精品解析：江苏省南京市秦淮区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期第二阶段学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．选择题答案请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑． 3．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 2. 成语是中国文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 旭日东升 D. 水涨船高 3. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是_______，_______． 8. 分式和的最简公分母是__________． 9. 不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个． 10. 已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 11. 比较大小：________．（填>，<，=） 12. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是______． 13. 如图，已知梯形 中，，，，上底，腰，则下底长为_______． 14. 已知，则的值是_____． 15. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 16. 如图，四边形是边长为2的正方形，动点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接、、、，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 分解因式： （1）； （2）． 19. 以下是某同学化简分式的部分过程： 解：原式（第一步） =…（第二步） （1）该同学解法中第一步的依据是 ； （2）将该同学的解答过程补充完整． 20. （1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 21. 中国发展已进入全球第一梯队．某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：A．经常使用“”；B．经常使用“豆包”；C．经常使用“元宝”；D．其他．根据调查结果绘制出部分条形统计图和扇形统计图，根据图中的信息，回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了__________名学生； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________，补全条形统计图； （3）若该校共有师生2000人，请估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数． 22. 如图，在平行四边形中，点P、Q分别在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 23. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 24. 我们要学会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．例如生活经验： （1）一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克水，此时糖水的含糖量变小了，用数学关系式可以表示为（ ）； A． B． C． D． （2）请证明你选择的数学关系式是正确的． 25. 如图①，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作图： （1）作正方形，使其边长为； （2）如图②，已知正方形，其边长为．作一个正方形，满足以下条件：边长为且个顶点分别在正方形四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 26. 综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第二阶段学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分100分．考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．选择题答案请用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑． 3．非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键． 2. 成语是中国文化的瑰宝，下列成语描述的事件是不可能事件的是（　　） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 旭日东升 D. 水涨船高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可判断． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件； B、水中捞月是不可能事件； C、旭日东升是必然事件； D、水涨船高是必然事件； 故选：B． 3. 下列分式中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 4. 如图，在平行四边形中，、是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”，所以在平行四边形中，是必然成立的性质，不能据此判断它是菱形．选项A错误． 对于B，根据矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知当时，平行四边形是矩形，而不是菱形．选项B错误． 对于C，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，当，可得，根据“等边对等角”，可得，根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知四边形是菱形．选项C正确． 对于D，因为四边形是平行四边形，所以，根据“两直线平行，内错角相等”，则，所以是平行四边形本身具有的性质，不能据此判断它是菱形．选项D错误． 5. 若，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，负整数指数幂. 当时，比较、、的大小关系可得出三者的大小顺序． 【详解】比较和： 由于，故两边乘以得：， ∴． ∴，即． 因此，，即； ∵， ∴， ∴， 故选C． 6. 将两组全等的正方形按如图所示的位置摆放．在两个涂色的三角形中，较大的和较小的面积的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，是等腰直角三角形，，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可得，，是等腰直角三角形，，点到距离与点到距离相等，则， ∴四边形是菱形， ∴， 设， ∴根据勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴较大的和较小的面积的比是. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可分别求出和的取值范围 【详解】要使在实数范围内有意义，需同时满足分式和二次根式有意义的条件， ①对于分式，根据分式有意义的条件，分母不等于，可得； ②对于二次根式，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 ，解得； 8. 分式和的最简公分母是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，熟练掌握找公分母的方法是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：分式和的分母分别为，， 最简公分母是， 故答案为：． 9. 不透明的口袋中装有8个黄球和若干个白球，它们除颜色以外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有______个． 【答案】 【解析】 【分析】设口袋中白球的个数大约为x个，利用大量重复试验中频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率，结合概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球的个数大约为x个， ∵通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近， ∴摸到黄球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴估计口袋中白球大约有32个． 10. 已知关于的分式方程的解是2，则的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，把分式方程的解代入方程，得到关于m的方程，解方程即可解答． 【详解】解：∵关于的分式方程的解是2， ∴， 解得． 11. 比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠FPE=100°，则∠PFE的度数是______． 【答案】40° 【解析】 【详解】解：∵P是对角线BD的中点，E是AB的中点， ∴EP=AD，同理，FP=BC， ∵AD=BC， ∴PE=PF， ∵∠FPE=100°， ∴∠PFE=40°， 故答案为40°． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，等角对等边，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 13. 如图，已知梯形 中，，，，上底，腰，则下底长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，得出四边形是平行四边形，则，，，进而根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理求得，根据等角对等边可得，进而求得的长． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 14. 已知，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及平方根，分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．由条件，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 阅读材料：由，可知的算术平方根是．类似的， 的算术平方根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用． 模仿材料中的方法，将 写成一个差的完全平方的形式，然后根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 的算术平方根是 ． 故答案为：． 16. 如图，四边形是边长为2的正方形，动点在边上，连接，将绕点顺时针旋转至，连接、、、，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，在的延长线上取点，使得，连接，，由正方形的性质得，，由旋转的性质得，，证明，得出，，再证明为等腰直角三角形，得出，证明，得出，，从而可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，在的延长线上取点，使得，连接，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共10小题，共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提公因式，即可求解； （2）先提公因式，再根据平方差公式因式分解，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 以下是某同学化简分式的部分过程： 解：原式（第一步） =…（第二步） （1）该同学解法中第一步的依据是 ； （2）将该同学的解答过程补充完整． 【答案】（1）分式的基本性质 （2） ． 【解析】 【小问1详解】 解：分式的基本性质； 【小问2详解】 解：略 20. （1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 21. 中国发展已进入全球第一梯队．某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：A．经常使用“”；B．经常使用“豆包”；C．经常使用“元宝”；D．其他．根据调查结果绘制出部分条形统计图和扇形统计图，根据图中的信息，回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了__________名学生； （2）在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为__________，补全条形统计图； （3）若该校共有师生2000人，请估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数． 【答案】（1）400 （2）， （3）估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数为1440人 【解析】 【分析】（1）利用A类别的人数除以所占的比例，计算即可得出结果； （2）利用乘以“D”部分所占的比例即可得出圆心角度数，求出“B、C”部分的学生人数，即可补全条形统计图； （3）用乘以经常使用“”和“豆包”的人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：在本次调查中，一共抽取了名学生； 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为； “B”部分的学生人数为（人）， “C”部分的学生人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数为1440人． 22. 如图，在平行四边形中，点P、Q分别在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，熟知平行四边形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得到，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明平行四边形是矩形，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴平行四边形是矩形， ∴． 23. A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题关键是根据数量关系列方程，注意得到方程的解需要检验．设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料．根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，”列方程求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 依题意可得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 则（）． 答：B型机器人每小时搬运化工原料，则A型机器人每小时搬运化工原料． 24. 我们要学会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界．例如生活经验： （1）一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡了．这一生活经验可以转译成数学问题：克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为，再往杯中加入克水，此时糖水的含糖量变小了，用数学关系式可以表示为（ ）； A． B． C． D． （2）请证明你选择的数学关系式是正确的． 【答案】（1）B （2）法一：证明： ， ，， 0，0， ， ， ， 法二：证明： ， ，， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据含糖量为糖占糖水的百分比得出加入m 克水前后的含糖量，由“此时糖水的含糖量变小了”可得选项结论； （2）运用作差法比较两个分式的大小或者作商法比较两个分式的大小即可证得结论． 【小问1详解】 解：∵加入m 克水前的含糖量为，加入m 克水后的含糖量为，且“此时糖水的含糖量变小了”， ∴ ； 【小问2详解】 略 25. 如图①，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作图： （1）作正方形，使其边长为； （2）如图②，已知正方形，其边长为．作一个正方形，满足以下条件：边长为且个顶点分别在正方形四条边上． （注意：保留作图痕迹，写出必要文字说明）． 【答案】（1）解：①作，截取，， ②分别以，为圆心，为半径作弧交于点． 如图所示，正方形即为所求． （2）①以为直角边构造等腰； ②作的垂直平分线交于点； ③连接，交于点，以为圆心，为半径作弧交于点； （或以为圆心，为半径作弧交正方形四边．） ④延长交于点； ⑤作的垂直平分线交，于点，，连接，，，，正方形即为所求． 如图所示，正方形即为所求． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 综合与探究 【问题情境】 如图1，小明将矩形纸片折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点重合时，连接，请判断四边形的形状并证明； 【问题解决】 （2）如图3，在矩形纸片中，边，，与交于点． ①请判断与对角线的位置关系，并说明理由； ②当时，直接写出此时的长． 【答案】（1）四边形是菱形； 证明将矩形纸片折叠，点与点重合， 垂直平分， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：①理由如下： 四边形是矩形， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是等边三角形， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ②或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，推出，即可得证； （2）①先证明是等边三角形，根据折叠的性质，等边对等角推出，即可得出结论；②分在上和在延长线上两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②设 与交于点， 当在上时，，则， 由（2）可知，在中，， ∴，，， ∴， ∴， 作，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当在延长线上时，，则，同理可得. 综上所述，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $