”在总销量中所占的比例为：， ∴表示“矿泉水”部分的扇形的圆心角度数是360°72°． 故答案为：72． 【点评】本题考查了扇形统计图，扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数＝百分比×360度． 10．（2分）若方程有增根，则a的值为　3　 ． 【分析】将分式方程去分母得3＝a+x﹣2，由分式方程的增根是x＝2，代入计算即可． 【解答】解：去分母，得：3＝a+x﹣2， ∵原分式方程有增根， ∴x＝2， ∴3＝a+2﹣2， 解得：a＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11．（2分）为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是 　68　 ． 【分析】根据样本容量的意义，即可解答． 【解答】解：为了解某校八年级680名学生对电信诈骗知识的掌握情况，从中随机抽取68名学生进行问卷调查，此次调查中，样本容量是68， 故答案为：68． 【点评】本题考查了总体，个体，样本，样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 12．（2分）一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1～4组数据的频数分别是2、8、15、10，则第5组的频数为　15　 ，频率为　0.3　 ． 【分析】总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率． 【解答】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、10，共（2+8+15+10）＝35， 样本总数为50， 故第5小组的频数是50﹣35＝15，频率是． 故答案为：15，0.3． 【点评】本题考查频率、频数的关系：频率＝频数，同时考查频数的定义即样本数据出现数据总数的次数． 13．（2分）如图，点A，B分别在反比例函数的图象上，点C在x轴的负半轴上，若平行四边形ACOB的面积是4，则k的值为 　6　 ． 【分析】延长BA交y轴于点D，连接OA，根据题意可知S△AOB＝2，S△AOD1，据此可计算出S△BOD＝2+1＝3，继而可得k值． 【解答】解：如图，延长BA交y轴于点D，连接OA， ∵平行四边形ACOB的面积是4， ∴S△AOB＝2， ∵A在反比例函数y的图象上， ∴S△AOD1， ∴S△BOD＝2+1＝3， ∴k＝2S△BOD＝2×3＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键． 14．（2分）在▱ABCD中，若∠A＝3∠B，则∠C＝　135　 °． 【分析】平行四边形中，利用邻角互补可求得∠A的度数，利用对角相等，即可得∠C的值． 【解答】解：如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝3∠B，∴∠A＝∠C＝135°． 故答案为：135． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用邻角互补的结论求四边形内角度数是阶解题关键． 15．（2分）定义：若两个分式A与B满足：|A﹣B|＝3，则称A与B这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且a，b均为不等于0的实数，则分式　或　 ． 【分析】根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【解答】解：∵与互为“美妙分式”， ∴， ∵， ∴或， ∴3a2+ab＝3（a2﹣b2）或3a2+ab＝﹣3（a2﹣b2）， ∵a、b均为不等于0的实数， ∴①a＝﹣3b，②ab＝3b2﹣6a2， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． 16．（2分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，连接AC′．当AC′的长最小时，BF的长为　　 ． 【分析】根据AC′≥AE﹣C′E可知点A，C′，E三点共线时，AC′的长最小，再根据勾股定理求出AE，进而得出AC′，设BF＝x，可知CF＝C′F＝4﹣x，然后分别在Rt△AC′F和Rt△ABF根据勾股定理可得AC′2+C′F2＝AF2＝AB2+BF2，接下来代入数值可解． 【解答】解：正方形纸片ABCD的边长为4，E是边CD的中点，F是边BC上一动点．将正方形纸片沿EF折叠，点C落在C′处，如图，在△AC′E中，AC′≥AE﹣C′E， ∴当点A，C′，E三点共线时，AC′的长最小，如图2， ∴AD＝BC＝CD＝4，DE＝2＝CE，∠ADE＝∠B＝90°． 在直角三角形ADE中，由勾股定理，得：， ∴． 根据折叠可得CE＝C′E＝2，CF＝C′F，∠C＝∠EC′F＝90°＝∠AC′F， 设BF＝x，可知CF＝C′F＝4﹣x， 根据勾股定理可得AC′2+C′F2＝AF2＝AB2+BF2， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（8分）计算： （1）； （2）（）×（3）． 【分析】（1）先对二次根式进行化简，再合并同类项即可； （2）根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝2 ； （2）（）×（3） ＝3 ＝3． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 18．（8分）（1）计算：； （2）解方程：． 【分析】（1）根据分式的加减法运算法则进行计算即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【解答】解： 8 ＝1﹣8 ＝﹣7； （2）， 方程两边同时乘（x﹣7），得x﹣8+1＝8（x﹣7）， 去括号，得x﹣8+1＝8x﹣56， 解得：x＝7， 检验：把x＝7代入x﹣7＝0， ∴x＝7是分式方程的增根， ∴分式方程无解． 【点评】本题考查了解分式方程，分式的加减，掌握解分式方程的方法，分式的加减运算法则是解题的关键． 19．（8分）学校计划开展“行走南京”社会实践活动，有以下四条特色线路：A环湖路、B陵园路、C颐和路、D鸡鸣寺路．为了解学生对这四条线路的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查的样本容量为　50　 ，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“颐和路”所对应的扇形圆心角的度数为　72　 °； （3）若该校共有380名学生，请估计选择“鸡鸣寺路”学生的人数． 【分析】（1）用D的人数除以所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它人数求出A的人数，补全条形统计图即可； （2）用360°乘以C的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）用380乘以D的人数所占的百分比，即可得出答案． 【解答】解：（1）本次调查的样本容量为：20÷40%＝50（名）， 故答案为：50； 选择线路A的学生有：50﹣15﹣10﹣20＝5（名）， 补全条形统计图： （2）在扇形统计图中，“颐和路”所对应的扇形圆心角为：360°72°， 故答案为：72； （3）380152（名）， 答：选择“鸡鸣寺路”学生的人数为152名． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． 20．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE延长线于点F，连接AF、CD． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）当　　 时，四边形ADCF是正方形． 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行四边形的性质得到CF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，得到CD＝AD．根据菱形的判定定理即可得到结论； （2）设ABk，AC＝k，根据勾股定理得到BCk，推出△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形 到现在得到CD⊥AB，求得∠ADC＝90°，根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， 又∵CF∥AB， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴CF＝BD， ∵D是AB的中点， ∴AD＝BD， ∴CF＝AD， 又∵CF∥AB， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D是AB中点， ∴． ∴CD＝AD． 又∵四边形ADCF是平行四边形， ∴四边形ADCF是菱形； （2）解：当时，四边形ADCF是正方形． ∵∠ACB＝90°， ∴设ABk，AC＝k， ∴BCk， ∴AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵D是AB的中点， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 由（1）知，四边形ADCF是菱形， ∴四边形ADCF是正方形． 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 21．（8分）2026年江苏省城市足球联赛开赛，盐城队吉祥物“鹿嘟嘟”与足球小包成为热门文创．已知每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，购买“鹿嘟嘟”花费690元，购买同样数量的足球小包花费590元．那么“鹿嘟嘟”和足球小包的单价各是多少元？ 【分析】根据每个“鹿嘟嘟”比足球小包贵10元，设出未知数，由购买两种物品数量相等建立方程求解即可． 【解答】解：设“鹿嘟嘟”的单价为x元，足球小包的单价为（x﹣10）元， 根据题意列分式方程得， ， 整理得，100x＝6900， 解得x＝69， 经检验，x＝69是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴x﹣10＝69﹣59＝59， 答：“鹿嘟嘟”的单价为69元，足球小包的单价为59元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 22．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，BE⊥AD，AE＝CF． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）连接AF，若AF平分∠BAD，AE＝3，AB＝5，则AF的长为　4　 ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，根据线段的和差得到DE＝BF，根据全等三角形的性质得到BE＝DF，根据矩形的判定定理得到四边形EBFD是矩形； （2）如图，根据矩形的性质得到AD∥BC，BE∥DF，求得∠DAF＝∠AFB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，等量代换得到∠BAF＝∠AFB，求得AB＝BF，得到AB＝BF＝DE＝5，根据勾股定理得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC， ∵AE＝CF， ∴DE＝BF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE＝DF， ∵DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形EBFD是矩形； （2）解：如图， ∵四边形EBFD是矩形， ∴AD∥BC，BE∥DF， ∴∠DAF＝∠AFB， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF， ∴AB＝BF＝DE＝5， ∵∠AEB＝90°， ∴BE4， ∴DF＝BE＝4， ∵BE∥DF， ∴∠ADF＝∠AEB＝90°， ∴AF4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23．（8分）以下关于四边形ABCD的形状的命题都是假命题，在所给图形的基础上用尺规作出它们的反例（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． （1）若AB＝CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形； （2）若∠ABC＝90°，AB＝CD，BD被AC平分，则四边形ABCD是矩形． 【分析】（1）根据题意，画出反例即可； （2）根据题意，画出反例即可． 【解答】解：（1）作∠CAM＝∠C，则AM∥BC， 以C为圆心，AB为半径作圆，与射线AM交于点D（点D为靠近点A的交点）， 如图所示， 四边形ABCD不是平行四边形； （2）以点C为圆心，AB长为半径作圆， 延长BA和BC，在BA和BC的延长线上取点M，N，使得AM＝AB，CN＝CB， 连接AM与⊙C交于如图所示的D点即为符合要求的点． 所以四边形ABCD不是矩形． 【点评】本题主要考查了命题与定理、平行四边形的判定与性质及矩形的判定，能根据题意画出反例是解题的关键． 24．（8分）某商场进行促销，购物满额即可获得1次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． （1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是　必然　 事件．（填随机、必然、不可能） （2）小明观察一段时间后发现，平均每6个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，若袋中共有18个球，请你估算袋中白球的数量； （3）在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行判断； （2）由于平均每6个人中会有3人抽中三等奖，利用样本估计总体，得到抽中白球的概率为，然后根据概率公式计算袋中白球的数量； （3）根据概率公式说明抽中一等奖的概率会减小． 【解答】解：（1）若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是必然事件； 故答案为必然； （2）白球的数量＝189（个）； （3）抽中一等奖的概率会减小． 理由如下：由于增加三个黄球，球的总数增加，而红球的数量没有变，所以抽中一等奖的概率变小． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了样本估计整体． 25．（8分）在物理中，压强p（Pa）、压力F（N）、受力面积S（m2）满足公式． （1）下面的函数图象，正确的有 　①③　 ．（填写序号） （2）比较薄的冰面最多承受10000Pa的压强，小明的重量为600N． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为0.03m2，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可；②把p＝104，F＝600代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【解答】解：（1）根据题意可知：． 当F为定值时，p与S是反比例函数关系，所以①正确；当p为定值时，F与S是正比例函数关系，所以②错误；当S为定值时，p与F是正比例函数关系，所以③正确； 故答案为：①③； （2）①不安全，因为600÷0.03＝2×104＞104，故不安全； ②把p＝104，F＝600代入， 得：S＝0.06， 根据（1）中的图象可知：当S≥0.06时，p≤104， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少0.06平方米． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用反比例函数的性质解答． 26．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法） （1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q； （2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H． 【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于O点，延长PO交AB于Q，则PQ⊥AB； （2）连接DQ交AP于E点，延长OE交AD于F，连接BF交AP于H，则可证明△ABF≌△DAP得到∠ABF＝∠DAP，再证明∠AHB＝90°，则BH⊥AP． 【解答】解：（1）如图①，PQ为所作； （2）如图②，BH为所作． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质． 27．（8分）如图，将四边形ABCD绕点A旋转，使得点B的对应点 B'恰好落在射线BD上，旋转后的四边形为 AB'C'D'，连接BC′交AD于点E． （1）如图①，若四边形ABCD为正方形，则四边形ABDC′是 　①　 .（填序号） ①平行四边形②矩形③菱形 （2）如图②，若四边形ABCD为矩形， （Ⅰ）求证AE＝DE； （Ⅱ）若 AB＝6，BC＝8，B'C'交AD于点F，则EF的长为 　　 ； （3）如图③，若BC'与AD互相平分，求证AB∥CD． 【分析】（1）由旋转可得AB＝DC′，AB∥DC′，进而可以进行判断； （2）（Ⅰ）连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O，证明四边形ABDC′是平行四边形，即可解决问题； （Ⅱ）先证明FD＝FB′，再利用勾股定理求出FB′，进而根据线段的和差即可解决问题； （3）连接AC′，C′D，连接AC交BD于点O，证明OA＝OB，OC＝OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠OCD＝∠CAB，进而可以解决问题． 【解答】（1）解：由旋转可知：AB＝DC′，AB∥DC′， ∴四边形ABDC′是平行四边形， 故答案为：①； （2）（Ⅰ）证明：连接AC′，C′D，AC，AC与BD相交于点O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，AC＝BD， ∴OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∵AB＝AB'， ∴∠OBA＝∠AB'O， ∵∠OAB＝∠C'AB'， ∴∠AB'O＝∠C'AB'， ∴AC′∥BD， ∵AC′＝AC＝BD， ∴四边形ABDC′是平行四边形， ∴AE＝DE； （Ⅱ）解：由旋转可知：AB＝AB'， ∴∠ABB′＝∠AB'B， ∵∠AB′C′＝∠ABC＝90°， ∴∠CBD＝∠DB′F， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠B′DF， ∴∠B′DF＝∠DB′F， ∴FD＝FB′， ∴AF＝AD﹣FD＝8﹣FB′， 在Rt△AB′F中，根据勾股定理得：AF2＝AB′2+FB′2， ∴（8﹣FB′）2＝62+FB′2， ∴FB′， ∵DE＝AE＝4， ∴EF＝DE﹣FD＝DE﹣FB′＝4， 故答案为：． （3）证明：连接AC′，C′D，连接AC交BD于点O， ∵BC′与AD互相平分， ∴四边形ABDC′是平行四边形， ∴AC′∥BD，AC′＝BD， ∴∠AB'B＝∠C'AB'，AC＝AC′＝BD， ∵AB＝AB'， ∴∠AB'B＝∠ABB'， ∵∠C'AB'＝∠CAB， ∴， ∴OA＝OB， ∴AC﹣OA＝BD﹣OB， ∴OC＝OD， ∴， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠OCD＝∠CAB， ∴AB∥CD． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 7:57:40；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $