专题04二次函数y=ax2+bx +c（暑假自学讲义）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题04 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+bx+c转化成顶点式 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型3 二次函数y=ax²+bx+c的性质 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的平移 题型5 抛物线的轴对称性 题型6系数a,b,c 对抛物线的影响 题型7 待定系数法和数形结合法 · 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； · 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； · 理解a,b,c 对图像的影响； 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法 （2）公式法 顶点坐标（），对称轴是x= 2. 二次函数的图像和性质 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. a,b,c对抛物线性质的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】将二次函数化为顶点式___________，其顶点坐标是___________． 【详解】解：， ∴顶点坐标为， 【例2】已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 【详解】（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向上， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向上， 在对称轴的右侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 【方法点睛】用配方法化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a; 2. 配上“一次项系数一半的平方”； 3. 整理成顶点式+k的形式。 【变式练习】 1．已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 【详解】（1）解： ， 所以，抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵两点、在抛物线上， ∴； ， ∵， ∴，　 整理得， 解得：，， ∵， ∴． 2．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 【详解】（1）解： ， ∴对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：∵新顶点为， ∴所得抛物线的表达式为， ∴平移过程为：向右平移3个单位，再向下平移3个单位． 题型2 二次函数的图像 【例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 【例2】已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：取点补全表格为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 如图， （3）解：①，则图象开口朝下，由表格数据知，顶点为，故①正确，符合题意； ②抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x增大而增大，故②错误，不符合题意； ③从图象看，当时，y的取值范围为，故③错误，不符合题意； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积，故④正确，符合题意； 故答案为：①④． 【方法点睛】 在未明确要求使用配方法时可直接将系数a,b,c代入顶点坐标公式（）和对称轴方程x=求抛物线的顶点坐标与对称轴方程。 【变式练习】 1．已知二次函数． (1)直接写出x轴两交点和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出的图象． 【详解】（1）解：， 该函数与x轴的交点坐标为，，顶点坐标为； （2）解： 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得， 的值为，的值为； （2）解：由（）得，， ∴二次函数， 列表 描点，连线，如图所示. 【小问3】 解：①令，则： ， 解得或， ∵抛物线开口向上， ∴时，， 故答案为：； ②， 整理，得， 解得，， 检验：将和代入原方程，分母均不为，且等式成立， 故答案为：，； ③当时，， 当时，， ∵抛物线顶点为(最小值点)， ∴的取值范围是， 故答案为：是． 题型3 二次函数的性质 【例1】已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【详解】解：二次函数，则顶点为， 该函数图象有最高点，故选项A错误， 该函数图像对称轴为直线，选项B错误； 该函数图象在轴下方，故选项C正确； 该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误； 故选：C． 【例2】若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【详解】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 【变式练习】 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴ 顶点在第二象限， 故选：． 3．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 【详解】解：， ∴顶点坐标为，开口向下，对称轴为，当时随的增大而减小，故A选项错误 当时， 有最大值，与轴没有交点，故C、D选项错误，B选项正确， 故选：B． 4．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线的顶点是最低点， ∴二次项系数， ∴ ． 故选：C． 5．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：在中： ∵， ∴函数图象开口向下． ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧，C选项不正确， 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 设二次函数的图象与轴有两个不同交点的横坐标分别为， 又∵，则， ∴ ∴二次函数的图象与轴的两个交点在轴的右侧， ∴只有D选项符合题意， 故选：D． 6．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个公共点， ∴根的判别式满足， 解得． 7．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【详解】解：在二次函数中，，对称轴为直线， ∴图象开口向上， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小． 故选：D． 8．抛物线， (1)求顶点坐标； (2)若，则的取值范围是___________． 【详解】（1）解：由可知：该二次函数的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：该二次函数的对称轴为直线，，即开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，则有，当时，则有； ∴当时，的取值范围是； 故答案为． 题型4 抛物线的轴对称性 【例1】已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【详解】解：由题意得，点和关于对称轴对称， ∴二次函数图像的对称轴为直线， 故答案为：． 【方法点睛】 本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点（-1，1）和（3，1）是对称点，根据二次函数图像对称的性质求解即可． 【变式练习】 1．如果抛物线与轴交于和两点，则该抛物线的对称轴为直线_______． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和两点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：． 2．用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值都为5， ∴函数的对称轴为： ， 结合二次函数的对称性可得：当时的函数值相等， ∴当时，则，即， 故答案为：8． 3．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 __________． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点 ， ， ∴ ， 关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 4．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 【详解】解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴， 点与点关于该抛物线的对称轴对称， ，， 解得， 故的值等于， 故答案为：． 题型5 二次函数图象的平移 【例1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴平移后的新抛物线为． 故选：D． 【例2】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【点睛】二次函数图像的平移关键步骤： （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【变式练习】 1．将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． 【详解】解：， 将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位 抛物线平移后的表达式为， 故答案为． 2．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线表达式是___________． 【详解】解：原函数 配方得顶点式 ， 利用“左加右减，上加下减”，向右平移个单位，再向上平移个单位， 得到抛物线表达式是 ． 故答案为：． 3．将抛物线向左平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为________． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位长度，新解析式为． 故答案为：． 4．如果把抛物线先向左平移三个单位，再向下平移两个单位，那么所得新抛物线的表达式为___________． 【详解】解：， 平移后所得新抛物线的表达式为， 即， 故答案为：． 5．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴是直线，顶点坐标； （2）解：这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得 ． 题型6 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 【例2】如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象过轴正半轴， ， ， ， ，故①正确； 当时，， 即， ，故②正确； 由题知时，，， ， ， ， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得：，故③正确； 由③同理可得，即 ， ∵ ∴ ∴故④错误． 综上所述，正确的序号是①②③， 故选：A． 【变式练习】 1．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 【详解】解：由图象的开口向下可知， ∵抛物线的对称轴在x的正半轴， ∴对称轴， ∴，， ∵函数与y轴的交点在正半轴， ∴， 故选：C． 2．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 3. 如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，与轴的交点位于轴的负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即，选项D正确； ∴，则选项A错误； 由图象可知，当时，， ∴， ∴，选项C错误； 由图象可知，当时，， ∴，选项B错误； 故选：D． 题型7 待定系数法和数形结合法 【例1】已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵=， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移1个单位，再向上平移个单位． 【例2】二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【详解】（1）解：①， 抛物线的对称轴为直线 故答案为： ②抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点坐标是， 图象与x轴的另一个交点坐标为 故答案为： （2）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为， 它的顶点坐标为 【变式练习】 1．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 2．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过，， ∴ 解得：，， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，， 解得，， ∴点A的坐标为，， 当原抛物线向右平移后，若新抛物线与坐标轴仅有两个交点，则新抛物线必过原点， ∴． 3．如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：由（1）可知：， 令时，则， ∴， ∴，轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设平移后的表达式为， ∴， 解得：， ∴平移后的表达式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 4．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点， ∴， 当时，解得， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：通过观察图像可知在直线和抛物线交点的左侧和交点的右侧，抛物线图象在直线上方， ∴当或时，． 过关练习 一、单选题 1．二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与轴交点的求法，熟练掌握“求函数与轴交点时，令计算值”是解题的关键．求二次函数与轴的交点，只需令，计算对应的值即可求解． 【详解】解：∵二次函数与轴交点的横坐标为 ∴令，代入，得 ∴交点坐标为 故选：． 2．下列抛物线中，既在直线右侧是下降的，又在直线左侧是上升的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质及对称性，通过分析抛物线的开口方向和对称轴位置，判断其在指定区间的增减性．开口向下时，对称轴左侧递增、右侧递减；开口向上时，对称轴左侧递减、右侧递增． 【详解】解：要求抛物线在直线右侧下降（即时y随x的增大而减小)且在直线左侧上升（即时y随x的增大而增大)． 因此，必须满足，并且对称轴需同时满足：在时y随x的增大而增大，即的部分全部在对称轴左侧，所以；在时y随x的增大而减小，即的部分全部在对称轴右侧，所以． 综上，需且． A． ，不满足，排除． B． ，对称轴， 满足，符合条件． C． ，不满足，排除． D． ，对称轴， 不满足，排除． 故选：B． 3．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规则是解题关键． 根据二次函数图象平移的规则：左加右减，上加下减，向右平移2个单位，即将替换为，即可得到新抛物线的表达式． 【详解】解：∵抛物线向右平移2个单位， ∴替换为，， ∴新抛物线的表达式为， 故选：A． 4．已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据表格数据代入点求解析式，再逐一判断选项即可． 【详解】解：由表格知：点在函数上，代入得： ， 解得：， ∴， 判断选项： A.∵，∴开口向上，正确； B.对称轴为直线，正确； C.∵，，∴，∴原结论不正确； D. ，， ∵，∴，正确； 故选C． 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除A，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断． 【详解】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C． 故选：D． 6．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为D． 故选：D． 二、填空题 7．若将抛物线向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的新抛物线表达式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，根据二次函数图象平移规则，先向下平移3个单位，再向左平移1个单位，依次调整表达式． 【详解】解：原抛物线为 ， 先向下平移3个单位，得 ， 再向左平移1个单位，将 替换为 ，得 ， 故新抛物线表达式为 ， 故答案为： ． 8．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是___________的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，根据解析式可知函数图象开口向上，则在对称轴右侧随的增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上， ∴在对称轴右侧，随的增大而增大，二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是上升的． 故答案为：上升 9．如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及抛物线对称轴的求解，抛物线上的两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的中点． 【详解】解：点和的纵坐标均为，因此这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线． 故答案为：． 10．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，根据对称性求出对称轴，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称， ∴； 故答案为：1． 11．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后计算各点与对称轴的距离，根据开口向下时距离对称轴越远函数值越小的性质，判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且，， ∴， 故答案为：． 12．函数图象与轴的交点坐标是______ 【答案】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，令 代入函数解析式计算 y 值即可． 【详解】解：令，代入 ，得 ， ∴函数与轴的交点坐标为：， 故答案为： ． 13．如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象性质，抛物线在对称轴左侧上升意味着开口向下，因此二次项系数必须小于零，进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴的左侧是上升的， ∴抛物线的开口向下， ∴， ∴； 故答案为：． 14．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，分别求出两个函数图像顶点坐标，根据勾股定理列方程求出a的值即可． 【详解】解：， ∴顶点P的坐标为； 又， ∴该抛物线顶点Q的坐标为， ∴；；， 又， ∴， ∴， 解得， 将代入得， 故答案为：． 15．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过已知点求出抛物线的对称轴，再利用抛物线的性质比较函数值即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， 又∵抛物线开口向上， ∴当抛物线上的点离对称轴越远时，函数值越大， ∵，，， ∴． 故答案为：． 16．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 【答案】或2 【分析】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，根据函数的顶点以及函数的性质分类讨论即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而增大，时，随的增大而减小， 当即时， 则时，随的增大而增大，的最大值是3， 当时，． ． 或（舍去）． 当时，即， 的最大值是4，不符合题意， 当时， 则时，随的增大而减小，的最大值是3， 当时，． ． （舍去）或． 综上所述，故的值为或2． 故答案为：或2． 三、解答题 17．在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标和函数图象的平移，准确分析计算是解题的关键． （1）先转化成一般形式，再利用配方法变形即可； （2）根据平移后的顶点坐标可得出解析式； 【详解】（1）， ， 顶点坐标为； （2）抛物线平移后顶点坐标为， ． 18．【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围 【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式： ，则顶点坐标为 ．根据“顶点在第二象限”，得出不等式 ，解出的取值范围是 ； 【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解） 【答案】；；；；反思评价见解析 【分析】本题考查二次函数的顶点式与顶点坐标，先通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标，再根据第二象限内点的坐标特征(横坐标小于，纵坐标大于)列出不等式，求解即可 【详解】解： ， ∴该抛物线的顶点坐标为, ∵第二象限内点的坐标特征是横坐标小于，纵坐标大于， ∴， ∴， 故答案为：；；；； 已知抛物线的顶点在第四象限，求的取值范围．(答案不唯一，合理即可) 19．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，图象对应的函数表达式为_________． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标，可设顶点式，然后把点代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图像； （3）根据“左加右减，上加下减”写出平移后的函数解析式，并化简即得． 【详解】（1）由表格知：当时，； 当时，，故设这个二次函数的表达式为． 将代入，得， 解得，所以二次函数的表达式为， 即． （2）解：在平面直角坐标系中描出， 用平滑的曲线顺次连接起来，得到函数的图像，如图所示． （3）解：二次函数为， 将这个二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后为 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求二次函数的解析式，描点法画函数图像，函数的平移，是解题的关键． 20．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 (1)根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； (2)如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)①，10；②下降 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）①根据表格可知对称轴为直线，然后根据对称性可进行求解；②根据表格可直接进行求解； （2）由表格可知函数过点，由题意易得该抛物线向下平移5个单位长度，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①由表格可知：点和点关于该抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， 根据对称性可知：当时，则该点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴根据表格可知：当时，则； ②根据表格及①可知：抛物线在对称轴左侧部分是下降； 故答案为，10；下降； （2）解：由表格可知函数过点， ∵将抛物线向下平移使它经过点， ∴该抛物线向下平移5个单位长度， 由表可把点，，代入得： ，解得：， ∴， ∴该函数向下平移5个单位长度后所得函数解析式为． 21．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在抛物线上存在点D，使得，请求出点D的坐标； (3)根据图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）设点D的坐标为，由题意易得，然后可得，进而求解即可； （3）根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】（1）解：因为二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． 所以，解得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：因为，，所以， 设点D的坐标为． 因为，所以， 解得，， 所以点D的坐标为或． （3）解：由（1）可知：二次函数的解析式为， ∴开口向下，对称轴为直线，当时，y有最大值，最大值为， ∴由图象可知：当时，． 22．已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 【答案】(1)顶点坐标是，在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的 (2)15 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，顶点坐标，求围成图形的面积等，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． （1）利用顶点坐标公式进行求解即可，根据二次函数的性质确定其变化情况； （2）过点D作轴于点H，求出函数与坐标轴的交点，然后利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 把代入，得． ∴这个二次函数图像的顶点坐标是． ∵二次函数图像的开口向下， ∴在直线左侧的部分是上升的，在直线右侧的部分是下降的； （2）解：如图所示，过点D作轴于点H， ∵二次函数图像与x轴正半轴交于点A， ∴把代入得， 解得，（舍去）． ∴点A坐标是．      ∵二次函数图像的顶点坐标是 ，与y轴交点坐标是， 则． ∴         ． 23．已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 【答案】(1)；顶点 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图形平移，熟练掌握函数性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可得，由此可求得直线的解析式为，由，可设直线解析式为，进而求得其解析式为，由，代入直线的表达式求得，即可求得的值； 【详解】（1）解：∵抛物线经过，代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴顶点； （2）解：令，则，即， ∵直线经过点， 设其解析式为， 则，解得， ∴直线， ∵，且直线经过点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线， ∵点是点向上平移个单位所得， ∴，代入直线的表达式，得， ∴． 24．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $沪教版 九上数学自学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题04 二次函数y=ax²+bx+c(a)的图象与性质 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数y=ax²+bx+c转化成顶点式 题型2 二次函数y=ax²+bx+c的图象 题型3 二次函数y=ax²+bx+c的性质 题型4 二次函数y=ax²+bx+c的平移 题型5 抛物线的轴对称性 题型6系数a,b,c 对抛物线的影响 题型7 待定系数法和数形结合法 · 掌握二次函数一般式y=ax²+bx+c的图像与性质，能用配方法将其转化为顶点式； · 会用公式法求抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标与对称轴； · 理解a,b,c 对图像的影响； 知识点讲解 1. 二次函数(a)的顶点坐标、对称轴 （1）配方法 （2）公式法 顶点坐标（），对称轴是x= 2. 二次函数的图像和性质 （1）二次函数的图像是抛物线，对称轴是x=，顶点是（）. （2）当 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，也就是说二次函数右最小值； 抛物线中对称轴左侧部分是下降的；在对称轴右侧部分是上升的. 当 时，y随着x增大而增大；当 时，y随着x增大而减小. 当 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，也就是说二次函数右最大值； 抛物线中对称轴左侧部分是上升的；在对称轴右侧部分是下降的. 当 时，y随着x增大而减小；当 时，y随着x增大而增大. 3. a,b,c对抛物线性质的影响 系数的符号 图像特征 a的符号 a>0. 抛物线开口向上 a<0 抛物线开口向下 b的符号 a,b同号 抛物线对称轴在y 轴的左侧 b=0 抛物线对称轴是y轴 a,b异号 抛物线对称轴在y 轴的右侧 c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于原点上方 C=0 抛物线与y轴交于原点 c<0 抛物线与y轴交于原点下方 题型归纳 题型1 用配方法将一般式化为顶点式 【例1】将二次函数化为顶点式___________，其顶点坐标是___________． 【例2】已知：抛物线． (1)确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当在什么范围内变化时，随的增大而增大． 【方法点睛】用配方法化一般式为顶点式的步骤： 1. 提取二次项系数a; 2. 配上“一次项系数一半的平方”； 3. 整理成顶点式+k的形式。 【变式练习】 1．已知抛物线的解析式为：． (1)利用配方法将该解析式化成的形式并写出它的顶点坐标； (2)如果在这条抛物线上有两点、，其中，，求t的值． 2．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 题型2 二次函数的图像 【例1】已知二次函数的解析式为． (1)把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【例2】已知二次函数的图象过点，，． (1)求该抛物线的表达式； (2)补全表格，画出二次函数的图象； x … … y … … (3)关于该二次函数，下列说法正确的有______． ①图象开口朝下，顶点为； ②当时，y随x增大而减小； ③当时，y的取值范围为； ④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6． 【方法点睛】 在未明确要求使用配方法时可直接将系数a,b,c代入顶点坐标公式（）和对称轴方程x=求抛物线的顶点坐标与对称轴方程。 【变式练习】 1．已知二次函数． (1)直接写出x轴两交点和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中画出的图象． 2．已知二次函数的图象经过点，． (1)求的值； (2)直接在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题： ①函数时，的取值范围是_______； ②方程的根是_______； ③根据图象直接写出：当时，的取值范围是_______． 题型3 二次函数的性质 【例1】已知二次函数，那么下列关于该函数的判断正确的是（   ） A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线 C．该函数图像在轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的 【例2】若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式练习】 1．二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．对于二次函数，下列说法正确的是(   ) A．当，随的增大而减小 B．当时， 有最大值 C．图像的顶点 D．图像与x轴有两个交点 4．如果抛物线的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．关于的二次函数（其中）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的顶点在轴上，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 8．抛物线， (1)求顶点坐标； (2)若，则的取值范围是___________． 题型4 抛物线的轴对称性 【例1】已知二次函数的图像经过和，那么此二次函数图像的对称轴为直线___________． 【方法点睛】 本题考查求二次函数的对称轴，由题意得，点（-1，1）和（3，1）是对称点，根据二次函数图像对称的性质求解即可． 【变式练习】 1．如果抛物线与轴交于和两点，则该抛物线的对称轴为直线_______． 2．用描点法画二次函数的图象时，列出了如下表格，那么______________． …… 0 2 3 …… …… 5 8 5 …… 3．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 __________． 4．已知抛物线，点与点关于该抛物线的对称轴对称，那么的值等于_____． 题型5 二次函数图象的平移 【例1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（   ） A． B． C． D． 【例2】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【点睛】二次函数图像的平移关键步骤： （1）先化为一般式，再配方化为顶点式，然后写出数图象的对称轴和顶点坐标； （2）按“上加下减常数项，左加右减自变量”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【变式练习】 1．将抛物线向右平移2个单位，向下平移1个单位所得抛物线的表达式是________． 2．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线表达式是___________． 3．将抛物线向左平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为________． 4．如果把抛物线先向左平移三个单位，再向下平移两个单位，那么所得新抛物线的表达式为___________． 5．已知二次函数 (1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式，并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)将这条抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位．直接写出平移后新抛物线的表达式：________． 题型6 系数a,b,c对抛物线的影响 【例1】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式练习】 1．已知二次函数的图像如图所示，直线l是图像的对称轴．那么a、b、c的符号为（   ） A． B． C． D． 2．如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 3. 如图所示：抛物线的对称轴是直线，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7 待定系数法和数形结合法 【例1】已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【例2】二次函数的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是 (1)填空： ①抛物线的对称轴为直线______； ②图象与x轴的另一个交点坐标为______． (2)如果该函数图象经过点，求它的顶点坐标． 【变式练习】 1．已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 2．如图，抛物线交x轴于点A，点（点A在点B左侧），交y轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)若将抛物线向右平移个单位长度得到一条新抛物线，且新抛物线与坐标轴仅有两个交点，求m的值． 3．如图，已知抛物线的图象经过点，交y轴于点B． (1)求a的值和抛物线的顶点坐标； (2)延长至点C，使．若将抛物线L平移后恰好经过A，C两点，求平移的最短路程． 4．如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 5．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)观察图像，当时，x的取值范围是______． 过关练习 一、单选题 1．二次函数的图像与轴的交点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．下列抛物线中，既在直线右侧是下降的，又在直线左侧是上升的可能是（   ） A． B． C． D． 3．将抛物线向右平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数（其中、、为常数，且）的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（   ） … 0 1 2 3 … … 0 … A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C． D． 5．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若将抛物线向下平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得到的新抛物线表达式为________． 8．二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是___________的（填“上升”或“下降”）． 9．如果一条抛物线经过、两点，那么这条抛物线的对称轴是______． 10．若点和点在抛物线上，且关于它的对称轴对称，则___． 11．若点在二次函数的图象上，则的大小关系为________________． 12．函数图象与轴的交点坐标是______ 13．如果抛物线在对称轴的左侧是上升的，那么的取值范围是________． 14．在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点，点Q是抛物线的顶点，如果，那么点Q的坐标是_______． 15．已知抛物线开口向上，且经过点和，如果点与在此抛物线上，那么___________．（填“”“”或“”） 16．如果当时，二次函数的函数值最大为3，则的值为_____． 三、解答题 17．在直角坐标系中，点是抛物线的顶点， (1)用配方法求此抛物线顶点的坐标； (2)将上述抛物线平移后顶点坐标为，求平移后的抛物线的表达式． 18．【问题提出】已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围 【分析问题】用配方法把该二次函数的解析式化为的形式： ，则顶点坐标为 ．根据“顶点在第二象限”，得出不等式 ，解出的取值范围是 ； 【反思评价】我们首先通过配方法配出该抛物线的顶点（用含的代数式表示）、接着根据题意得出对应的不等式，解不等式最后得出答案．请你根据上述解答的方法，再提出一类似解法的问题．（不需要求解） 19．一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)将二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，图象对应的函数表达式为_________． 20．已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 (1)根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； (2)如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 21．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在抛物线上存在点D，使得，请求出点D的坐标； (3)根据图象，直接写出当时，y的取值范围． 22．已知二次函数． (1)求这个函数图像的顶点坐标，并指出它的变化情况； (2)如图，在平面直角坐标系中，该函数图像与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积． 23．已知抛物线经过点，顶点为点P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的表达式以及顶点P的坐标； (2)将抛物线向上平移m（）个单位后，点A的对应点为点M，若此时，求m的值． 24．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $