第03讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 -2026年九年级数学暑假预习讲义（沪教版五四制）

第03讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数一般式定义 知识点02：一般式配方化为顶点式 知识点03：系数a、b、c图像性质 知识点04：函数增减性与最值 知识点05：坐标轴交点&函数值比较 知识点06：高频代值结论 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：配方法化一般式为顶点式 题型02：公式法直接求对称轴、顶点坐标 题型03：判断a、b、c、Δ、a±b+c符号 题型04：利用增减性/对称轴距离比较函数值大小 题型05：限定自变量取值范围，求区间最值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数一般式定义 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c (a≠0，a、b、c为常数 ) a：二次项系数，决定开口方向与开口宽窄，a≠0； b：一次项系数，配合a确定对称轴位置； c：常数项，代表抛物线与y轴交点纵坐标。 【知识点02】一般式配方化为顶点式（必考） 配方完整推导 对称轴直线： 顶点坐标： 【知识点03】系数a、b、c、Δ图像性质（核心考点） 1. 系数a：决定开口 a>0：开口向上，抛物线有最小值； a<0：开口向下，抛物线有最大值； |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越平缓。 2. 系数a、b：决定对称轴位置（口诀：左同右异） 对称轴： ab>0（a、b同号）：对称轴在y轴左侧； ab<0（a、b异号）：对称轴在y轴右侧； b=0：对称轴为y轴（直线x=0）。 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 令x=0，交点坐标：(0, c) c>0：交于y轴正半轴；c=0：抛物线过原点；c<0：交于y轴负半轴。 4. 判别式：决定与x轴交点个数 ：与x轴有2个不相同交点； ：与x轴有1个交点（顶点落在x轴上）； ：与x轴无交点。 【知识点04】函数增减性与最值 设对称轴 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 x<h，y随x增大而减小； x>h，y随x增大而增大 x=h时， a<0 开口向下 x<h，y随x增大而增大； x>h，y随x增大而减小 x=h时， 【知识点05】坐标轴交点&函数值比较 1.与y轴交点：直接令x=0，得(0,c) 2.与x轴交点：直接令y=0，解一元二次方程 3.函数值大小比较技巧：看自变量到对称轴距离 开口向上：离对称轴越近，函数值越小； 开口向下：离对称轴越近，函数值越大。 【知识点06】高频代值结论 x=1： x=-1： x=2： 【题型01】配方法化一般式为顶点式，求对称轴、顶点坐标 【典例1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【答案】 直线 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】解： ， ∴，顶点坐标为，对称轴为直线． 【变式1-2】填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【答案】 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线（轴） 向上 直线（轴） 向下 直线 向上 直线 向下 直线 向上 直线 【详解】二次函数顶点式为：； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向上，对称轴为直线（轴），顶点坐标为； 对于抛物线，可变形为，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 对于抛物线，配方得，其中，，， 开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式1-3】先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， (2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为， (3)开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为， (4)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为， 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ，为顶点式 ， ∴，， ， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 ， 列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 2 4 2 … 描点画出图象． （2）解：∵抛物线解析式为 为顶点式 ， ∴，， ， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 ， 列表： x … 0 1 … y … … 描点画出图象． （3）解：对配方得 ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 ， 列表： x … 0 … y … 1 4 1 … 描点画出图象． （4）解：对配方得 ， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 图象见解析. 列表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 12 7 4 3 4 7 12 … 描点画出图象． 【题型02】公式法直接求对称轴、顶点坐标 【典例2-1】抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 【典例2-2】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 【变式2-1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． 【变式2-2】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 【变式2-3】已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 【题型03】判断a、b、c、a±b+c符号 【典例3】（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线开口向上， ∴， ∴A错误，该选项不符合题意； B、∵，对称轴位于轴左侧， ∴， ∴B错误，该选项不符合题意； C、∵由图可知，当时，， ∴， ∴C错误，该选项不符合题意； D、∵由图可知，当时，， ∴， ∴D正确，该选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线图像如图所示，下列判断中正确的个数有（　　） ①；②；③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：如图可知：抛物线与轴交于正半轴，对称轴在轴的左侧，开口向下， ∴，，， ∴， ∴，，即，故②正确． 由图可知：当时，抛物线，且当时， 时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴， ∴，因此①错误． 设抛物线与轴交点横坐标分别为，，， ∵抛物线的对称轴为，， ∴， 由图可知，当时，， ∴当时，， ， ∴，故③正确． 故选：C． 【题型04】利用增减性/对称轴距离比较函数值大小 【典例4-1】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 【典例4-2】已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，则抛物线开口向上． ∵， ∴点A到对称轴的距离小于点C到对称轴的距离，即，两边平方，可得， 解得； ∵， ∴点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即， 两边平方，可得， 解得． 综上所述，m的取值范围是． 【变式4-1】若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【详解】解：∵二次函数的对称轴是， ∴点的对称点的坐标是． ∵抛物线开口向上，当时，随着的增大而增大，且， ∴． 【变式4-2】已知是抛物线上的点，则的大小关系为_____．（用“”连接） 【答案】 【详解】解：在抛物线中，，，． ∴抛物线对称轴为直线，得：， 因为，所以抛物线开口向上，开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的纵坐标值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． 因为， 所以． 【变式4-3】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】解：抛物线中，，开口向下， 对称轴为， 开口向下的抛物线，抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ，，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 点横坐标为，到对称轴的距离为， 化简得， 去绝对值得， 解得， 将代入抛物线解析式得， 由得， 即， 解得或， 取与或的交集，可得， 故答案为：． 【题型05】限定自变量取值范围，求区间最值（培优必考） 【典例5】已知二次函数，当时，y的最小值是________． 【答案】0 【详解】解：将二次函数化为顶点式 可得二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而增大 已知自变量取值范围为，该区间在对称轴的右侧，函数在此区间内单调递增 因此当取最小值时，取得最小值． 将代入解析式得： . 故答案为： 【变式5-1】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【答案】3 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，二次项系数，开口向上， ∴当时，随的增大而增大， ∵，区间在对称轴右侧， ∴当时，取得最小值， 此时． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 【答案】或2 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·自主招生）若满足关于的不等式的解的最大值为，则_____________． 【答案】 【详解】解：当时，不等式化为， 即， 解得：， 当时， 代入， 可得：，不等式成立， 但，与最大值为矛盾； 当时， 代入， 可得：，成立； 当时，， ， 左边， 当时，， 故不等式不成立； 满足条件． 故答案为：． 一、核心知识小结 1.配方法提取系数a后，凑平方常数必须乘a，极易漏乘； 2.对称轴公式符号易错，牢记：，负号不可丢； 3.左同右异仅用于判断对称轴与y轴位置，不可乱用； 4.给定x取值范围，不能直接取顶点最值，必须校验顶点是否在区间内。 二、预习高频易错点 1.两大式子互化 一般式： ⇌ 顶点式： 2.四量识图口诀 a定开口，ab看左右，c看y轴交点，Δ看x轴交点个数 3.增减最值规律 开口向上：左减右增，顶点最小；开口向下：左增右减，顶点最大 4.标准解题套路 ①求顶点对称轴：配方法、公式法二选一； ②求交点：x=0求y轴交点，y=0解方程求x轴交点； ③区间最值：必对比顶点、左右端点函数值。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过的象限是（  ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限； C．第二、三、四象限； D．第一、三、四象限 【答案】A 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴. ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴. ∵抛物线的对称轴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，三象限. 故选：A. 2．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 【答案】D 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 3．（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：抛物线与轴交于两点， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得：， ， ， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∵将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点； ， ∴将抛物线向右平移6个单位得到抛物线， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， 同理，将抛物线向右平移6个单位得到抛物线，交轴于点， ∴， ∴对称轴为直线， 设和的横坐标分别为，， ∴， ∴， ∴与的横坐标和为， ∴这个点的横坐标之和， 故选： ． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：二次函数的图像与轴交于、两点， 该函数的对称轴是直线，故①正确； 该二次函数图象开口向下， ，故②错误； 根据二次函数的对称轴公式， 可得， ， ，故③正确； 二次函数与轴交于正半轴， ，故④错误； 综上，正确的有①③， 故选：． 6．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 【答案】8 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值都为5， ∴函数的对称轴为： ， 结合二次函数的对称性可得：当时的函数值相等， ∴当时，则，即， 故答案为：8． 9．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【答案】 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 10．（2025·上海·模拟预测）抛物线的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的图象不经过第一、二象限， 故抛物线图象必开口向下，故， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 【答案】大于0 【详解】解：对于二次函数，其图像的增减性由二次项系数的符号决定： ∵当时，函数图像开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小（即下降），在对称轴右侧随的增大而增大（即上升）； ∵题目中二次函数的图像在对称轴左侧是下降，右侧是上升， ∴该函数图像符合时的特征． 故答案为：大于0． 12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 【答案】4 【详解】解：∵原抛物线化成顶点式为， ∴顶点坐标为， ∵原抛物线向下平移个单位后，新抛物线解析式为，∴顶点坐标为． ∵顶点落在轴上， ∴，解得：． 故答案为 4． 13．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 【答案】 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， ， 则抛物线的顶点坐标为， 依题意，， 即平移的距离至少是． 故答案为：， 14．（2026·上海·三模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 【答案】和 【详解】解： ， 令，解得：或， 当时，，时，， 则抛物线E总过定点和． 15．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【答案】 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 16．（23-24九年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为________________ 【答案】①④ 【详解】解∶∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点B的横坐标为b，则有∶，解得∶， ∴点B的坐标为，即①正确； ∵点B的坐标为，抛物线开口向上， ∴当时，由函数图象可得函数值大于零，即，即②错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，即③错误； ∵， ∴y随x的增大而减小，即，即④正确． 综上，正确的有①④， 故答案为：①④． 17．（25-26九年级下·上海长宁·期中）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【答案】或 【详解】解：∵点满足，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点为“-优点”满足， ∵点C在抛物线上， ∴可设， ∵点C是“2026-优点”， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， 故点C的坐标为或． 检验：对于点，有； 对于点，有． 两点均满足题意． 三、解答题 18．在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 【详解】(1)解：点在该函数的图象上，理由如下： 当时，， 则点在该函数的图象上； (2)解：∵函数（为常数）图象的顶点坐标是， ∴，， ∴， ∵为常数， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 【详解】（1）解：将抛物线展开得，转化为顶点式为， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上；对称轴为直线； ∵开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）知原抛物线的顶点坐标为，目标顶点坐标为， 两点的横坐标差为，纵坐标差为， 根据勾股定理，平移的距离为． 20．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【详解】（1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 21．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 【详解】（1）解： ， ∴对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：∵新顶点为， ∴所得抛物线的表达式为， ∴平移过程为：向右平移3个单位，再向下平移3个单位． 22．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 【详解】（1）解： ， 所以，抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵两点、在抛物线上， ∴； ， ∵， ∴，　 整理得， 解得：，， ∵， ∴． 23．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 【详解】（1）解：； （2）解：填表如下： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 描点，连线，画出函数图象，如图所示： （3）解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大；当时，随增大而减小． 24．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，最小值 (3)或 【详解】（1）解：当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标为； 当时，，解得， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值． （3）∵P到x轴的距离为2， 即 或 解得或 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像与性质 （知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：二次函数一般式定义 知识点02：一般式配方化为顶点式 知识点03：系数a、b、c图像性质 知识点04：函数增减性与最值 知识点05：坐标轴交点&函数值比较 知识点06：高频代值结论 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：配方法化一般式为顶点式 题型02：公式法直接求对称轴、顶点坐标 题型03：判断a、b、c、Δ、a±b+c符号 题型04：利用增减性/对称轴距离比较函数值大小 题型05：限定自变量取值范围，求区间最值 课后作业·巩固延伸 一、单选题（6） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 【知识点01】二次函数一般式定义 二次函数一般形式：y=ax²+bx+c (a≠0，a、b、c为常数 ) a：二次项系数，决定开口方向与开口宽窄，a≠0； b：一次项系数，配合a确定对称轴位置； c：常数项，代表抛物线与y轴交点纵坐标。 【知识点02】一般式配方化为顶点式（必考） 配方完整推导 对称轴直线： 顶点坐标： 【知识点03】系数a、b、c、Δ图像性质（核心考点） 1. 系数a：决定开口 a>0：开口向上，抛物线有最小值； a<0：开口向下，抛物线有最大值； |a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越平缓。 2. 系数a、b：决定对称轴位置（口诀：左同右异） 对称轴： ab>0（a、b同号）：对称轴在y轴左侧； ab<0（a、b异号）：对称轴在y轴右侧； b=0：对称轴为y轴（直线x=0）。 3. 系数c：决定抛物线与y轴交点 令x=0，交点坐标：(0, c) c>0：交于y轴正半轴；c=0：抛物线过原点；c<0：交于y轴负半轴。 4. 判别式：决定与x轴交点个数 ：与x轴有2个不相同交点； ：与x轴有1个交点（顶点落在x轴上）； ：与x轴无交点。 【知识点04】函数增减性与最值 设对称轴 开口方向 增减性 最值 a>0 开口向上 x<h，y随x增大而减小； x>h，y随x增大而增大 x=h时， a<0 开口向下 x<h，y随x增大而增大； x>h，y随x增大而减小 x=h时， 【知识点05】坐标轴交点&函数值比较 1.与y轴交点：直接令x=0，得(0,c) 2.与x轴交点：直接令y=0，解一元二次方程 3.函数值大小比较技巧：看自变量到对称轴距离 开口向上：离对称轴越近，函数值越小； 开口向下：离对称轴越近，函数值越大。 【知识点06】高频代值结论 x=1： x=-1： x=2： 【题型01】配方法化一般式为顶点式，求对称轴、顶点坐标 【典例1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）用配方法将二次函数化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【变式1-2】填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【变式1-3】先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型02】公式法直接求对称轴、顶点坐标 【典例2-1】抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 【典例2-2】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【变式2-2】（25-26九年级下·上海杨浦·期中）如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【变式2-3】已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【题型03】判断a、b、c、a±b+c符号 【典例3】（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列各式中，成立的是（   ） A． B． C． D．． 【变式3-1】（2026·上海松江·一模）已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）抛物线图像如图所示，下列判断中正确的个数有（　　） ①；②；③ A．0 B．1 C．2 D．3 【题型04】利用增减性/对称轴距离比较函数值大小 【典例4-1】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】已知点，，都在抛物线上．若，则m的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是________．（用“”连接） 【变式4-2】已知是抛物线上的点，则的大小关系为_____．（用“”连接） 【变式4-3】已知抛物线经过点，，若，则的取值范围为________． 【题型05】限定自变量取值范围，求区间最值（培优必考） 【典例5】已知二次函数，当时，y的最小值是________． 【变式5-1】已知二次函数，当时，该二次函数的最小值为____________． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海金山·阶段检测）如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海·自主招生）若满足关于的不等式的解的最大值为，则_____________． 一、核心知识小结 1.配方法提取系数a后，凑平方常数必须乘a，极易漏乘； 2.对称轴公式符号易错，牢记：，负号不可丢； 3.左同右异仅用于判断对称轴与y轴位置，不可乱用； 4.给定x取值范围，不能直接取顶点最值，必须校验顶点是否在区间内。 二、预习高频易错点 1.两大式子互化 一般式： ⇌ 顶点式： 2.四量识图口诀 a定开口，ab看左右，c看y轴交点，Δ看x轴交点个数 3.增减最值规律 开口向上：左减右增，顶点最小；开口向下：左增右减，顶点最大 4.标准解题套路 ①求顶点对称轴：配方法、公式法二选一； ②求交点：x=0求y轴交点，y=0解方程求x轴交点； ③区间最值：必对比顶点、左右端点函数值。 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像经过的象限是（  ） A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限； C．第二、三、四象限； D．第一、三、四象限 2．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为 3．（2026·上海闵行·一模）如图，已知抛物线与轴交于两点．将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点；再将抛物线向右平移得到抛物线，交轴于点．若直线与这条抛物线交于点，则这个点的横坐标之和是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期末）抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，二次函数的图像与轴交于、两点，那么下列关于此拋物线的说法：①抛物线的对称轴是直线；②；③；④中，正确的个数有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·上海宝山·期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 8．（25-26九年级上·上海普陀·阶段检测）用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 9．（2025·上海嘉定·一模）已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 10．（2025·上海·模拟预测）抛物线的图象不经过第一、二象限，那么a的取值范围是______． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像在对称轴的左侧是下降，对称轴的右侧是上升，那么a_________（填“大于0、小于0或等于0”）． 12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）将抛物线向下平移个单位后，它的顶点恰好落在轴上，那么____________． 13．（2026·上海黄浦·一模）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是________． 14．（2026·上海·三模）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点______． 15．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 16．（23-24九年级下·上海·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论：①点B的坐标为；②；③；④点在抛物线上，当时，则，其中正确的序号为________________ 17．（25-26九年级下·上海长宁·期中）在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 三、解答题 18．在平面直角坐标系中，函数（为常数）图象的顶点坐标是． (1)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． (2)求证：． 19．（25-26九年级上·上海青浦·期末）已知抛物线． (1)写出这条抛物线的开口方向、对称轴，以及它的变化情况； (2)将这条抛物线平移，使其顶点P移到点的位置，求抛物线平移的距离． 20．（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． (1)求点A、点B的坐标． (2)在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 21．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 22．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 23．已知二次函数，解决以下问题： (1)将其化成的形式：______； (2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图； 0 1 2 3 6 (3)增减性：当______时，随增大而增大；当______时，随增大而减小． 24．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）已知二次函数 (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)求该函数图象的顶点坐标，并指出函数的最大值或最小值； (3)若点在该函数图象上，且P到x轴的距离为2，求t的值． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $