广东省潮州市高堂中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年广东潮州高堂中学七年级（下）期末数学卷，以苏迪曼杯赛事、汽车油电驱动等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，融合数学眼光、思维与语言素养，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式性质、假命题判断、方向角计算|基础概念辨析，如第2题考查命题真假，体现推理意识| |填空题|6/18|坐标计算、无理数频率、规律探究|中档能力考查，如第16题数字规律，培养抽象能力| |解答题|9/72|几何证明、二元一次方程组、统计图表、函数综合|综合应用，如23题苏迪曼杯购票问题（模型意识）、24题平行线性质探究（推理能力）|

2025-2026学年广东省潮州市高堂中学七年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题） 1．（3分）若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D． 2．（3分）下列命题中，假命题是（　　） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．同旁内角互补 C．无限不循环小数是无理数 D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应 3．（3分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西50°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　） A．155° B．145° C．115° D．65° 4．（3分）下列四个实数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣3 C． D．0 5．（3分）下列各对数是二元一次方程x+3y＝2的解的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 7．（3分）如图使用Excel制作的电子表格示意图，小红现要计算（B，2）到（F，2）的和，其结果正确的是（　　） A．25 B．27 C．30 D．39 8．（3分）如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（　　） A．0.9x+（0.9﹣0.8）（100﹣x）≤40 B．（0.9﹣0.8）x+0.9（100﹣x）≤40 C．（0.9+0.8）x+0.9（100﹣x）≤40 D．0.9x+（0.9+0.8）（100﹣x）≤40 10．（3分）如图，两个形状、大小完金相同的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC不动，将△DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接AD，设DE交AC于G，结论为：①四边形ABEG的面积与四边形CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC，对于结论①和②，下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 二．填空题（共6小题） 11．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD、∠COB为100°，则∠AOE＝　 　 度． 12．（3分）已知数据：、、，π，﹣1，其中无理数出现的频率是 　 　 ． 13．（3分）已知第四象限的点P（3，m）到x轴的距离是7，则点P的坐标是　 　 ． 14．（3分）若有意义，则　 　 ． 15．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝8，则B的坐标为 　 　 ． 16．（3分）观察下列等式： ①3﹣2（1）2， ②5﹣2（）2， ③7﹣2（）2， … 请你根据以上规律，写出第6个等式　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．（8分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解． 18．（8分）整式的值为P，若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为点A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（﹣2，3），将三角形ABC平移得到三角形DFE，其中点A，B，C的对应点分别为点D，F，E． （1）已知点D的坐标为（1，﹣1），请画出三角形DFE，并说明三角形DFE是由三角形ABC怎么平移得到的？ （2）在（1）的条件下，直接写出点E和点F的坐标． 20．（8分）为了落实“双减”政策，丰富学生的课后延时服务活动，某中学开设了A：足球、B：篮球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若全校共有学生3000名，请你估计全校喜欢篮球的学生有多少名？ 21．（8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 22．（8分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥AE； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数． 23．（8分）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以3：0战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023 年通达尔能源苏打迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 TotalEnergiesBIYFSudirmanCupFinals 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 A B C 5/15 MON 10：00 ￥380 ￥180 ￥80 17：00 ￥480 ￥280 ￥180 （1）若购买10：00场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？ （2）若再次购买17：00场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？ （3）已知购买10：00场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 24．（8分）思考：已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC． （1）如图1，∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为　 　 ． （2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC； （3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数． 25．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），且a、b满足a2﹣12a+36+|a﹣b|＝0．点C为x轴负半轴上一个动点，OC＜OB，BD⊥AC于点D，交y轴于点E． （1）求点A、点B的坐标； （2）求证：OD平分∠CDB． （3）延长BD到点F，使得BF＝AB，连接CF若此时∠ACF＝∠ABF，2∠DAO＝∠ABD，画出图形并证明：CD+CF＝AD． 2025-2026学年广东省潮州市高堂中学七年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（3分）若a＜b，则下列结论错误的是（　　） A．a+1＜b+1 B．2﹣a＜2﹣b C．3a＜3b D． 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵a＜b， ∴a+1＜b+1，故本选项不符合题意； B．∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意； C．∵a＜b， ∴3a＜3b，故本选项不符合题意； D．∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了不等式的性质，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2．（3分）下列命题中，假命题是（　　） A．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 B．同旁内角互补 C．无限不循环小数是无理数 D．平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应 【分析】根据平行公理的推论、平行线的性质、无理数的概念、实数与数轴判断即可． 【解答】解：A、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是真命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，符合题意； C、无限不循环小数是无理数，是真命题，不符合题意； D、平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应，是真命题，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．（3分）如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西50°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　） A．155° B．145° C．115° D．65° 【分析】先求出50°的余角为40°，然后再加上90°与15°的和进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 90°﹣50°＝40°， ∴∠AOB＝40°+90°+15°＝145°， 故选：B． 【点评】本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 4．（3分）下列四个实数中，最小的数是（　　） A．2 B．﹣3 C． D．0 【分析】根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数比较即可． 【解答】解：﹣30＜2， 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，比较实数大小的方法：1、数轴法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；3、绝对值法：①两个正数比较大小，绝对值大的数大；②两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 5．（3分）下列各对数是二元一次方程x+3y＝2的解的是（　　） A． B． C． D． 【分析】将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案． 【解答】解：A．当时，方程左边＝﹣4+3×2＝2，方程右边＝2，2＝2， ∴方程左边＝方程右边， ∴是二元一次方程x+3y＝2的解，选项A符合题意； B．当时，方程左边＝2+3×（﹣2）＝﹣4，方程右边＝2，﹣4≠2， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程x+3y＝2的解，选项B不符合题意； C．当时，方程左边＝1+3×（﹣1）＝﹣2，方程右边＝2，﹣2≠2， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程x+3y＝2的解，选项C不符合题意； D．当时，方程左边＝0+3×3＝9，方程右边＝2，9≠2， ∴方程左边≠方程右边， ∴不是二元一次方程x+3y＝2的解，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 6．（3分）小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用（　　）来表示情况． A．条形统计图 B．折线统计图 C．频数分布直方图 D．扇形统计图 【分析】根据频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图的特点，即可解答． 【解答】解：小明调查了全校同学近视度数的情况，他可以使用频数分布直方图来表示情况， 故选：C． 【点评】本题考查了统计图的选择，频数（率）分布直方图，频数（率）分布折线图，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 7．（3分）如图使用Excel制作的电子表格示意图，小红现要计算（B，2）到（F，2）的和，其结果正确的是（　　） A．25 B．27 C．30 D．39 【分析】从B列第二行的3开始，到F列的7计算和即可． 【解答】解：因为计算（B，2）到（F，2）的和， 所以3+4+5+6+7＝25， 故选：A． 【点评】本题考查了电子表格的认识，正确理解（B，2）到（F，2）是哪些数据求和是解题的关键． 8．（3分）如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x+1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b）， ∴b＝3+1， 解得b＝4， ∴P（1，4）， ∴方程组的解为． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解． 9．（3分）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油驱动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从A地行驶100千米至B地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从A地行驶至B地用电行驶x千米，则x满足的不等关系为（　　） A．0.9x+（0.9﹣0.8）（100﹣x）≤40 B．（0.9﹣0.8）x+0.9（100﹣x）≤40 C．（0.9+0.8）x+0.9（100﹣x）≤40 D．0.9x+（0.9+0.8）（100﹣x）≤40 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【解答】解：由题意可得， （0.9﹣0.8）x+0.9（100﹣x）≤40， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 10．（3分）如图，两个形状、大小完金相同的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC不动，将△DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，连接AD，设DE交AC于G，结论为：①四边形ABEG的面积与四边形CGDF的面积相等；②AD∥EC，且AD＝EC，对于结论①和②，下列判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②不正确 C．①②都不正确 D．①不正确，②正确 【分析】根据平移的性质可得S△ABC＝S△DEF，AD∥EC，AD＝BE，即可得出结果． 【解答】解：由平移可得：S△ABC＝S△DEF， ∴S△ABC﹣S△GEC＝S△DEF﹣S△GEC，即S四边形ABEG＝S四边形CGDF，故①正确； 由平移的性质可得：AD∥EC，AD＝BE，故②错误， 故选：B． 【点评】本题考查平移的性质，熟练掌握把一个图形整体沿某一直线移动，会得到一个新图形，新图形与原图形的形状和大小完全一样是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．（3分）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD、∠COB为100°，则∠AOE＝　140　 度． 【分析】首先利用邻补角互补求出∠AOC，再利用角平分线的定义计算． 【解答】解：∵∠BOD+∠BOC＝180°，∠BOC＝100°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝80°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝40°． ∵∠AOD＝∠BOC＝100°， ∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝140°． 故答案为：140． 【点评】本题考查了利用邻补角和角平分线的定义，在相交线中角的度数的求解方法． 12．（3分）已知数据：、、，π，﹣1，其中无理数出现的频率是 　0.6　 ． 【分析】根据频率＝频数÷总次数，进行计算即可解答． 【解答】解：数据：、、、π，﹣1中，无理数有、、π共3个， 所以无理数出现的频率为0.6． 故答案为：0.6． 【点评】本题考查了频数与频率，无理数的定义，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键． 13．（3分）已知第四象限的点P（3，m）到x轴的距离是7，则点P的坐标是　（3，﹣7）　 ． 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，以及第四象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：已知第四象限的点P（3，m）到x轴的距离是7，则点P的坐标是（3，﹣7）， 故答案为：（3，﹣7）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到x轴的距离是纵坐标的绝对值是解题的关键． 14．（3分）若有意义，则　2　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，再根据立方根的概念计算即可． 【解答】解：由题意得：x﹣8≥0，8﹣x≥0， 解得：x＝8， ∴2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、立方根的概念，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 15．（3分）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝8，则B的坐标为 　（11，2）或（﹣5，2）　 ． 【分析】由已知条件可知点A与点B的纵坐标相等，再确定B点的横坐标即可． 【解答】解：∵AB∥x轴，A点的坐标为（3，2）， ∴点B的纵坐标相等都为2， 又∵AB＝8， ∴点B的横坐标为3+8＝11，或3﹣8＝﹣5， ∴点B的坐标为（11，2）或（﹣5，2）． 故答案为：（11，2）或（﹣5，2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标． 16．（3分）观察下列等式： ①3﹣2（1）2， ②5﹣2（）2， ③7﹣2（）2， … 请你根据以上规律，写出第6个等式　13﹣2（）2 ． 【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n（n+1），利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为（）2（n≥1的整数）． 【解答】解：写出第6个等式为13﹣2（）2． 故答案为13﹣2（）2． 【点评】本题考查了规律型﹣数字变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式． 三．解答题（共9小题） 17．（8分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解． 【分析】此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号． 【解答】解：∵a⊕b＝a2﹣b2， ∴（4⊕3）⊕x＝（42﹣32）⊕x＝7⊕x＝72﹣x2 ∴72﹣x2＝24 ∴x2＝25． ∴x＝±5． 【点评】考查了学生的数学应用能力和解题技能，这是典型的新定义题型，解这类题应该严格按照题中给出的计算法则进行运算．易错点是要把小括号里算出的代数式看作是整体代入下一步骤中计算． 18．（8分）整式的值为P，若P的取值范围如图所示，求m的负整数值． 【分析】由数轴所表示的不等式的解集可得P≤7，即3（m）≤7，求出m的取值范围后再确定负整数的值即可． 【解答】解：由题意得，3（m）≤7， 解得m≥﹣2， ∴负整数m的值为﹣1，﹣2． 【点评】本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式解集的方法以及一元一次不等式的解法是解决问题的前提． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为点A（﹣4，3），B（﹣2，0），C（﹣2，3），将三角形ABC平移得到三角形DFE，其中点A，B，C的对应点分别为点D，F，E． （1）已知点D的坐标为（1，﹣1），请画出三角形DFE，并说明三角形DFE是由三角形ABC怎么平移得到的？ （2）在（1）的条件下，直接写出点E和点F的坐标． 【分析】（1）利用平移的性质画出三角形DFE，由图形判断出平移方式即可； （2）根据图形，得到点B、点C平移后的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示，所作△DEF即为所求： 由点A的平移规律可知：将三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形DFE； （2）由图可知，点E坐标为（3，﹣4），点F坐标为（3，﹣1）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化—平移．熟练掌握该知识点是关键． 20．（8分）为了落实“双减”政策，丰富学生的课后延时服务活动，某中学开设了A：足球、B：篮球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动．为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若全校共有学生3000名，请你估计全校喜欢篮球的学生有多少名？ 【分析】（1）根据喜欢A的人数和所占的百分比，可以求出总人数； （2）根据（1）中求得的总人数，乘以喜欢C所占的百分比，求出喜欢C的人数，补全统计图即可； （3）先根据条形统计图求出足球所占的百分比，再用4000乘以百分比，求4000名学生中喜欢足球的大约人数即可． 【解答】解：（1）40÷20%＝200（名） 答：一共调查了200名学生． （2）200×30%＝60（名） 补全图形如图所示： （3）30001050（名）． 答：估计全校喜欢足球的约有1050名学生． 【点评】此题考查了条形统计图及扇形统计图，根据各统计图正确得出所需信息是解题关键． 21．（8分）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错②中的b，解得． （1）求正确的a，b的值； （2）求原方程组的正确解． 【分析】（1）先将代入方程5x＝by+10之中可得b的值；再将代入方程ax﹣4y＝﹣6之中可得a的值； （2）将（1）中求出的a，b的值代入方程组之中，再解这个方程中即可． 【解答】解：（1）∵甲看错了方程①中的a，解得， ∴是方程5x＝by+10的解， ∴15＝b+10， 解得：b＝5， ∵乙看错②中的b，解得， ∴是方程ax﹣4y＝﹣6的解， ∴﹣a﹣8＝﹣6， 解得：a＝﹣2， ∴a＝﹣2，b＝5， （1）a＝﹣2，b＝5 （2） （2）将a＝﹣2，b＝5代入原方程组，得：， 整理得：， ③﹣④得：3y＝1， 解得：， 将代入④，得：， 解得：， ∴原方程组的正确解为． 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法与技巧是解决问题的关键． 22．（8分）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥AE； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数． 【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABD＝60°，然后利用角平分线的定义可得∠ABH＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠FGC， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠FGC， ∴FG∥AE； （2）解：∵FG⊥BC， ∴∠FHB＝90°， ∵AB∥CD，∠D＝120°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABH∠ABD＝30°， ∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°， ∴∠1的度数为60°． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 23．（8分）2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛于5月14日至5月21日在苏州奥体中心举行．决赛中，中国队以3：0战胜韩国队，完成三连冠壮举，历史上第13次登顶．5月15日该项赛事的小组赛票价如下： 2023 年通达尔能源苏打迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛 TotalEnergiesBIYFSudirmanCupFinals 2023 票价总览图 小组赛 日期 时间 A B C 5/15 MON 10：00 ￥380 ￥180 ￥80 17：00 ￥480 ￥280 ￥180 （1）若购买10：00场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元，A、B两类门票各买了多少张？ （2）若再次购买17：00场次的A类门票和C类门票共10张，且总票价不超过2100元，最少购买C类门票多少张？ （3）已知购买10：00场次的B类门票和C类门票各若干张，共花费1620元，有哪些购买方案？ 【分析】（1）设A类门票买了x张，B类门票买了y张，利用总价＝单价×数量，结合“购买10：00场次的A类门票和B类门票共7张，总票价为1860元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买C类门票m张，则购买A类门票（10﹣m）张，利用总价＝单价×数量，结合总票价不超过2100元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （3）设购买B类门票a张，C类门票b张，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设A类门票买了x张，B类门票买了y张， 根据题意得：， 解得：． 答：A类门票买了3张，B类门票买了4张； （2）设购买C类门票m张，则购买A类门票（10﹣m）张， 根据题意得：480（10﹣m）+180m≤2100， 解得：m≥9， ∴m的最小值为9． 答：最少购买C类门票9张； （3）设购买B类门票a张，C类门票b张， 根据题意得：180a+80b＝1620， ∴a＝9b． 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买B类门票5张，C类门票9张； 方案2：购买B类门票1张，C类门票18张． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24．（8分）思考：已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC． （1）如图1，∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为　∠BAP＝∠PAG+∠ACE ． （2）如图2，在（1）的条件下，若∠DBA＝5∠ACE，∠PAG＝30°，求证AB⊥AC； （3）点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG＝∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数． 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质即可得出答案； （2）由平行线性质可得：∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE，再根据角平分线定义可得∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE，利用已知条件建立方程可得∠ACE＝15°，即可证得结论； （3）分两种情况画出图形，再利用平行线性质和角平分线定义即可求得答案． 【解答】（1）解：∠BAP＝∠PAG+∠ACE． 理由：如图1， ∵AP平分∠BAC，DM∥FG∥EN， ∴∠BAP＝∠PAC，∠GAC＝∠ACE， ∴∠BAP＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE， 故答案为：∠BAP＝∠PAG+∠ACE； （2）证明：如图2，∵DM∥FG∥EN， ∴∠DBA＝∠BAG，∠GAC＝∠ACE， ∵AP平分∠BAC， ∴∠BAP＝∠PAC＝∠PAG+∠GAC＝∠PAG+∠ACE， ∴∠DBA＝∠BAG＝∠BAP+∠PAG＝2∠PAG+∠ACE， ∵∠PAG＝30°，∠DBA＝5∠ACE， ∴5∠ACE＝∠ACE+60°， ∴∠ACE＝15°， ∴∠BAP＝∠PAG+∠ACE＝30°+15°＝45°，∠GAC＝15°， ∴∠BAC＝∠BAP+∠PAG+∠GAC＝45°+30°+15°＝90°， ∵AB与AC都相交于直线FG上的A点，并且在同一平面内，∠BAC＝90°， ∴AB⊥AC （3）解：所画图形如图3、图4所示， 设∠DBA＝x， 在图3中，∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠PAB＝∠PAC∠BAC＝45°， ∵DM∥FG， ∴∠BAG＝∠DBA＝x， ∴∠PAG＝∠PAB+∠BAG＝45°+x， ∵∠BAC＝90°， ∴∠FAC＝90°﹣∠BAG＝90°﹣x， ∵∠PAG＝∠FAC， ∴45°+x＝90°﹣x， 解得：x＝22.5°， ∴∠DBA＝22.5°； 在图4中，∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵AP平分∠BAC， ∴∠P′AB＝∠P′AC∠BAC＝45°， ∵DM∥FG， ∴∠BAG＝∠DBA＝x， ∴∠P′AG＝∠BAG﹣∠P′AB＝x﹣45°， ∴∠PAG＝180°﹣∠P′AG＝180°﹣（x﹣45°）＝225°﹣x， ∵∠CAG＝90°﹣x， ∴∠FAC＝180°﹣∠CAG＝180°﹣（90°﹣x）＝90°+x， ∵∠PAG＝∠FAC， ∴225°﹣x＝90°+x， 解得：x＝67.5°， ∴∠DBA＝67.5°； 综上所述，∠DBA的度数为22.5°或67.5°． 【点评】本题考查了平行线性质，角平分线定义，垂线定义，余角、补角定义等，第（3）分两种情况讨论，防止漏解． 25．（8分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，a），点B的坐标为（b，0），且a、b满足a2﹣12a+36+|a﹣b|＝0．点C为x轴负半轴上一个动点，OC＜OB，BD⊥AC于点D，交y轴于点E． （1）求点A、点B的坐标； （2）求证：OD平分∠CDB． （3）延长BD到点F，使得BF＝AB，连接CF若此时∠ACF＝∠ABF，2∠DAO＝∠ABD，画出图形并证明：CD+CF＝AD． 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论； （2）如图1中，过点O作OH⊥BD于点H，OM⊥C于点M．利用全等三角形的性质证明OM＝OH，可得结论； （3）如图2中，在DA上取一点J，使得DJ＝DC，连接FJ．证明AJ＝JF＝CF，可得结论． 【解答】（1）解：∵a2﹣12a+36+|a﹣b|＝0， ∴（a﹣6）2+|a﹣b|＝0， ∵（a﹣6）2≥0，|a﹣b|≥0， ∴a＝b＝6， ∴A（0，6），B（6，0）； （2）证明：如图1中，过点O作OH⊥BD于点H，OM⊥C于点M． ∵A（0，6），B（6，0）， ∴OA＝OB＝6， ∵BD⊥AC， ∴∠ADE＝∠BOE＝90°， ∵∠AED＝∠BEO， ∴∠DAE＝∠EBO， 在Rt△AOC和Rt△BOE中， ， ∴△AOC≌△BOE（ASA）， ∴OC＝OE， ∵OM⊥OD，OH⊥BE， ∴∠OMD＝∠OHD＝∠MDH＝90°， ∴∠MOH＝∠COA＝90°， ∴∠COM＝∠EOH， 在△OMC和△OHE中， ， ∴△OMC≌△OHE（AAS）， ∴OM＝OH， ∵OM⊥OD，OH⊥BE， ∴OD平分∠CDB； （3）证明：如图2中，在DA上取一点J，使得DJ＝DC，连接FJ． ∵OA＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝∠OAB＝45°， ∵2∠DAO＝∠ABD，∠DAO＝∠EBO， ∴∠ABD＝2∠EBO， ∴∠ABD＝30°，∠EBO＝15°， ∵BA＝BF， ∴∠BAF＝∠BFA（180°﹣30°）＝75°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠FAD＝∠EAD＝15°， ∵DC＝DJ，DF⊥CJ， ∴FC＝FJ， ∴∠FCJ＝∠FJC， ∵∠ACF＝∠ABD＝30°， ∴∠FJC＝30°， ∠FJC＝∠JFA+∠JAF， ∴∠JAF＝∠JFA＝15°， ∴AJ＝JF＝CF， ∴AD＝AJ+DJ＝CF+CD． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/25 7:58:07；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $