精品解析：江苏省南京市鼓楼区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级（下）期末试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形的概念：如果一个图形绕着一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 2. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 3. 若，则M为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以，从而可得答案. 【详解】解：∵，而， ∴， 故选：D 4. 根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线之间的距离的含义，平行四边形的判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：由一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； 如图， ∵，即，， ∴，且之间的距离为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，也是平行四边形，故B符合题意； 选项C不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； 选项D也只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B 5. 点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，根据反比例函数（）的性质，结合各选项中的取值范围，计算的符号即可. 【详解】解：点代入函数得； 点代入函数得， 选项A（）： 为负数，，，两负数相加，，故A错误； 选项B（）： 仍负数，，，例如取，则，故B错误； 选项C（）： 为正数，，但时，，故，故C错误； 选项D（）： 为正数，，故，例如取，则和为，故D正确； 故选：D 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过点A作于M，过点E作于N，则，证明四边形是矩形，可得，结合旋转可得，可得，，设，则，可得，结合，可得，再进一步分两种情况解答即可. 【详解】解：如图，过点A作于M，过点E作于N，则 ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 而 ∴四边形矩形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，即，， ∴，故A，B错误； 当时， ∴，即，， ∴，故C正确，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 8. 分式的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母．找到最简公分母的步骤是：数字因数的最小公倍数和各个字母的最高次幂的乘积，若分母为多项式的要先进行因式分解，据此即可解答． 【详解】解：分式的分母分别为，，则最简公分母为， 故答案为：． 9. 如图，四边形的对角线相交于点O．如果，那么四边形是平行四边形．其判定的依据是______． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解题的关键．根据，得出对角线互相平分，从而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 10. 将40名学生的身高数据分成4个小组，其中第一、二、三组的频数分别是7，8，15，则第四组的频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求频率，用40减去第一、二、三组的频数得出第四组的频数，然后再求出频率即可得到答案． 【详解】解：， ∴第四组的频数是10， 则第四组的频率是． 故答案为：． 11. 写一个含有x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则这个分式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件为分母等于零，分式的值为零，分子为零．根据分式无意义的条件和分式的值为零的条件进行解答即可． 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为______． 【答案】6.5#### 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理，在和中，分别使用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 在矩形中，， ∴， 在中，， 故答案为：． 13. 点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为______（写出一个满足要求的）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：不在反比例函数图象上， 则， 即， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、一次函数的图象和性质，利用数形结合思想，通过图象直接得出一次函数的值大于或等于反比例函数值时自变量x的取值范围是解题关键． 将不等式变形为，根据A、B两点的横坐标和图象，直观得出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围，即为的解集．利用整体思想即可得出或， 【详解】解：由图可知：当或时，， ∴不等式成立时，或， 实际上就是一次函数的值大于反比例函数值时自变量x的取值范围， 不等式的解集是或 故答案为：或． 15. 如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、是解题的关键．连接，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、，    ∵，，，， ∴， 同理，， 在中，，即， 当时，在上，此时； 当在直线时，在上，此时 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形面积计算，过点E作于点H，先求出，得出，根据，求出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点E作于点H，如图所示： ∵正方形的边长为6， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式加减运算法则计算括号里面的，然后再根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 19. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． 20. 2025年我国行业发展迅猛，南京作为创新名城，教育普及率领先．为了解软件的使用情况，南京市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为_____人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是_____； （4）某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是多少？ 【答案】（1）400 （2）见解析 （3）90 （4）200人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据B类师生人数和所占百分比可得本次被调查学生的总人数； （2）先求出E组的师生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用乘以A类师生人数所占的百分比即可得； （4）利用该校学生的总人数乘以使用情况占比最少的软件的人数的百分比即可得． 【小问1详解】 解：本次被调查学生的总人数为（人）； 【小问2详解】 解：E类师生人数为： （人）， 则补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：， 答：A类软件部分所对应扇形圆心角度数是． 【小问4详解】 解：（名）， 答：估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是200人． 21. 如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形和菱形的面积分别为14，6，则的值为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，是解题的关键． （1）根据菱形性质得出，，，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出四边形是菱形； （2）根据菱形和菱形的面积分别为14，6，得出，设，则，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵菱形和菱形的面积分别为14，6， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴． 22. 海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 （1）根据海啸的行进速度公式，完成上表： （2）如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ （3）下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】（1）填表见解析 （2）60米 （3）①③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【小问1详解】 解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 【小问2详解】 解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， 【小问3详解】 ①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 23. （1）已知，用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 【答案】（1）；理由见解析；（2）3；2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握分式运算法则． （1）用作差法和作商法比较大小即可； （2）根据写出一组符合题意的a、b的值即可． 【详解】解：（1）方法一：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； 方法二：， ∵， ∴，，， ∴， ∴； （2）当，时，，， ∵， ∴，符合题意． 24. A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． （1）①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ （2）若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】（1）①；② （2）70 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 ①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； 【小问2详解】 解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 25. 如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． （1）当点是中点时，的长为_____； （2）连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）①证明过程见详解；② 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点作，交于点，可得四边形是平行四边形，，，由正方形，折叠的性质得到，得到，则，由勾股定理即可求解； （2）①如图所示，过点作于点，可证，得，，再证，得，由，即可求解； ②根据题意得到，设，则，，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 在正方形中，， ∵折叠， ∴，垂足为点， ∴，垂足为点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①如图所示，过点作于点， ∴， ∵折叠， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， ∴，， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②根据上述证明得到， ∴， 设，则， ∴， ∵的面积为， ∴，则， 在中，， ∴，整理得，， 设， ∴，整理得，， 解得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质等知识的综合，掌握正方形的性质，折叠的性质，数形结合分析，合理作出辅助线是关键． 26. 在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角． 提出问题 如图（1），求作一个点O和一条线段，使得． 分析问题 （1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）． 连接，根据，可作… 解决问题 （2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形． 问题拓展 （3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了作旋转图形，熟练掌握旋转和等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据旋转性质分析即可； （2）以为底边、为顶角，构造等腰，即可得出，再根据旋转作图作出点B的对应点是，即可完成作图； （3）以为底边、的半径为腰构造等腰，根据旋转中心在对应点的垂直平分线可知作的垂直平分线交于点O，故以点为旋转中心，旋转到位置时，线段旋转到对应位置，再根据对应点到旋转中心的距离相等； 在上找到对应的点，，即可解题． 【详解】（1）连接，，可知，理由是：对应点到旋转中心的距离相等；  （2）如图，点O和线段为所求， ①作射线，以为顶点作， ②作的角平分线，得，则 ③作，交于，则，即点为旋转中心，旋转角为； ④作，， ⑤连接，即得所求线段． （3）解∶如图，点O和线段为所求 ， ①以为底边、的半径为腰构造等腰， ②作的垂直平分线交于点O，即点为旋转中心； ③以为圆心，分别以、为半径作画弧，交得对应的点，， ④连接，即得所求线段． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）期末试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（ ） A. 南京市明天将有的地区降水 B. 南京市明天将有的时间降水 C. 南京市明天降水的可能性不大 D. 南京市明天肯定不会降水 3. 若，则M为（ ） A. B. C. D. 4. 根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C 当时， D. 当时， 6. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，此时点E落在上，，下列关于与描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 使有意义的x的取值范围是_______． 8. 分式的最简公分母是______． 9. 如图，四边形的对角线相交于点O．如果，那么四边形是平行四边形．其判定的依据是______． 10. 将40名学生的身高数据分成4个小组，其中第一、二、三组的频数分别是7，8，15，则第四组的频率是______． 11. 写一个含有x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则这个分式为______． 12. 在矩形中，分别是的中点，连接，则的长为______． 13. 点和反比例函数图象的位置关系如图所示，则k的值可能为______（写出一个满足要求的）． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解集是_______． 15. 如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 16. 如图，正方形的边长为6，的面积为6，则的长为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 计算． 19. 解方程． 20. 2025年我国行业发展迅猛，南京作为创新名城，教育普及率领先．为了解软件的使用情况，南京市某中学数学活动小组随机抽取了学校部分师生进行调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的师生人数为_____人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，A类软件部分所对应的扇形圆心角度数是_____； （4）某校全年级师生共2000人，请估计其中使用情况占比最少的软件的人数大约是多少？ 21. 如图，在菱形中，相交于点分别在上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形和菱形面积分别为14，6，则的值为______． 22. 海啸是一种破坏力极强海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 （1）根据海啸的行进速度公式，完成上表： （2）如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ （3）下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 23. （1）已知，用两种不同的方法比较的大小； （2）若，则_____，______（写出一组符合题意的值即可）． 24. A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． （1）①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ （2）若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 25. 如图，正方形的边长为，直线分别交于点关于直线l的对称点为，且点恰好在上． （1）当点是中点时，的长为_____； （2）连接，交于点，连接，交于点． ①连接，求证； ②已知的面积为，求的长． 26. 在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角． 提出问题 如图（1），求作一个点O和一条线段，使得． 分析问题 （1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）． 连接，根据，可作… 解决问题 （2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形． 问题拓展 （3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上． （要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $