第07讲 直线与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（苏教版选修第一册）(1)

第07讲 直线与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与圆位置关系的判定 知识点02：直线与圆相切的有关问题 知识点03：直线截圆所得弦长问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与圆的位置关系 题型02：由直线与圆的位置关系求参数 题型03：过圆上一点的圆的切线方程 题型04：过圆外一点的圆的切线方程 题型05：切线长 题型06：圆的弦长与中点弦 题型07：已知圆的弦长求方程或参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与圆位置关系的判定 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法:设圆心到直线的距离 d= d<r d=r d>r 代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 温馨提示　在不需要求直线与圆的公共点坐标时,一般用几何法判定直线与圆的位置关系更简单. 【例1】判断直线 与圆 的位置关系。 【知识点02】直线与圆相切的有关问题 相切等价条件：几何法 ；代数法 ； 切线核心性质：圆心与切点的连线垂直于切线； 【例2】已知圆 ，求过点 的圆的切线方程。 【知识点03】直线截圆所得弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB,则有+d2=r2,即AB=2. (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立, 设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB==|x1-x2|, 或AB=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 温馨提示　(1)弦长公式的前提是判别式大于零. (2)斜率不存在时AB=|y1-y2|. 【例3】求直线 截圆 所得的弦长。 【题型01】判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【变式1-2】直线与圆的位置关系是________． 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）判断圆与下列直线的位置关系 (1)； (2)． 【题型02】由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（25-26高二上·福建漳州·期末）过点的直线与圆相切，则的斜率为（   ） A．-2或0 B．或0 C．或0 D．或0 【变式2-1】（多选）（25-26高二上·甘肃平凉·期末）过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与圆相切，则_______________. 【变式2-3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 【题型03】过圆上一点的圆的切线方程 【典例3-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【题型04】过圆外一点的圆的切线方程 【典例4-1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）过点作圆的切线，下列选项中为切线方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【题型05】切线长 【典例5-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【变式5-1】已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【变式5-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）圆过点,,. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点作圆的切线,求. 【题型06】圆的弦长与中点弦 【典例6-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】直线被圆截得的弦长为____________ 【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）直线与圆交于A、B两点，则______． 【变式6-3】已知圆C：，过点且倾斜角为的直线与圆交于，两点． (1)当时，求的长； (2)当点为线段中点时，求直线的方程． 【题型07】已知圆的弦长求方程或参数 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若直线被圆 截得的弦长为4，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式7-1】（多选）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为____. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 知识点01基础定义与核心公式 设直线一般式： 设圆标准方程： 圆心：，半径： 圆心到直线的距离公式（本章核心万能公式）： 知识点02直线与圆的三种位置关系（判定梳理） 1. 几何法（考试首选、运算量小） 通过圆心到直线距离 与半径 的大小关系判定： 直线与圆相离，无公共点、无切线、无弦长 直线与圆相切，有且仅有1个公共点，直线为圆的切线 直线与圆相交，有2个公共点，直线截圆存在弦长 2. 代数法（联立方程判别式） 联立直线与圆方程，消元得到一元二次方程 ，判别式： 方程无实根，直线与圆相离 方程有唯一实根，直线与圆相切 方程有两个不等实根，直线与圆相交 知识点03直线与圆相切核心考点梳理 1. 相切核心等价条件 几何条件： 代数条件： 2. 切线核心性质（解题关键） 圆心与切点的连线 切线，即半径垂直于切线。 3. 两类高频切线题型结论 题型1：过圆上一点求切线：有且仅有1条切线，利用垂直斜率关系或距离公式求解。 题型2：过圆外一点求切线：有且仅有2条切线，常设斜率联立方程，利用 求解。 知识点04直线截圆弦长问题核心梳理 1. 解题依据：垂径定理 圆心到直线的垂线平分直线截圆所得的弦， 构成直角三角形。 2. 弦长万能公式 基础关系式： 标准弦长公式： 注： 为弦长，公式仅适用于直线与圆相交（）的情况。 知识点05解题易错点总结 优先使用几何法解题，计算量更小、正确率更高，代数法多用于验证 求切线方程时，需注意斜率不存在的特殊情况，避免漏解 弦长计算必须先判断直线与圆相交，不可直接套用公式 点与圆位置关系：点在圆上（1条切线）、点在圆外（2条切线）、点在圆内（无切线） 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 3．（25-26高二上·全国·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 7．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏无锡·期中）有一组圆C：（且），下列四个命题中正确的是（    ） A．所有的圆都不经过 B．存在一条直线与所有的圆都相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．存在k，使圆与x轴相切 10．（24-25高二上·江西·阶段检测）若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（   ） A．0 B． C．2 D． 11．（25-26高二上·江苏·期中）若一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）直线被圆所截得的弦长为__________. 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 17．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 18．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 直线与圆的位置关系（知识详解+7典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直线与圆位置关系的判定 知识点02：直线与圆相切的有关问题 知识点03：直线截圆所得弦长问题 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：判断直线与圆的位置关系 题型02：由直线与圆的位置关系求参数 题型03：过圆上一点的圆的切线方程 题型04：过圆外一点的圆的切线方程 题型05：切线长 题型06：圆的弦长与中点弦 题型07：已知圆的弦长求方程或参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直线与圆位置关系的判定 直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法:设圆心到直线的距离 d= d<r d=r d>r 代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 温馨提示　在不需要求直线与圆的公共点坐标时,一般用几何法判定直线与圆的位置关系更简单. 【例1】判断直线 与圆 的位置关系。 解：步骤1：提取圆与直线的基础参数 由圆的标准方程得：圆心，半径 ； 直线一般式参数：。 步骤2：利用几何法计算圆心到直线的距离 步骤3：比较距离与半径大小 ，即 直线与圆相交。 【知识点02】直线与圆相切的有关问题 相切等价条件：几何法 ；代数法 ； 切线核心性质：圆心与切点的连线垂直于切线； 【例2】已知圆 ，求过点 的圆的切线方程。 解：步骤1：将圆方程化为标准形式 得圆心 ，半径。 步骤2：判断点与圆的位置关系 将 代入圆方程左边： 因此点 在圆上， 为圆的半径，切线与 垂直。 步骤3：分析半径直线斜率 直线 横坐标恒为2，是垂直于x轴的直线，无斜率； 故切线平行于x轴，斜率 。 步骤4：求解切线方程 由点斜式 ，代入 ： 验证：圆心到直线 的距离 ，满足相切条件。 综上，切线方程为。 【知识点03】直线截圆所得弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法: (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为AB,则有+d2=r2,即AB=2. (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立, 设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB==|x1-x2|, 或AB=|y1-y2|(直线l的斜率k存在且不为0). 温馨提示　(1)弦长公式的前提是判别式大于零. (2)斜率不存在时AB=|y1-y2|. 【例3】求直线 截圆 所得的弦长。 解：步骤1：提取基础参数 圆心，半径 。 步骤2：计算圆心到直线的距离 步骤3：代入弦长公式计算 综上，直线截圆所得弦长为 。 【题型01】判断直线与圆的位置关系 【典例1-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）已知直线：与圆：，若点在直线上，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】依题意可得，再求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】因为点在直线上，所以，即， 圆：的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·期末）直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与有关 【答案】A 【分析】根据圆心在直线上，利用直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题可得，圆心为，又点满足直线方程， 即直线经过圆心， 所以直线与圆相交. 故选：A. 【变式1-2】直线与圆的位置关系是________． 【答案】相离 【分析】联立直线与圆的方程，得到一元二次方程，根据判别式即可判断. 【详解】联立直线l与圆C的方程，可得方程组，消去y，得． ∵，∴方程无实数解，即方程组无实数解， 故直线l与圆C相离． 故答案为：相离. 【变式1-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）判断圆与下列直线的位置关系 (1)； (2)． 【答案】(1)相交 (2)相切 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】（1）， 故圆心为，半径为5， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交； （2）圆心到直线的距离为， 故直线与圆相切. 【题型02】由直线与圆的位置关系求参数 【典例2-1】（25-26高二上·福建漳州·期末）过点的直线与圆相切，则的斜率为（   ） A．-2或0 B．或0 C．或0 D．或0 【答案】C 【分析】先设出直线的斜率，再写出直线方程，最后利用直线和圆相切列出关于斜率的方程，求解出斜率. 【详解】设直线的斜率为，则的方程为，整理得. 直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，，解得或. 故选：C 【变式2-1】（多选）（25-26高二上·甘肃平凉·期末）过点的直线与圆有公共点，则直线l的斜率可以是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】AD 【分析】法一：设直线l的斜率为k，可得直线l的方程，与圆联立，可得关于x的一元二次方程，由题意，判别式，计算化简，即可得答案；法二：设直线方程为，根据圆心到直线的距离小于等于半径即可得到不等式，解出即可. 【详解】法一：由题意，直线l的斜率存在，且设为k，则直线l的方程为， 因为直线与圆有公共点， 所以联立，得， 判别式，解得. 法二：设直线l的方程为，即， 因为直线与圆有公共点， 则，解得. 故选：AD 【变式2-2】（25-26高二上·天津西青·期末）已知直线与圆相切，则_______________. 【答案】8 【分析】利用圆的切线性质列式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 依题意，，所以. 故答案为：8 【变式2-3】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知的三个顶点为，，． (1)求边AC的垂直平分线的方程； (2)若直线BC与圆相切，求b的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出垂直平分线的斜率，利用点斜式直接求解即可； （2）利用直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径直接列方程求解即可. 【详解】（1）边AC的中点，由已知得 所以AC的垂直平分线方程为，即 （2）由，，∴ 直线BC的方程为 圆心到直线BC的距离，所以 【题型03】过圆上一点的圆的切线方程 【典例3-1】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 【变式3-1】（25-26高二上·辽宁抚顺·期末）过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【详解】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以，    则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为， 所以过点的切线方程为，即． 【变式3-3】（2025高二上·全国·专题练习）过点作圆的切线，求此切线方程． 【答案】 【分析】将A点代入圆的方程中，发现点A在圆上，则圆心到A点的斜率为0，则切线斜率不存在，是垂直于x轴的直线即可求出切线方程. 【详解】因为， 所以点在圆上，从而A是切点， 又过圆心与点A的直线斜率为，且切线与之垂直， 故所求切线的方程为． 【题型04】过圆外一点的圆的切线方程 【典例4-1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）过点作圆的切线，下列选项中为切线方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知确定圆心和半径，且在圆外，所求切线斜率存在，设为，利用切线与圆心距离等于半径列方程求参数，即可得. 【详解】由的圆心，半径为1，显然， 所以在圆外，而不与圆相切， 所以切线的斜率存在，设为，即， 所以，可得，整理得， 所以或，则切线为或， 所以切线为或. 故选：BC 【变式4-2】（25-26高二上·江苏淮安·期中）经过点作圆的切线，则切线的方程为__________. 【答案】或 【分析】结合切线性质，分切线斜率不存在与切线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】当切线斜率不存在时，，此时点到直线的距离为， 故是圆的切线，符合； 当切线斜率存在时，设，即， 则有，化简得，即， 故，即； 综上所述：切线的方程为或. 故答案为：或. 【变式4-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 【题型05】切线长 【典例5-1】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 【变式5-1】已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求得从而切线长为,计算求解即可. 【详解】圆:,即圆心半径 切线长为 故选:B. 【变式5-2】（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 【变式5-3】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）圆过点,,. (1)求圆的方程； (2)过圆外一点作圆的切线,求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得线段、的垂直平分线，进一步求得圆心和半径，由此即可得解. （2）由切线长公式即可求解. 【详解】（1）因为,，，所以线段的垂直平分线为， ，线段中点坐标为， 所以线段的垂直平分线是，即， 联立与，可得圆心坐标， 所以圆的半径， 故所求为； （2）. 【题型06】圆的弦长与中点弦 【典例6-1】（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆的标准方程为，故圆心为，半径， 圆心到直线的距离：， 由弦长公式，弦长为. 故选：B 【变式6-1】直线被圆截得的弦长为____________ 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 又由圆心到直线，可得， 所以直线截圆所得的弦长为. 故答案为：. 【变式6-2】（25-26高二上·全国·期末）直线与圆交于A、B两点，则______． 【答案】2 【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长． 【详解】由题意可得圆的圆心为，且半径是，圆心到直线的距离， 所以， 故答案为:. 【变式6-3】已知圆C：，过点且倾斜角为的直线与圆交于，两点． (1)当时，求的长； (2)当点为线段中点时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，得直线斜率，又由直线与圆相交弦长公式即可得的长； （2）点为中点时，则，则可得斜率关系，从而可得直线的斜率，又点在直线上，即可得得直线的方程． 【详解】（1）解：当时，则． 此时直线方程为：，即． 故圆心到直线AB的距离． 又，所以． （2）解：点为中点时，则，所以， 其中，所以． 所以直线方程为，即． 【题型07】已知圆的弦长求方程或参数 【典例7-1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）若直线被圆 截得的弦长为4，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列方程求参数即可. 【详解】由题设，圆心，半径为，则到的距离， 由直线与圆相交所得弦长为4，则，即，所以. 故选：D 【变式7-1】（多选）若直线l经过点，且被圆截得的弦长为4，则l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程. 【详解】圆的标准方程为：，由题意圆心到直线l的距离 ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离，符合题意， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，则直线方程为， 综上，直线 l的方程为或． 故选：AC． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为____. 【答案】 【分析】应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由题设，圆心到直线的距离 ， 又圆的半径，则弦长为，可得， 所以. 故答案为： 【变式7-3】（25-26高二上·江苏常州·期中）已知点． (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出的中垂线方程，然后可求外接圆的圆心坐标和半径，由此可知外接圆的标准方程； （2）当直线斜率存在时，设出直线方程，利用半径、半弦长、圆心到直线的距离之间的关系求解出结果；当直线斜率不存在时，直接分析可得结果. 【详解】（1）的中点为，的中垂线方程， 的中点，且直线的斜率不存在，的中垂线方程为， 圆心满足，， ， 圆的标准方程为． （2）直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离， 当直线斜率存在时，设的方程为，即， ，解得，此时的方程为； 当直线斜率不存在时，方程为，满足题意， 因此，所求直线的方程为或 知识点01基础定义与核心公式 设直线一般式： 设圆标准方程： 圆心：，半径： 圆心到直线的距离公式（本章核心万能公式）： 知识点02直线与圆的三种位置关系（判定梳理） 1. 几何法（考试首选、运算量小） 通过圆心到直线距离 与半径 的大小关系判定： 直线与圆相离，无公共点、无切线、无弦长 直线与圆相切，有且仅有1个公共点，直线为圆的切线 直线与圆相交，有2个公共点，直线截圆存在弦长 2. 代数法（联立方程判别式） 联立直线与圆方程，消元得到一元二次方程 ，判别式： 方程无实根，直线与圆相离 方程有唯一实根，直线与圆相切 方程有两个不等实根，直线与圆相交 知识点03直线与圆相切核心考点梳理 1. 相切核心等价条件 几何条件： 代数条件： 2. 切线核心性质（解题关键） 圆心与切点的连线 切线，即半径垂直于切线。 3. 两类高频切线题型结论 题型1：过圆上一点求切线：有且仅有1条切线，利用垂直斜率关系或距离公式求解。 题型2：过圆外一点求切线：有且仅有2条切线，常设斜率联立方程，利用 求解。 知识点04直线截圆弦长问题核心梳理 1. 解题依据：垂径定理 圆心到直线的垂线平分直线截圆所得的弦， 构成直角三角形。 2. 弦长万能公式 基础关系式： 标准弦长公式： 注： 为弦长，公式仅适用于直线与圆相交（）的情况。 知识点05解题易错点总结 优先使用几何法解题，计算量更小、正确率更高，代数法多用于验证 求切线方程时，需注意斜率不存在的特殊情况，避免漏解 弦长计算必须先判断直线与圆相交，不可直接套用公式 点与圆位置关系：点在圆上（1条切线）、点在圆外（2条切线）、点在圆内（无切线） 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏淮安·期中）过圆上一点作圆的切线则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心C，和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程. 【详解】由题意得：圆心，所以，且，解得. 所以直线的方程为：，化简得：. 故选：C 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相离 【答案】B 【分析】根据点在圆外求出、的关系，再求圆心到直线的距离，从而判断直线与圆的位置关系. 【详解】因为点在圆外，所以. 圆的圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离. 由，可得，则，即圆心到直线的距离. 所以直线与圆的位置关系是相交. 故选：B. 3．（25-26高二上·全国·期末）若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再根据直线截圆弦长公式求解参数的值. 【详解】圆的圆心，半径为， 设圆心到直线的距离， 由直线被圆截得的弦长为，得，所以. 故选：C 4．（25-26高二上·四川绵阳·期中）若直线：与圆：相切，则实数的取值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程确定圆心坐标和半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求. 【详解】方程可化为， 所以圆的圆心的坐标为，半径， 因为直线:与圆:相切， 所以点到直线的距离， 所以， 解得，或， 故选：A 5．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知过点的直线与圆：相交于，两点，若，则的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】由直线斜率存在和不存在结合弦长公式即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径. 当的斜率不存在时，，此时的方程为； 当的斜率存在时，设的方程为， 由，解得，此时的方程为. 综上，直线的方程为或. 故选：C 6．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 7．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）若直线与曲线C：有两个不同的公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据曲线的方程可得曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴），求出直线与圆相切时的值，再结合图形即可求解. 【详解】由可得， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的轴的上半部分（含轴）， 直线过定点， 当直线与圆相切时， 圆心到直线的距离， 解得或（舍去）， 当直线过点时， 直线斜率为， 结合图形可得实数的取值范围是. 故选：C. 8．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知过点的直线与圆相交于，两点，若，则（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先判断在圆内，设的中点为，连接，则，设，即可表示，设圆心到直线的距离为，在、中分别利用勾股定理得到、的方程，解得，即可得解. 【详解】因为，所以在圆内， 设的中点为，连接，则， 设，因为，则， 所以，则， 设圆心到直线的距离为， 所以在中，即， 在中，即， 解得，则，. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二上·江苏无锡·期中）有一组圆C：（且），下列四个命题中正确的是（    ） A．所有的圆都不经过 B．存在一条直线与所有的圆都相交 C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．存在k，使圆与x轴相切 【答案】ABD 【分析】说明为圆心可判断A；找出符合题意的直线判断B；说明圆的半径可无限大即可判断C；举例可判断D. 【详解】对于A，圆C：（且）的圆心为， 故所有的圆都不经过，A正确； 对于B，圆心恒在直线上，则直线与所有的圆都相交，B正确； 对于C，当k取无穷大的正数时，圆的半径也无穷大， 故可以认为所有直线都与圆相交，C错误； 对于D，当时，圆为与x轴相切，D正确， 故选：ABD 10．（24-25高二上·江西·阶段检测）若直线与曲线恰有一个交点，则k的值可能为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】BD 【分析】根据直线过定点及曲线为半圆，作出图象，求出切线、割线对应斜率，数形结合即可得解. 【详解】直线恒过定点， 由可得，如图， 由解得或（舍去），即, 由，可得, 由图可知，或时，直线与半圆恰有1个交点. 故选：BD 11．（25-26高二上·江苏·期中）若一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】反射光线一定经过点关于轴的对称点，考虑斜率不存在和斜率存在两种情况，利用点到直线距离等于半径列出方程，求出斜率，得到答案. 【详解】点关于轴的对称点为，则反射光线一定经过点， 由于圆心为，半径为1， 若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为，与圆无交点， 设反射光线的斜率为，则可得出反射光线为，即， 因为反射光线与圆相切，则圆心到反射光线的距离为， 即，解得或， 则反射直线的方程为或. 故选:BD：. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏宿迁·期末）直线被圆所截得的弦长为__________. 【答案】 【分析】根据直线与圆的位置关系及弦心距公式求解即可. 【详解】圆化为标准方程为：， 故圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为：. 故弦长为：. 故答案为：. 13．（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上方的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 14．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为____________． 【答案】 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 四、解答题 15．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知圆的圆心为，点、、恰好一个在圆外，一个在圆上，一个在圆内. (1)求圆的标准方程； (2)求过点的圆的切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出、、的值，比较大小，结合题意可得出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离为圆的半径，结合点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出切线的方程. 【详解】（1）由题意可得，， ，所以， 由题意可知圆的半径为，故圆的标准方程为. （2）若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由于圆心到切线的距离为，则，解得， 故所求切线的方程为或，即或. 16．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）确定直线斜率存在，由直角三角形可得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程． 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离为2，即，解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为，且，所以， 则圆心到的距离为. 由题意易得的斜率一定存在， 所以可设的方程为，即. 由，解得或， 故的方程为或. 17．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知圆的方程为. (1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； (2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)6 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【详解】（1）圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 （2）圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得 18．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出AO、OB的中垂线方程可得圆心坐标、半径可得答案； （2）根据切线与直线AC垂直，求出直线AC的斜率可得答案； （3）设l的方程为利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； （2）由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； （3）的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 19．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围. 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）设圆心，进而根据，并结合解方程求得圆心，进而计算半径即可的答案； （2）分切线斜率不存在与存在两种情况讨论求解即可； （3）根据题意，圆心到直线的距离满足，再解不等式即可得答案. 【详解】（1）设圆心，因为圆经过点和，且圆心在直线上， 所以， 整理得，解得： 所以，圆心为，半径为， 所以，圆的标准方程. （2）因为，所以不在圆上， 当所求切线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，等于圆的半径， 所以，切线方程为. 当直线的斜率存在时，设切线方程为，即 根据圆心到切线的距离等于半径，可得，即， 两边平方得，解得， 所以切线方程为，即. 所以，过点作圆的切线，切线方程为或. （3）由（1）知圆的圆心为，半径为， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 因为圆上有两个点到直线上的距离等于2， 所以，即，即， 所以， 解得：或. 所以，的范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $