暑假预习专题 第10讲 分式不等式与基本不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第10讲 分式不等式与基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 分式不等式 基本不等式 均值不等式 1、掌握各种分式不等式的解法。 1、掌握两个基本不等式：（、）、 （、为任意正数），并能用于解决一些简单问题。 2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法。 学习重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用。 学习难点：在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系 及一定条件下互相转化等辩证唯物主义观点。 1.分式不等式的解集 （1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式， 如：形如或（其中，为整式且）的不等式称为分式不等式. （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ②； ③； ④； ⑤. 2.算术平均值与几何平均值：对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值， 并称 是 、的几何平均值． 3.平均值不等式：定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值， 即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 4.重要不等式链： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ， 其中叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值； 此不等式链常以 的形式出现． 5.重要提醒： （1）前提：“一正”“二定”“三相等”； （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式； （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法； 三是消元法． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 分式不等式 知识点1： 分式不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式 称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于的表达式且0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 知识点2： 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 【答案】【详解】不等式等价于，即， 解得，即原不等式的解集为；故答案为：. 【技巧归纳】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 【答案】【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或，故答案为：. 【技巧归纳】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【例3】（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和；(2)求阴影部分表示的集合. 【答案】(1),；(2). 【详解】（1）由或，解得 所以集合，由， 所以集合； （2）由图中阴影部分可知所求集合为， 因为，所以， 则==，故阴影部分表示的集合是. 【技巧归纳】 （1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集；（2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【答案】【分析】将1移到不等号左边，通分化简即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即， 所以不等式的解集为；故答案为：. 【练习2】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 . 【答案】或【分析】根据分式不等式的解法来求得正确答案. 【详解】依题意，，解得或， 所以不等式的解集为或；故答案为：或 【练习3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集， 再根据题意列不等式组求解即可.【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解， 不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解， 不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，因为原不等式组的解集中恰好有 四个整数解，所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是；故答案为：. 【练习4】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得，解得或， 原不等式的解集为；故答案为：. 【练习5】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 . 【答案】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，运用一元二次不等式解法计算即可. 【详解】不等式的解集，等价于,即， 即,解得；故答案为：. 【练习6】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】【分析】分式不等式求解，移项通分变形，可由符号法则转化为整式不等式求解. 【详解】不等式可化为，即，则有①，或②， 由①得，由②得，解得， 故原不等式的解集为；故答案为： 【练习7】（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合；(2)已知，求实数的取值范围； 【答案】(1)或或；(2). 【分析】（1）解不等式分别求得集合，再由集合中的元素特征可得结果； （2）由可得，分类讨论集合是否为空集再由包含关系解得实数的取值范围. 【详解】（1）解不等式可得或； 易知；当时，可得； 由集合且可得或或； （2）由可得，当时，可得； 当时，若，可得，由可得，即； 若，可得，此时恒成立，即即可；综上可得，实数的取值范围为. 知识点02 均值不等式 知识点3：平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)， 当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ， 当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 知识点4： 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为；故答案为：. 【易错提醒】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. . 【例5】（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】【详解】解：因为，，所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立，所以，即，当且仅当， 即时等号成立，所以的最大值为；故答案为：. 【易错提醒】根据基本不等式直接求解即可. 【例6】若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 【答案】25【详解】设两条直角边的边长分别为，则，故即， 当且仅当时等号成立，故直角三角形面积的最大值为，故答案为：. 【易错提醒】【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【例7】（1）求的最小值；（2）已知，，，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为3； （2）因为，，，所以， ， 当且仅当且，即，时取等号，故的最小值为． 【易错提醒】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解； （2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【对点练习】 【练习8】若，则的最小值是 . 【答案】/【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故答案为： . 【练习9】（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8；故答案为：8. 【练习10】（24-25高一上·上海·月考）设且，则的最小值为 . 【答案】/【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，又， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为； 故答案为： 【练习11】（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且， 若的最小值为4，则实数a的值为 【答案】【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值， 然后根据题中最小值列方程求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立，又的最小值为4，，得； 故答案为：. 【练习12】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开， 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应.【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号，令，则， 即，所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m；故答案为：. 【练习13】（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D【分析】根据基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故， 当且仅当即时取等号，故选：D 【练习14】已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 【答案】B【分析】利用常数代换法求解可得.【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16；故选：B. 【练习15】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立， 则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 结合基本不等式运算求解.【详解】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立，又因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以；故选：A. 【练习16】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即，， 当且仅当时取等号，所以，即，解得：， 所以实数t的取值范围是，故答案为： 【练习17】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【答案】(1)证明见解析，；(2)，. 【分析】（1）根据基本不等式可得证；（2）根据基本不等式“1”的妙用可得最值及取等条件. 【详解】（1）由， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立． 【练习18】（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时， 即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②时，取最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解； ②利用换元法，令，，则，再利用①结论求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，， 因为、都是正实数，所以，，所以 当且仅当，解得或，因为、都是正实数，所以， 所以当时，取得最小值； （2）①因为，所以 因为，，则有： ， 当且仅当且、同号时取等号，此时，、满足，所以； ②令，，所以，，由，解得， 构造，由，则，所以，利用①中结论，有： ，当且仅当且，时，即取等号， 解得时，取最小值. 【练习19】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数，所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立，所以，所以的最大值为； （2）因为与均为负数，所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立，所以 的最小值为． 【练习20】（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少?（3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 【答案】（1）；（2）；（3）时，取得最大值 【详解】（1）因为x，y是正实数，且，所以， 则， 当且仅当时，即时，的最小值为； （2）因为， 所以， 当且仅当时，即时，函数有最小值； （3）因为，则， 当且仅当时，即时，取得最大值. 【易错提醒】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可；（2）对已知函数进行分式分离， 结合基本不等式求解最值即可；（3）利用基本不等式和为定值，乘积有最大值求解即可得答案. 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2；故答案为：2. 2．（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 ． 【答案】【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得.【详解】因为，所以恒成立， 所以，所以，，所以． 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海浦东新·月考）不等式的解集为 【答案】【分析】不等式等价于，即可求解. 【详解】原不等式等价于，也即，解得：， 所以解集为：；故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】【分析】利用不等式的等价变形可得，再利用数轴标根法可求得不等式的解集. 【详解】由，可得， 所以 方程的根为， 由数轴标根法可得；故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）设关于的不等式的解集为， 则关于的不等式的解集为 . 【答案】【分析】分式不等式转化为整式不等式后由二次不等式求得解集. 【详解】由题意可得，解，整理得， ∵，∴解集为；故答案为：. 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解的关系，可解得的值，进而可解分式不等式. 【详解】由题意可知，且1和2是方程的两根， 所以解得所以，即为， 可化为，即，解得. 所以所求不等式的解集是；故答案为：. 7．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式的解集是，则的解集是 【答案】【分析】根据不等式的解集求得参数，再求目标分式不等式即可. 【详解】等价于，因其解集为， 故可得，且，，故可得， 则，即，等价于，解得；故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是， 则不等式的解集为 ． 【答案】【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法，得到，， 进而将问题转化成求解不等式，即可求解.【详解】因为关于的不等式的解集是，则方程的两解为，且， 则，得到，，所以， 又，等价于，解得， 所以不等式的解集为，故答案为：. 9．（24-25高一上·上海·月考）关于的不等式的解集是，若， 则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，得出，再将其转化为一元二次不等式，求解即可得出实数的取值范围. 【详解】∵，∴，即，∴，所以或， 即实数的取值范围是；故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若， 则实数m的取值范围是 . 【答案】【分析】首先假设，即时，不等式成立，得到：， 然后解不等式得到的取值范围，最后对的取值范围取补集即为最终结果. 【详解】假设，即当时不等式成立，代入可得：，解得：或； 由于已知，故的取值范围为；故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 【答案】【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或，故答案为：. 12．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是 ． 【答案】【分析】根据，判断或 或即可得解. 【详解】由题意的解集不包含，或的解集不包含2， 所以或 或，解得，或或，故答案为：. 13.（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 【答案】【分析】运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为，所以由， 当且仅当时取等号，即当或时取等号，故答案为：. 14.已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/【分析】变形得到，并得到，变形得到，利用基本不等式求出最小值.【详解】正实数满足，故，所以， 则，又，解得，故 ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为；故答案为：. 15.若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】【分析】由题意可得的最大值，由， 运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值，由 ，（当且仅当取得等号），则， 当，即时，， 故的最大值为；即有；故答案为：． 16.若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可.【详解】，，，所以，即，，根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2； 故答案为：2. 17.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 【答案】4【分析】利用基本不等式，可得答案.【详解】由，则， 当且仅当时，等号成立，所以代数式的最小值为；故答案为：. 18.（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】,当且仅当时等号成立，故所求最小值为，故答案为：. 19.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 【答案】【分析】根据基本不等式直接求解即可.【详解】解：因为正实数满足， 所以，由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立，所以，的最小值是. 故答案为：2. 20.（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园；若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 【答案】24【分析】根据给定条件，列出篱笆总长表达式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】令垂直于墙的矩形边长为，平行于墙的矩形边长为，则， 因此，当且仅当时取等号，所以所用篱笆总长C最小值是24； 故答案为：24. 21．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 【答案】【分析】分别求解两个不等式，对于不等式，按照的取值进行 分类比较两根的大小，求得不等式的解集，再根据题意，借助于数轴表示即可求出的取值范围. 【详解】由可得，解得或， 由可得（*）. ① 若，即时，由（*）可得，显然解集为，不合题意； ② 若，即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，故，解得； ③ 若， 即时，由（*）可得， 因原不等式组仅有一个整数解，则，解得. 综上可得，实数的取值范围为；故答案为：. 22．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】【分析】解不等式，再分类讨论不等式的解集，结合集合关系求得参数的取值范围.【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得 ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足:， 此时不等式组的解集为, 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即; ③当,即时，不等式的解为:， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解，则，即， 综上所述，可知的取值范围为；故答案为：. 23．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个， 则实数的取值范围是 ． 【答案】【分析】分、、、四种情况求解不等式组的解集， 再根据题意列不等式组求解即可.【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解， 不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有两个整数解， 不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，因为原不等式组的解集中 恰好有两个整数解，所以这两个整数解为，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是；故答案为：. 24．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个， 则实数的取值范围是 . 【答案】【分析】分为，，，四种情况求解不等式组的解集， 再根据题意列不等式组求解即可.【详解】由可得， 当时，，原不等式组无解，不符合题意舍去；当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解，不符合题意舍去； 当时，，原不等式组的解集为，没有四个整数解， 不符合题意舍去；当时，，原不等式组的解集为， 因为原不等式组的解集中恰好有四个整数解，所以这两个整数解为，所以， 解得，综上所述，实数的取值范围是；故答案为：. 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】先把分式不等式转化为一元二次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集. 【详解】原不等式等价于不等式且，即 解得原不等式的解集为或；故选：D. 26．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】易得，再结合不等式的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以不等式等价于不等式；故选：D. 27．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C【分析】根据基本不等式的应用，结合选项计算即可判断. 【详解】A：∵，∴， 当且仅当即时等号成立，故A正确；B：，得， ，所以，当且仅当即时等号成立， 故B正确；C：，∴，当且仅当时，等号成立，故C错误； D：，当且仅当时等号成立，故D正确；故选：C． 28.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，所以不等式恒成立，故，故，故选：D 29.对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据题意，将恒成立转化为最值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】对于任意，恒成立，则，而， 当且仅当时取等号，所以；故选：D. 30．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是， 求关于的不等式的解集．【答案】．【分析】由的解集得出，且，再将分式不等式转化为一元二次不等式，从而得出解集. 【详解】解：由题意关于的不等式的解集是，可得，且， 所以所求不等式可化为，可变为，解得或． 所以原不等式的解集为． 31．（24-25高一上·上海·月考） （1）解不等式；（2）；（3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【详解】（1），即， 令，有或或，则该不等式的解集为； （2），即，令，有或或， 又恒成立，故该不等式的解集为； （3），即，由，故， 对：令，有或或， 又恒成立，故有，故该不等式的解集为. 32.求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值；(2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5；(2)最小值为18；(3)最大值为9. 【分析】（1）利用基本不等式求最值；（2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，则，由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为5； （2）因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为18； （3）不等式恒成立化为恒成立，又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立，所以，即实数的最大值为9. 33．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析【分析】由题意，原不等式可变形为，分类讨论的取值情况，结合一元二次不等式的解法求解即可.【详解】， 当时，，解得，此时原不等式的解集为； 当时，令，得， 当即时，，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为； 当且即时，此时原不等式的解集为. 综上，时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 34．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式． 【答案】答案见解析【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论根的大小得出解集. 【详解】解：不等式可化为，即，即， ①当，即时，不等式的解集为； ②当，即时，不等式的解集为， ③当，即时，不等式的解集为． 35．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 【答案】答案见解析【分析】先将原不等式化为右边为零的形式，再转化成整式不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法，即可求得不等式的解集. 【详解】由，得到，等价于且， 当时，解得或，当时，解得， 当，即时，，当，即时，， 当，即时，，综上所述，当时，原不等式解集为或， 当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为， 当时，原不等式解集为，当时，原不等式解集为. 36.（24-25高一上·上海·月考）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和 与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库 建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元， 铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式；(2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 【答案】(1)；(2)当仓库A与厂房B距离6千米时，可使得总费用最小，最小值为43万元.【分析】（1）由时，，求得，即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解； 【详解】（1）由已知得当时，，代入可得，解得，所以， 所以总费用； （2）由（1）得， 所以（万元），当且仅当，即时，等号成立，所以当隔离病房与药物仓库距离为6千米时，可使得总费用最小为万元. 37.（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨， 运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 【答案】(1)，；(2)20；(3)每次购买量在吨范围内. 【分析】（1）由题意得到，；（2）表达出一年的总运费与总存储费用之和为， 利用基本不等式求出最值，得到答案；（3）由题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1），； （2）设一年的总运费与总存储费用之和为，则， 当且仅当，即时，等号成立，故每次购买20吨； （3）由题意得，解得，故每次购买量在吨范围内. 38.（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形， 面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个 矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)；(2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以； （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 39．（24-25高一上·上海·开学考试）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化， 且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 (1)请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 【答案】(1)，最短时间为；(2). 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】（1）， 当时，，因此有， 即，当且仅当时取等号，即当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间为； （2）当时，当时，满足题意，当时， 在时恒成立， 由，于是有， 而，于是有，综上所述：，而， 所以车辆设计的最高速应小于. 40．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由基本不等式即可求解；（2）设出后由基本不等式进行求解. 【详解】（1）由题意得，得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）设，由题意得，， 则，得， 当且仅当，即时等号同时成立；故的最小值为. 41．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且； (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值；(3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；；(3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明；（2）展开，利用基本不等式即可证明；（3）由题意可得恒成立， 展开即可证明. 【详解】（1）因为且， 所以，且，所以且； （2）由，可得，， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以，即， 则，因为对任意的恒成立，即为恒成立，而，所以，又为自然数，所以或； （3）不等式对任意恒成立，即为恒成立， ，当且仅当， 即时等号成立，所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第10讲 分式不等式与基本不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 分式不等式 基本不等式 均值不等式 1、掌握各种分式不等式的解法。 1、掌握两个基本不等式：（、）、 （、为任意正数），并能用于解决一些简单问题。 2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法。 学习重点：两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用。 学习难点：在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系 及一定条件下互相转化等辩证唯物主义观点。 1.分式不等式的解集 （1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式， 如：形如或（其中，为整式且）的不等式称为分式不等式. （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ②； ③； ④； ⑤. 2.算术平均值与几何平均值：对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值， 并称 是 、的几何平均值． 3.平均值不等式：定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值， 即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 4.重要不等式链： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ， 其中叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值； 此不等式链常以 的形式出现． 5.重要提醒： （1）前提：“一正”“二定”“三相等”； （2）要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式； （3）条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法； 三是消元法． 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 分式不等式 知识点1： 分式不等式 形如 或 （其中 、 为整式且 不为 0) 的不等式 称为分式不等式． 解分式不等式先将分式不等式通过移项、通分把右边化为零，左边化为 、 是关于的表达式且0）的形式，然后同解变形．分式不等式的同解变形如下表： 分式不等式 同解不等式(组) 与 同解; 与同解 与 同解; 与同解 与 同解 与 同解 知识点2： 利用分式不等式求解实际问题 将实际问题转化为数学模型,在转化的过程中注意实际问题的限制条件. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·上海嘉定·期末）不等式的解集是 . 【技巧归纳】将原不等式转化为整式型不等式，即一元二次不等式求解. 【例2】（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 【技巧归纳】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【例3】（24-25高一上·上海青浦·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合和；(2)求阴影部分表示的集合. 【技巧归纳】 （1）解分式不等式和绝对值不等式即可求出解集；（2）利用补集和交集思想即可求解阴影部分集合. 【对点练习】 【练习1】（24-25高一上·上海·期末）不等式的解集为 ． 【练习2】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 . 【练习3】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个， 则实数的取值范围是 . 【练习4】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【练习5】（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 . 【练习6】（23-24高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【练习7】（24-25高一上·上海·期中）已知，集合； (1)当时，集合且，求集合；(2)已知，求实数的取值范围. 知识点02 均值不等式 知识点3：平均值不等式 1.算术平均值与几何平均值 对于正数 、 ，称 是 、 的算术平均值，并称 是 、的几何平均值． 2.平均值不等式 定理（平均值不等式）两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数 、 ，有 ，且等号当且仅当时成立 1.平均值不等式的常见变形： . 2.平均值不等式的常用结论： （1） 同号），当且仅当 时取等号； 异号)， 当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号； （2） ，当且仅当 时取等号； ， 当且仅当 时取等号．特别地， ，当且仅当 时取等号． 知识点4： 利用平均值不等式及常用不等式求代数式的最大(小)值 1.最值定理 已知 ，则 （1）若 （常数），则当且仅当 时， 有最小值 ．简记：积定和最小． （2）若 （常数），则当且仅当 时，a b有最大值 ．简记:和定积最大. 利用平均值不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件-一正、二定、三相等 (1)“一正”就是各项必须为正数。(2)“二定”就是要求和的最小值;必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值，(3)“三相等”是利用平均值不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易出错的地方 2.重要不等式链 （1）若 ，则 ． （2）若 ，则 ，其中 叫做a、b的调和平均值， 叫做 a 、 b的平方平均值．此不等式链常以 的形式出现． 平均值不等式的其他应用形式 （1） ，当且仅当 时取等号． （2） ，当且仅当 时取等号． （3） ，当且仅当 时取等号． （4） ，当且仅当 时取等号． 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【易错提醒】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. . 【例5】（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【易错提醒】根据基本不等式直接求解即可. 【例6】若直角三角形斜边长等于cm，则直角三角形面积的最大值为 . 【易错提醒】【分析】利用基本不等式可求面积的最大值. 【例7】（1）求的最小值；（2）已知，，，求的最小值． 【易错提醒】（1）由题意得，，然后结合基本不等式即可求解； （2）由已知得，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【对点练习】 【练习8】若，则的最小值是 . 【练习9】（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【练习10】（24-25高一上·上海·月考）设且，则的最小值为 . 【练习11】（22-23高一上·上海松江·期末）设，，且， 若的最小值为4，则实数a的值为 【练习12】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开， 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【练习13】（22-23高一上·上海松江·期末）设，且，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【练习14】已知，，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C．3 D．6 【练习15】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若对任意的，不等式恒成立， 则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【练习16】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【练习17】（24-25高一上·上海·期中）设、是正实数． (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值，并指出等号成立的条件． 【练习18】（24-25高一上·上海·期中）问题：正实数a、b满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时， 即且时取等号，故而的最小值是．学习上述解法并解决下列问题： (1)已知a、b是正实数，且，求的最小值． (2)①已知实数a、b、x、y，满足，求证． ②求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【练习19】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【练习20】（1）已知x，y是正实数，且，求的最小值； （2）函数的最小值为多少?（3）已知，则取得最大值时x的值为多少? 【易错提醒】（1）根据基本不等式“1”的巧用求最值即可；（2）对已知函数进行分式分离， 结合基本不等式求解最值即可；（3）利用基本不等式和为定值，乘积有最大值求解即可得答案. 1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·上海·月考）不等式的解集为 ． 3．（24-25高一上·上海浦东新·月考）不等式的解集为 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 5．（24-25高一上·上海·期中）设关于的不等式的解集为， 则关于的不等式的解集为 . 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 7．（22-23高一上·上海静安·期中）关于的不等式的解集是，则的解集是 8．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是， 则不等式的解集为 ． 9．（24-25高一上·上海·月考）关于的不等式的解集是，若， 则实数的取值范围是 ． 10．（24-25高一上·上海·期中）设关于x的不等式的解集为A，若， 则实数m的取值范围是 . 11．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，， 则的取值范围是 ． 12．设为实数，关于的不等式组的解集为，若，则的取值范围是 ． 13.（22-23高一上·上海徐汇·期末）若实数x、y满足，则的最小值为 . 14.已知正实数满足，则的最小值为 . 15.若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 16.若正数，满足，则的最大值为 . 17.（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，则代数式的最小值是 . 18.（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 19.（24-25高一上·上海闵行·期中）已知正实数满足，则的最小值是 . 20.（24-25高一上·上海宝山·期中）如图，嘉文计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制） 的矩形菜园；若菜园面积S为72m2，则所用篱笆总长C最小值是 m. 21．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为 ． 22．已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 23．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有两个， 则实数的取值范围是 ． 24．（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知关于的不等式组的整数解恰好有四个， 则实数的取值范围是 . 25．（24-25高一上·上海·课堂例题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·上海·期中）下列不等式中，与不等式解集相同的是（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·上海虹口·期末）设正实数满足，则下列结论不正确的是（    ）. A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 28.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29.对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·上海·月考）已知关于的不等式的解集是， 求关于的不等式的解集． 31．（24-25高一上·上海·月考） （1）解不等式；（2）；（3）. 32.求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值；(2)已知，，且满足.求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 33．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 34．（24-25高一上·上海·月考）解关于的不等式． 35．（24-25高一上·上海·期中）解关于的不等式：. 36.（24-25高一上·上海·月考）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和 与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库 建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元， 铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式；(2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 37.（24-25高一上·上海浦东新·期中）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨， 运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x万元. (1)写出一年的总运费y与x的函数关系式（要求写出x的取值范围）； (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最少，则每次购买多少吨？ (3)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量在什么范围内？ 38.（24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形， 面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个 矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 39．（24-25高一上·上海·开学考试）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化， 且）.    阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 (1)请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 40．（23-24高一上·上海徐汇·期中）定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. (1)设，都是正实数，且，求； (2)设，都是正实数，求的最小值. 41．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且； (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值；(3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $