第05讲 全称量词与存在量词（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：全称量词与全称量词命题 知识点02：存在量词与存在量词命题 知识点03：全称量词命题的否定 知识点04：存在量词命题的否定 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题是否为全称命题 题型02：判断全称命题的真假 题型03：根据全称命题的真假求参数 题型04：判断命题是否为特称(存在性)命题 题型05：判断特称(存在性)命题的真假 题型06：根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型07：全称命题的否定及其真假判断 题型08：特称命题的否定及其真假判断 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】判断命题“”的真假，并说明理由。 解：该命题为全称量词命题，限定集合为全体实数集 ，含义为：任意实数的平方都大于等于0。 对任意实数 分类讨论： 1. 当 时，，满足 ； 2. 当 时，，满足 ； 3. 当 时，负数平方为正数，，满足 。 综上：全体实数均满足条件，该全称量词命题为真命题。 【知识点02】存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 【例2】判断命题“”的真假，并说明理由。 解：该命题为存在量词命题，限定集合为整数集 ，含义为：存在整数 ，使得 成立。 解方程： 因为 ，即整数集中存在元素 满足等式。 综上：该存在量词命题为真命题。 【知识点03】全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 【例3】写出全称量词命题“”的否定，并判断否定命题的真假。 解：第一步：按照否定规则改写命题 将全称量词 改为存在量词 ，否定结论 ，即 。 命题的否定： 第二步：判断真假 对任意实数 ，恒有 ，因此 。 不存在实数 使得 成立。 综上：该否定命题为假命题。 【知识点04】存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 【例4】写出存在量词命题“”的否定，并判断否定命题的真假。 解：第一步：按照否定规则改写命题 将存在量词 改为全称量词 ，否定结论 ，即 。 命题的否定： 第二步：判断真假 对代数式配方： 由平方的非负性可知： 恒成立。 综上：该否定命题为真命题。 【题型01】判断命题是否为全称命题 【典例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】①③是全称量词命题． 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【答案】B 【分析】由全称量词的定义逐项判断即可． 【详解】选项A，含有存在量词“存在一个”，该命题是存在量词命题，所以A错误； 选项B，含有全称量词“每个”，该命题是全称量词命题，所以B正确； 选项C，含有存在量词“至少有一个”，该命题是存在量词命题，所以C错误； 选项D，含有存在量词“有些”，该命题是存在量词命题，所以D错误． 故选：B． 【变式1-2】下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【答案】C 【分析】由全称命题的定义，全称命题为含有全称量词的命题，由此对四个选项进行分析，即可得到答案． 【详解】命题“任意一个实数乘以零都等于零”，含有全称量词，故A是全称量词命题； B中命题可改写为：任意的素数都是奇数，含有全称量词，故B是全称量词命题； C中命题可改写为：高一()班存在部分同学是团员，不含全称量词，C不是全称量词命题； D中命题可改写为：所有已经发生的事，都是过去的事，含全称量词，故D是全称量词命题． 故选：C. 【变式1-3】下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是：________. 【答案】①③ 【分析】由全称量词命题的定义判断. 【详解】①任意一个自然数都是正整数， “任意一个”是全称量词，命题是全称量词命题； ②有的菱形是正方形，“有的”是存在量词，命题为存在量词命题； ③三角形的内角和是180°，指的是所有三角形，命题是全称量词命题. 故答案为：①③. 【题型02】判断全称命题的真假 【典例2-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项CD不合题意，再判断出命题真假即可得出结论. 【详解】对于A，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题， 例如2是素数，但2是偶数，所以A错误； 对于B，易知“，”是全称量词命题， 且由可得，所以是真命题，即B正确； 对于C，“有一个实数，使”是存在量词命题，不合题意； 对于D，“有些平行四边形是菱形”是存在量词命题，不合题意； 故选：B 【变式2-1】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出方程的根，即可判断. 【详解】因为，即，解得或或， 所以当且且时均能说明全称量词命题“”为假命题， 故符合题意的为D. 故选：D 【变式2-2】(多选)（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的特征可判断. 【详解】对于A，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，A正确； 对于B，含有存在量词，不是全称量词命题，B错误； 对于C，含有全称量词，是全称量词命题，且是真命题，C正确； 对于D，含有全称量词，是全称量词命题，但不是真命题，例如当时，，这是假命题，D错误. 故选：AC 【变式2-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）判断“”是__________命题（填写“真”或“假”）. 【答案】真 【分析】根据绝对值的非负性判断即可. 【详解】因为，所以， 所以为真命题. 故答案为：真 【题型03】根据全称命题的真假求参数 【典例3-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得“，”是真命题，根据求出参数的取值范围. 【详解】因为“任意，”为假命题， 所以“，”是真命题， 即方程有实数根，则，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B 【变式3-1】（多选）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】分和两种情况，结合题设条件，得，即可求解. 【详解】因为对，恒成立， 当时，，满足题意； 当时，有，解得， 综上，，所以A，B和C正确，D错误， 故选：ABC. 【变式3-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据全称命题的真假求参数. 【详解】命题“，”为真命题，即恒成立， 又在上单调递减，所以，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，集合，集合. (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集和补集的定义，结合子集个数公式进行求解即可； （2）根据集合并集的定义，结合包含的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以的子集的个数为； （2）因为命题“，都有”是真命题， 所以， 当时，显然符合题意，则有； 当时，要想，则有， 综上所述，实数m的取值范围为. 【题型04】判断命题是否为特称(存在性)命题 【典例4-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的概念即可判断. 【详解】对于A中含有“所有的”，该命题是全称量词命题； 对于B中含有“”，该命题是全称量词命题； 对于C中含有“任意一个”，该命题是全称量词命题； 对于D中含有“有一个”，该命题是存在量词命题； 故选：D. 【变式4-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的定义求解即可. 【详解】对于A，含有量词所有，为全称量词命题，故A错误； 对于B，含有量词每一个，为全称量词命题，故B错误； 对于C，含有量词有的，为存在量词命题，故C正确； 对于D，含有量词任意，为全称量词命题，故D错误. 故选：C. 【题型05】判断特称(存在性)命题的真假 【典例5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 【变式5-1】（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列选项中能证明命题“”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入检验可得结果. 【详解】A：当时，，为真命题； B：当时，，为真命题； C：当时，，为假命题； D：当时，，为真命题； 故选：ABD. 【变式5-2】在下列存在量词命题中是真命题的有________. ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 【答案】①②③ 【分析】根据无限不循环小数、等腰三角形、菱形和正方形的定义逐个分析可得答案. 【详解】实数是无限不循环小数，故①为真命题； 边长为3,4,5的三角形不是等腰三角形，故②为真命题； 对角线长相等的菱形是正方形，故③为真命题. 故答案为：①②③ 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假： (1)存在一个三角形没有外接圆； (2)； (3)存在实数x，． 【答案】(1)存在量词命题，命题为假命题． (2)存在量词命题．该命题为假命题． (3)存在量词命题．该命题为真命题． 【分析】（1）通过考虑命题的否定来判断真假； （2）通过考虑命题的否定来判断真假； （3）通过直接举例判断真假. 【详解】（1）存在一个三角形没有外接圆，是存在量词命题. 因为对任意一个三角形都有外接圆是真命题，所以存在一个三角没有外接圆为假命题. （2）存在量词命题． 为真命题，所以为假命题. （3）存在量词命题． 因为存在，使得成立，所以为真命题. 【题型06】根据特称(存在性)命题的真假求参数 【典例6-1】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据存在量词命题为假命题，可得：方程无实数根，进而利用判别式进行求解即可. 【详解】命题“”为假命题，则方程无实数根， 当时，，符合题意， 当时，即，解得：； 综上：. 故选：A． 【变式6-1】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·阶段检测）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用存在量词命题的否定形式及真假计算即可. 【详解】因为，或为假命题，所以，为真命题， 可得， 又，为真命题，可得，所以， 故集合可以是BD选项中的集合. 故选：BD． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】根据题意，若命题“，使得成立”为假命题， 则一元二次方程无实数根， 必有，解得，故的范围是. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知Ü，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件， Ü ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 【题型07】全称命题的否定及其真假判断 【典例7-1】（24-25高一上·河南开封·期末）已知命题:，，则该命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 【变式7-1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）. 【答案】 存在正数的立方根不是正数 假 【分析】根据全称命题的否定及真假判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在正数的立方根不是正数”，正数的立方根是正数所以是假命题. 故答案为：存在正数的立方根不是正数；假. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）命题p：菱形都是平行四边形，则：________________；为________________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 菱形不都是平行四边形 假 【分析】运用含量词的命题的否定方法，存在与任意互换，否定结论即可. 【详解】命题p：菱形都是平行四边形，则：菱形不都是平行四边形；显然此命题错误. 故答案为：菱形不都是平行四边形；假. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接写出结果. 【详解】（1）所有的矩形都是平行四边形的否定为： 存在一个矩形，它不是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数的否定为： 存在一个素数不是奇数； （3）的否定为：0 【题型08】特称命题的否定及其真假判断 【典例8-1】（25-26高一上·山东菏泽·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的否定形式即可求解. 【详解】利用存在量词命题的否定形式可知原命题的否定为：. 故选：D 【变式8-1】命题“存在，使”的否定是____命题．(填“真”或“假”) 【答案】假 【分析】根据命题之间的关系可知，原命题是真命题，故其否定为假命题. 【详解】命题“存在，使”是真命题，如； 所以其否定是假命题． 故答案为：假 【变式8-2】命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题. 【答案】 ∃x0，y0∈R，x0+y0>1； ∀x，y∈R，x+y≤1； 假 【分析】将命题转化为特称量词符号表示，并写出否定，判断真假. 【详解】此命题用符号表示为∃x0，y0∈R，x0+y0>1，此命题的否定是∀x，y∈R，x+y≤1， 原命题为真命题，所以它的否定为假命题. 【变式8-3】（2025高一上·全国·专题练习）写出下列命题的否定． (1)某些三角形是正三角形； (2)，使得． 【答案】(1)所有三角形都不是正三角形 (2) 【分析】根据存在量词命题否定是全程量词命题求解即可. 【详解】（1）所有三角形都不是正三角形； （2）． 知识点01全称量词与全称量词命题 1. 基本概念 短语“任意一个”“所有的”称为全称量词，专用符号：。 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 2. 标准形式 文字释义：对集合中的任意一个元素，都满足性质。 3. 真假判定规则 真命题：集合中所有元素都满足； 假命题：集合中至少存在一个元素不满足（举反例即可证假）。 知识点02、存在量词与存在量词命题 1. 基本概念 短语“存在一个”“至少有一个”称为存在量词，专用符号：。 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 2. 标准形式 文字释义：在集合中，存在至少一个元素，满足性质。 3. 真假判定规则 真命题：集合中找到至少一个元素满足即可； 假命题：集合中所有元素都不满足。 知识点03全称量词命题的否定 1. 核心否定法则 量词互换：全称量词变存在量词，结论取反，集合范围保持不变。 2. 公式等价变换 原命题（全称）： 命题的否定（存在）： 3. 关键性质 全称量词命题的否定一定是存在量词命题；原命题与否定命题真假性相反，一真一假。 知识点04存在量词命题的否定 1. 核心否定法则 量词互换：存在量词变全称量词，结论取反，集合范围保持不变。 2. 公式等价变换 原命题（存在）： 命题的否定（全称）： 3. 关键性质 存在量词命题的否定一定是全称量词命题；原命题与否定命题真假性相反。 知识点05本节重难点与易错点汇总 1. 核心解题口诀 命题否定两步走：量词互换，结论否定； 真假判断核心：全称找反例，存在找特例。 2. 高频易错点 （1）命题否定时，不可改变集合范围，仅修改量词和结论； （2）切勿只否定结论不换量词，或只换量词不否定结论（双重缺一错误）； （3）全称命题为假、存在命题为真，只需举出一个符合/不符合的例子即可； （4）原命题与否定命题不可能同真、同假，必然一真一假。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解全称量词和存在量词，存在就是有就可以，任意是所有的都要满足，利用这些知识进行求解即可得到答案. 【详解】， 选项A，，这是存在性命题，只需找到一个且的元素即可，例如，满足且，故选项A正确； 选项B，，这是存在性命题，集合中的元素都在集合中，故不存在集合中的元素不属于集合，故选项B错误； 选项C，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都不属于集合，而属于集合，也属于集合，故选项C错误； 选项D，，这是全称命题，要求所有集合中的元素都属于集合，而属于集合，但不属于集合，故选项D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题并判断真假即可． 【详解】由，可得，所以p是假命题， 且为，． 故选：C． 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的定义即可知选项B不合题意，再判断出ACD选项中命题的真假即可得出结论. 【详解】A选项，素数2不是奇数，“所有的素数都是奇数”是全称量词命题，但是假命题，A选项错误； B选项，“，使”是存在量词命题，B选项错误； C选项，矩形的对角互补，都有外接圆，“矩形都有外接圆” 既是全称量词命题又是真命题，C选项正确； D选项，负整数没有平方根，“都有平方根” 是全称量词命题，但是假命题，D选项错误； 故选：C 4．（2025高一上·福建厦门·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先将存在量词“”改为全称量词“”，再否定原命题的结论即可. 【详解】因为：， 所以命题的否定是：. 故选B. 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 因为⫋， 故使“”为真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：B. 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出原命题为假时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义判断各个选项. 【详解】命题“”是假命题，则其否定“”是真命题. 当时，若，则，满足条件. 若，则在上单调递增，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 若，则在上单调递减，的最小值为， 要使成立，则，即，则， 综上，当原命题为假时的取值范围是， 下面判断各个选项： 选项A：，不能推出，且也不能推出， 所以既不是充分条件也不是必要条件， 选项B：，能推出，但不能推出， 所以是充分不必要条件， 选项C：，不能推出，且不能推出， 所以是既不是充分条件也不是必要条件， 选项D：范围就是，为充要条件. 故选：B. 7．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程解的情况、含有存在量词的命题的否定、充分条件和必要条件的定义分析运算即可得解. 【详解】解：∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， 即方程没有实数根， ∴ ∴，即命题：“，使”是假命题 等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求， ∴选项B正确. 故选：B. 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题p为真，则集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故. 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州·阶段检测）下列命题中，真命题的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．对任意一个无理数，也是无理数 D．，是的充分不必要条件 【答案】BD 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义，结合特殊值法判断各选项． 【详解】“”是“”的充分不必要条件，所以“”是“”的充分不必要条件，A错误； 命题“，”的否定是“，”，B选项正确； 是无理数，是有理数，C错误； 因为，但时满足，不能推出， 所以，是的充分不必要条件，D正确． 故选：BD． 10．（25-26高一上·西藏林芝·期末）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】根据集合的子集定义即可判断. 【详解】由题知，且，所以，，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 11．（23-24高一上·江苏南京·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断. 【详解】依题意可知中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素， 则和符合题意. 故选：AD 三、填空题 12． 命题：，有实根的否定为______命题（填“真”或“假”）。 【答案】假 【分析】写出其命题的否定，即可判断其否定的真假. 【详解】，有实根的否定为，没有实根 因为， 所以方程有实根， 故，有实根的否定为假命题. 故答案为：假. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 14．（2025高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据含有存在量词的命题的定义进行真假判断，然后利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可. 【详解】（1）因为，所以该命题为真命题，命题的否定为：，. （2）因为方程无解，所以该命题为真命题，命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解. （3）省略了量词“所有的”，该命题是全称量词命题，由绝对值的定义可得，正数的绝对值都等于其本身，所以该命题为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身． 16．已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据存在性命题的否定为全称命题，写出命题的否定； （2）先利用判别式求得真的充要条件为，然后分真假、假真，分别求得的取值范围，最后求并集即得. 【详解】（1），． （2）若是真命题，得，所以． 若为真命题，为假命题，则，解得； 若为假命题，为真命题，则，解得． 所以，的取值范围为或． 17.（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知命题， 都有恒成立；命题，. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题的否定为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全称命题的真假计算即可得； （2）写出命题的否定后结合全称命题的真假计算即可得. 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，对恒成立， 则，即，故实数的取值范围是； （2）因为命题的否定为真命题， 所以“，”为真命题， 所以，解之得.， 故实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意在上无解，结合对应二次函数的性质的列不等式求参数范围； （2）由充分不必要关系得是的真子集，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由命题是真命题，则为假命题， 所以在上无解， 当时，则无解，满足题意， 当时，只需， 综上，； （2）由是的必要不充分条件，且为真命题时或， 所以是的真子集， 所以，得. 19．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) . 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先求命题p为真命题时，的范围，再由q是p的必要不充分条件即可求解. 【详解】（1）：，， ∵是真命题，∴当时，显然成立； 当时，，∴. 综上所述，实数的取值范围是； （2）若为真命题，则当时，则，显然不成立； 当时，，解得或. ∴p为真命题时，或. ∵q是p的必要不充分条件，∴，且， ∴且，即， ∴实数的取值范围是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 全称量词与存在量词（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：全称量词与全称量词命题 知识点02：存在量词与存在量词命题 知识点03：全称量词命题的否定 知识点04：存在量词命题的否定 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断命题是否为全称命题 题型02：判断全称命题的真假 题型03：根据全称命题的真假求参数 题型04：判断命题是否为特称(存在性)命题 题型05：判断特称(存在性)命题的真假 题型06：根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型07：全称命题的否定及其真假判断 题型08：特称命题的否定及其真假判断 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】全称量词与全称量词命题 全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题，全称量词表示的数量可能是有限的，也可能是无限的，由题目而定． (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”． (3)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． (4)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例即可． 【例1】判断命题“”的真假，并说明理由。 【知识点02】存在量词与存在量词命题 存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的、对某些 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 注意点： (1)从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题． (2)有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题． (3)要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需要在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可． (4)要判断一个存在量词命题是假命题，需对集合M中的任意一个元素x，证明p(x)都不成立． 【例2】判断命题“”的真假，并说明理由。 【知识点03】全称量词命题的否定 1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题． 2．常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n－1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n＋1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 注意点： 总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． 【例3】写出全称量词命题“”的否定，并判断否定命题的真假。 【知识点04】存在量词命题的否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题． 【例4】写出存在量词命题“”的否定，并判断否定命题的真假。 【题型01】判断命题是否为全称命题 【典例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中全称量词命题的个数是（   ） ①任意一个自然数都是正整数； ②有的平行四边形也是菱形； ③n边形的内角和是． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题是全称量词命题的是（    ） A．存在一个实数的平方是负数 B．每个四边形的内角和都是 C．至少有一个整数是质数 D．有些实数满足 【变式1-2】下列语句不是全称量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以零都等于零 B．素数都是奇数 C．高一（）班绝大多数同学是团员 D．凡是过去，皆为序章 【变式1-3】下列命题中： ①任意一个自然数都是正整数； ②有的菱形是正方形； ③三角形的内角和是180°. 其中是全称量词命题的是：________. 【题型02】判断全称命题的真假 【典例2-1】下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．有一个实数，使 D．有些平行四边形是菱形 【变式2-1】能说明全称量词命题“”为假命题的例子是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】(多选)（25-26高一上·内蒙古包头·期中）下列是全称量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-3】（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）判断“”是__________命题（填写“真”或“假”）. 【题型03】根据全称命题的真假求参数 【典例3-1】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若命题“任意，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知命题，为真命题，则可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【变式3-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式3-3】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，集合，集合. (1)求的子集的个数； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数m的取值范围. 【题型04】判断命题是否为特称(存在性)命题 【典例4-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【变式4-1】（24-25高一上·贵州贵阳·阶段检测）下列命题中是存在量词命题的是（   ） A．所有的素数都是奇数 B．， C．对任意一个无理数x，也是无理数 D．有一个偶数是素数 【变式4-2】（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）下列命题中的存在量词命题是（   ） A．所有能被3整除的整数都是奇数 B．每一个四边形的四个顶点在同一个圆上 C．有的三角形是等边三角形 D．任意两个等边三角形都相似 【题型05】判断特称(存在性)命题的真假 【典例5-1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【变式5-1】（多选）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列选项中能证明命题“”为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】在下列存在量词命题中是真命题的有________. ①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形. 【变式5-3】（2025高一·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假： (1)存在一个三角形没有外接圆； (2)； (3)存在实数x，． 【题型06】根据特称(存在性)命题的真假求参数 【典例6-1】（25-26高一上·云南昭通·阶段检测）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D．或 【变式6-1】（多选）（24-25高一上·安徽宿州·阶段检测）若“，”为真命题，“，或”为假命题，则集合M可以是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江苏常州·期末）若命题“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【变式6-3】（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【题型07】全称命题的否定及其真假判断 【典例7-1】（24-25高一上·河南开封·期末）已知命题:，，则该命题的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·河南驻马店·期中）命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为_____，否定后的命题是_____命题（填“真”或“假”）. 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）命题p：菱形都是平行四边形，则：________________；为________________命题．（填“真”或“假”） 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 它们与原命题在形式上有什么变化？ 【题型08】特称命题的否定及其真假判断 【典例8-1】（25-26高一上·山东菏泽·期末）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】命题“存在，使”的否定是____命题．(填“真”或“假”) 【变式8-2】命题“存在实数x，y，使得x+y>1”，用符号表示为_______，此命题的否定是_____，是_____(填“真”或“假”)命题. 【变式8-3】（2025高一上·全国·专题练习）写出下列命题的否定． (1)某些三角形是正三角形； (2)，使得． 知识点01全称量词与全称量词命题 1. 基本概念 短语“任意一个”“所有的”称为全称量词，专用符号：。 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 2. 标准形式 文字释义：对集合中的任意一个元素，都满足性质。 3. 真假判定规则 真命题：集合中所有元素都满足； 假命题：集合中至少存在一个元素不满足（举反例即可证假）。 知识点02、存在量词与存在量词命题 1. 基本概念 短语“存在一个”“至少有一个”称为存在量词，专用符号：。 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 2. 标准形式 文字释义：在集合中，存在至少一个元素，满足性质。 3. 真假判定规则 真命题：集合中找到至少一个元素满足即可； 假命题：集合中所有元素都不满足。 知识点03全称量词命题的否定 1. 核心否定法则 量词互换：全称量词变存在量词，结论取反，集合范围保持不变。 2. 公式等价变换 原命题（全称）： 命题的否定（存在）： 3. 关键性质 全称量词命题的否定一定是存在量词命题；原命题与否定命题真假性相反，一真一假。 知识点04存在量词命题的否定 1. 核心否定法则 量词互换：存在量词变全称量词，结论取反，集合范围保持不变。 2. 公式等价变换 原命题（存在）： 命题的否定（全称）： 3. 关键性质 存在量词命题的否定一定是全称量词命题；原命题与否定命题真假性相反。 知识点05本节重难点与易错点汇总 1. 核心解题口诀 命题否定两步走：量词互换，结论否定； 真假判断核心：全称找反例，存在找特例。 2. 高频易错点 （1）命题否定时，不可改变集合范围，仅修改量词和结论； （2）切勿只否定结论不换量词，或只换量词不否定结论（双重缺一错误）； （3）全称命题为假、存在命题为真，只需举出一个符合/不符合的例子即可； （4）原命题与否定命题不可能同真、同假，必然一真一假。 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·四川成都·期末）若命题p：，，则（   ） A．p是真命题，且为， B．p是真命题，且为， C．p是假命题，且为， D．p是假命题，且为， 3．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（    ） A．所有的素数都是奇数 B．，使 C．矩形都有外接圆 D．都有平方根 4．（2025高一上·福建厦门·专题练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）设，使“”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·重庆·期中）已知命题“”是假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题：“，使”是假命题，则命题成立的必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，且，若命题“”是真命题，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·贵州·阶段检测）下列命题中，真命题的是（   ） A．“”是“”的充要条件 B．命题“，”的否定是“，” C．对任意一个无理数，也是无理数 D．，是的充分不必要条件 10．（25-26高一上·西藏林芝·期末）已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24高一上·江苏南京·阶段检测）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12． 命题：，有实根的否定为______命题（填“真”或“假”）。 13．（2026高一·全国·专题练习）已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 14．（2025高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题 15．（2025高一上·江苏南通·专题练习）判断下列命题的真假，并写出它们的否定. (1)，； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的绝对值是它本身. 16．已知命题，使，命题． (1)写出； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 17.（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）已知命题， 都有恒成立；命题，. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题的否定为真命题，求实数的取值范围. 18．（25-26高一上·山东·期中）已知，，或 (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·河北石家庄·期中）已知：，，：或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题p是真命题，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $