第04讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

第04讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 顶点式 题型2 画函数图像 题型3 图像和性质 题型4 二次函数图象与各项系数符号 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 题型6 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型7 两个二次函数图象综合判断 题型8 根据二次函数的图象判断式子符号 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型10 根据二次函数的对称性求函数值 题型11 函数的最值 题型12 利用二次函数对称性求最短路径 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一般式二次函数、配方法、顶点坐标公式、对称轴公式、描点法、平移法、符号判定、数形结合、函数值比较、区间最值、一次函数与二次函数图像综合、反比例函数与二次函数图像综合、抛物线对称性、将军饮马最短路径、判别式 1. 熟练运用配方法将化成，掌握通过配方、公式两种途径求解抛物线顶点与对称轴。 2. 掌握描点法、平移法两种二次函数图像绘制流程，规范完成列表、取值、描点、连线完整作图步骤。 3. 明晰参数a,b,c各自几何意义，能够由抛物线图像推导a,b,c符号，也可依据系数符号预判抛物线整体图像特征。 4. 掌握的图像完整性质，包含开口方向、对称轴、顶点、增减变化规律、最大与最小值，能够借助对称轴比较抛物线上任意两点的函数值大小。 5. 活用抛物线轴对称性质求解问题：由纵坐标相等两点计算对称轴、求解点的对称坐标、结合对称轴解决线段和最小的几何最值问题。 6. 综合掌握多类题型：一次函数、反比例函数与二次函数共存图像辨析，图像系数符号推理，给定自变量取值范围求最值，抛物线与平面几何图形结合计算。 学习重点： 1. 配方法对进行恒等变形，熟记对称轴，顶点坐标。 2. 参数a,b,c与抛物线图像特征的对应关系，掌握“左同右异”判定法则。 3. 一般形式二次函数增减性、最值规律，利用对称性比较函数值。 4. 多函数在同一坐标系内的图像辨析类题型解法。 5. 抛物线轴对称性质的几何应用，利用对称性求解交点、最短路径问题。 学习难点： 1. 二次项系数不为1时的配方运算，容易出现系数分配、常数项整理疏漏。 2. “左同右异”法则混淆，难以结合图像判断等代数式的正负。 3. 限定自变量取值区间求解最值，顶点落在区间外部时，最值需在区间端点取得。 4. 数形综合推理题型，结合图像、系数、特殊点函数值多重条件推导结论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型1 顶点式 【例1】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【变式1-1】若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【变式1-2】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】如果当时，二次函数的图像一定不经过第__________象限． 题型2 画函数图像 【例3】在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【例4】已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【变式2-1】已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合图象，写出使的x的取值范围． 【变式2-2】已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【变式2-3】已知二次函数的图象经过点． … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)求该二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 题型3 图像和性质 【例5】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)； (2)； (3)； (4)． 【例6】请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【变式3-1】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式3-2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【变式3-3】若二次函数的图象经过点，则______． 【变式3-4】已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数图象与y轴的交点坐标． 题型4 二次函数图象与各项系数符号 【例7】二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例8】二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【变式4-2】已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 【例9】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【例10】如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【变式5-1】函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【变式5-4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（  ） A． B． C． D． 【变式5-5】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型6 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例11】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【例12】已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 题型7 两个二次函数图象综合判断 【例13】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【例14】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【变式7-3】如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型8 根据二次函数的图象判断式子符号 【例15】如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 【例16】如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式8-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【变式8-4】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例17】已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【例18】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【变式9-3】小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： … … … … 请根据表格中的信息，写出抛物线的一条结论_______． 【变式9-4】若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 题型10 根据二次函数的对称性求函数值 【例19】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【例20】如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【变式10-1】已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【变式10-2】已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 【变式10-3】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 题型11 函数的最值 【例21】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例22】在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【变式11-1】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【变式11-2】已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【变式11-3】若二次函数有最大值7，则的值为________． 题型12 利用二次函数对称性求最短路径 【例23】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【例24】如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【变式12-1】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式12-2】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【变式12-3】如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 1．（2026•浦东新区期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（　　） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 2．（2026•长宁区月考）已知抛物线过点、和，那么的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024•长宁区期末）已知二次函数的图象上有两点，、，，如果，那么、的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．（2024•静安区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 5．（2025•浦东新区期末）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 6．（2026•奉贤区二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是_______． 7．（2025•宝山区期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是_______． 8．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是 　 　 ． 9．（2025•浦东新区月考）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则　 　 ． 10．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是______________． 11．（2025•黄浦区期末）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是_______． 12．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 13．（2024•浦东新区同步）已知抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式． 14．（2024•浦东新区期中）如图，将抛物线平移后得到抛物线两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，． （1）求点的横坐标． （2）求线段的长度． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $开口方向 a>0:开口向上，有最低点，最小值； a<0:开口向下，有最高点，最大值； a越大，开口越小。 b 4ac- b2 对称轴：直线x= 一顶点： 2a 2a’ 4a 增减性 图像与性质 b b a>0:x< y随x增大而增大； 2a y随x增大而减小；x>一 2a 2a'y随x增大而减小。 b a<0:x<- y随x增大而增大；x> 2a 最值 b 4ac-62 a>0,x= 时，y最小= 2a Aa 二次函数y=ax2十bx十c b 4ac-b2 a<0,x=- 时，y最大= 的图像和性质 2a. 4a a:a>0开口向上；a<0开口向下 a、b(左同右异) b ab>0(同号)，对称轴x= 在y轴左侧； 2a ab<0(异号)，对称轴x=一 a、b、c符号与图像对应关系 2a 在y轴右侧； b=0,对称轴为y轴。 c:x=0时y=c,抛物线与y轴交点(0，C) c>0,交y正半轴；c<0交y负半轴；c=0过原点。 拓展特殊代数式符号 x=1,y=a+b+c;x=-1,y=a-b+c; x=2,y=4a+2c+b;x=-2,y=4a-2b+co 第04讲 二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质 内容导航 01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 顶点式 题型2 画函数图像 题型3 图像和性质 题型4 二次函数图象与各项系数符号 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 题型6 反比例函数、二次函数图象综合判断 题型7 两个二次函数图象综合判断 题型8 根据二次函数的图象判断式子符号 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型10 根据二次函数的对称性求函数值 题型11 函数的最值 题型12 利用二次函数对称性求最短路径 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一般式二次函数、配方法、顶点坐标公式、对称轴公式、描点法、平移法、符号判定、数形结合、函数值比较、区间最值、一次函数与二次函数图像综合、反比例函数与二次函数图像综合、抛物线对称性、将军饮马最短路径、判别式 1. 熟练运用配方法将化成，掌握通过配方、公式两种途径求解抛物线顶点与对称轴。 2. 掌握描点法、平移法两种二次函数图像绘制流程，规范完成列表、取值、描点、连线完整作图步骤。 3. 明晰参数a,b,c各自几何意义，能够由抛物线图像推导a,b,c符号，也可依据系数符号预判抛物线整体图像特征。 4. 掌握的图像完整性质，包含开口方向、对称轴、顶点、增减变化规律、最大与最小值，能够借助对称轴比较抛物线上任意两点的函数值大小。 5. 活用抛物线轴对称性质求解问题：由纵坐标相等两点计算对称轴、求解点的对称坐标、结合对称轴解决线段和最小的几何最值问题。 6. 综合掌握多类题型：一次函数、反比例函数与二次函数共存图像辨析，图像系数符号推理，给定自变量取值范围求最值，抛物线与平面几何图形结合计算。 学习重点： 1. 配方法对进行恒等变形，熟记对称轴，顶点坐标。 2. 参数a,b,c与抛物线图像特征的对应关系，掌握“左同右异”判定法则。 3. 一般形式二次函数增减性、最值规律，利用对称性比较函数值。 4. 多函数在同一坐标系内的图像辨析类题型解法。 5. 抛物线轴对称性质的几何应用，利用对称性求解交点、最短路径问题。 学习难点： 1. 二次项系数不为1时的配方运算，容易出现系数分配、常数项整理疏漏。 2. “左同右异”法则混淆，难以结合图像判断等代数式的正负。 3. 限定自变量取值区间求解最值，顶点落在区间外部时，最值需在区间端点取得。 4. 数形综合推理题型，结合图像、系数、特殊点函数值多重条件推导结论。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 【详解】解：对于二次函数， 令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵，∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ，∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④． 【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1， ∴3＜x2＜4，①正确， ∵ = 1， ∴b=- 2а， ∴3a＋2b= 3a-4a= -a， ∵a＞0， ∴3a+2b<0，②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0， ∴a－b＋c<0， ∴a＋c<b， ∵a＞0， ∴b=-2a<0， ∴a＋c<0， ∴b2 -4ac > a+ c， ∴b2＞a＋c＋4ac，③正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方， ∴a＞0，c<0， ∴a>c， ∵a-b＋c<0，b=-2a， ∴3a+c<0， ∴c<-3a， ∴b=–2a， ∴b＞c，以④错误； 故选B 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 题型1 顶点式 【例1】二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标． 【详解】解： 故顶点坐标为， 故选：A． 【例2】二次函数的顶点坐标为________，对称轴为________． 【答案】 直线 【分析】本题考查把化为顶点式，的图象和性质． 二次函数解析式化为顶点式，利用的图象和性质，即可得顶点坐标和对称轴． 【详解】解：， ∴二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 故答案为：，直线． 【变式1-1】若二次函数的顶点在轴上，则的值为_______． 【答案】13 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，求出顶点坐标，再根据轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：13． 【变式1-2】已知反比例函数的图象在第二、四象限，那么二次函数图象的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数的图象和性质，由反比例函数图象在第二、四象限，得 ，即得，再求出二次函数顶点坐标，根据坐标符号判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴ 顶点在第二象限， 故选：． 【变式1-3】如果当时，二次函数的图像一定不经过第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查了二次函数图象特征，判断其经过的象限．关键是根据二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴的交点是判断图像经过哪些象限的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定其对称轴、顶点坐标，再根据判断开口方向，进而确定函数图象不经过的象限． 【详解】解：将二次函数化为顶点式， 整理得：， ∴该二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， 当时，，即函数图象过点， 又∵对称轴为，开口向上，且过点，顶点纵坐标， 当时，，顶点在轴下方，但函数过且开口向上， 此时顶点在第三象限，在对称轴右侧随的增大而增大且过，函数图象不经过第四象限； 当时，，顶点在轴上或x轴上方， 综合，无论的取值如何 ，函数图象一定不经过第四象限． 故答案为：四． 题型2 画函数图像 【例3】在同一坐标系中画出和的图象，并说出它们的关系，对称轴和顶点坐标． 【答案】见解析 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的平移性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出函数经过点；函数经过点；再描点，然后依次用光滑的曲线连接，得出它们的图象，然后结合平移的性质以及函数图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：令时，则，； 令时，则，； 令时，则，； 即函数经过点； 即函数经过点； 再描点，然后依次用光滑的曲线连接，故和的图象，如图： 的图象向上平移1个单位得的函数图象； 的对称轴是y轴，顶点坐标是； 的对称轴是y轴，顶点坐标是． 【例4】已知二次函数． … … … … (1)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（先完成列表，并使每个数对均为整数，再描点，后连线）； (2)当时，结合图象写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）根据列表，描点，连线，画出二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表， 0 1 2 3 4 2 2 描点，连线，函数图象，如下图： （2）解：由图象可得，当时，或． 【变式2-1】已知二次函数． (1)在直角坐标系中画出该函数图象． (2)结合图象，写出使的x的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数的图象和性质： （1）先确定抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象； （2）直接观察图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为 当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与y轴交于点，与x轴交于点， 画出函数图象，如下： （2）解：由图得时，x的取值范围是． 【变式2-2】已知二次函数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)当时，的取值范围是____________； (4)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围为_________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，画二次函数的图象，化为顶点式，二次函数与轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，把化为顶点式，即可作答． （2）先描点，再连线，即可作答． （3）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． （4）结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）得， 则顶点坐标是， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 令时，则， 故在平面直角坐标系中把分别描出来，依次连接，如图所示： （3）解：观察图象，函数的开口向上，且当时， 则当时，的取值范围是或； （4）解：结合函数图象，当时，直接写出的取值范围为． 【变式2-3】已知二次函数的图象经过点． … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)求该二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题中表格可作图象如下： 题型3 图像和性质 【例5】写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为． (2)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． (3)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为． (4)开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【分析】利用抛物线（，h、k为常数）是由向左或向右平移个单位长度，向上或向下平移个单位长度平移得到，先由的符号判断开口方向，时开口向上，时开口向下；然后根据平移的性质得到对称轴为直线和顶点坐标，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【例6】请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 【详解】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 【变式3-1】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】将二次函数一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质判断各选项的说法，找出错误的选项即可． 【详解】解：∵ ，二次项系数， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，B选项说法正确， 顶点坐标为，不是，C选项说法错误， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，D选项说法正确． 【变式3-2】已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 【变式3-3】若二次函数的图象经过点，则______． 【答案】2027 【分析】将点代入可得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：将点代入，得 ， 即， ． 【变式3-4】已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将二次函数化为顶点式，进而根据顶点式的性质作答即可； （2）将代入解析式求出的值即可求出与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解： ， 即顶点坐标为； （2）解：当时，， 即该函数图象与y轴的交点坐标为． 题型4 二次函数图象与各项系数符号 【例7】二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 【例8】二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 【变式4-1】已知二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（   ）． A． B． C． D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，能从图象中获取有效信息是解答的关键． A选项考查的取值范围，相乘即可求解，B选项考查当时，的取值范围即可求解，C选项考查图像与轴的交点个数即可求解，D选项考查二次函数的增减性，观察图像即可求解． 【详解】解：选项A：由图可知开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，即，，，那么，故不符合题意； 选项B：当时，，由图可知，当时，，即，故不符合题意； 选项C：由图可知，抛物线与轴有两个交点，即，故不符合题意； 选项D：由图可知，当时，随的增大而减小，故符合题意． 故选：D． 【变式4-2】已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象可得，根据二次函数的图象与轴有两个交点可得，继而得到一次函数的图象所在的象限，根据当时，，由函数图象可知，继而得到反比例函数所在的象限，继而得到答案． 【详解】解：∵二次函数的部分函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数的部分函数图象顶点在轴下方，开口向上， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，即， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限， ∵由二次函数的部分函数图象可知，当时，，即点在轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限．故图象正确的是D． 【变式4-3】如图，若，，，则抛物线的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 【变式4-4】已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断 【例9】若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 【例10】如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 【变式5-1】函数和（m是常数，且）在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图象的性质，熟知一次函数和二次函数的图象性质是解答的关键； 根据的图象判断，m 的正负，再判断的图象的开口方向即可； 【详解】解： 选项A：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项B：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像一致，；符合题意； 选项C： 由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向下，与图像不一致，不符合题意； 选项D：由函数的图象可知，则函数的图象应该开口向上，与图像不一致，不符合题意； 故选B． 【变式5-2】一次函数的图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，找出、是解题的关键．根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围，再根据二次函数的性质即可做出判断． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，， ∴二次函数的图象的开口向上， 对称轴直线，在y轴左侧， 图象与y轴的交点为，在y轴的负半轴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【变式5-3】如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合判断，利用交点求不等式的解集． 根据图象可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，则的解集即为抛物线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和， ∴当时，x的取值范围是或， 故选：D． 【变式5-4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断方法以及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、与轴交点以及对称轴位置确定、、的符号，再据此分析一次函数的图象特征，从而确定选项． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 二次函数图象的对称轴，且， 二次函数图象与轴的交点在正半轴， ， 对于一次函数，，， 其图象经过第一、二、三象限． 观察选项，只有选项的图象符合． 故选： 【变式5-5】在同一平面直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数与一次函数的图象与性质是关键． 首先观察各选项中的一次函数的图象，得到字母系数的正负性，然后再将字母系数的正负性与二次函数的开口方向相比较，看是否一致，不能判断的需同时结合二次函数的对称轴进行验证，由此即可作出判断. 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误； 故选：B． 题型6 反比例函数、二次函数图象综合判断 【例11】二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 【例12】已知反比例函数（）在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数和一次函数的图象确定的符号以及的值，再根据二次函数解析式的系数符号，进行判断即可. 【详解】解：由图可知，反比例函数的图象过第一象限，一次函数的图象过一，三象限且过原点， ∴， ∴，，， ∴抛物线的开口向下，对称轴在轴的左侧，抛物线与轴交于正半轴， 故符合要求的只有选项B的图象. 【变式6-1】已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 【变式6-2】一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出、、的正负，再根据抛物线的对称轴为，找出二次函数对称轴在轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 二次函数的图象开口向下，对称轴在轴右侧； 反比例函数的图象在第一、三象限， ， 二次函数的图象与轴交点在轴上方，． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 【变式6-3】一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 题型7 两个二次函数图象综合判断 【例13】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 【例14】函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【变式7-1】已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 【变式7-2】如图，抛物线与抛物线交于点，过点A作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于B、C两点，若点B是的中点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】先推导出，，得到，进而推导出，将，代入，，可得到，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为，抛物线的对称轴为， ∵抛物线与抛物线相交于点， ∴由抛物线的对称性可知，， 即， ∴， ∵点B是的中点， ∴，即：， 将，代入，，得 ， 则， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点A，B，且，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于，过点作轴于，先证明，得到，不妨设点横坐标为，那么点横坐标为，，，最后利用这两点纵坐标的比等于求得答案． 【详解】解：过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ∴， ∵， ∴， 不妨设点横坐标为，那么点横坐标为， ∵射线分别与二次函数，的图象交于点A，B， ∴，， ∴， ∴． 题型8 根据二次函数的图象判断式子符号 【例15】如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与x轴交点位置以及特殊点的函数值符号进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ∴， ∵ 对称轴为直线， ∴，即 ， ∴，故A错误； 由图可得，时，， 时，， ∴， ∴，即，故B错误； ∵， ∴， 将代入得：， 整理得，故C错误； ∵ 点A的横坐标满足，对称轴为直线， ∴点B的横坐标满足， ∴方程的一个正根大于3小于4，故D正确． 【例16】如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 【变式8-1】二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 【变式8-2】如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过，，， ∴对称轴，即， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即的两个根，相当于函数与的交点的横坐标， ∵， ∴， ∵ ∴根据图象得，，故④正确； 故正确的有． 【变式8-3】如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 【变式8-4】已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 题型9 已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例17】已知抛物线经过和两点，则的值为（    ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于抛物线对称轴对称的性质，先求出对称轴，再计算的值，最后代入点坐标求即可． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称，可得抛物线对称轴为， 对于抛物线，对称轴为， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入解析式得． 【例18】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【变式9-1】二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 【变式9-2】已知抛物线经过四个不同的点，，，D，若，则的值为(   ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】先根据二次函数上两点纵坐标相等的性质，得到和的关系式，排除点重合的情况后，将用，表示，代入即可求值． 【详解】解：∵抛物线上，点和满足， 若，则横坐标相同，为同一个点，不符合四个不同点的条件，舍去； 若，抛物线的对称轴为 ∴ ∴ ∵，在抛物线上 ∴， ∴ 将代入得． 【变式9-3】小刚在用描点法画抛物线时，列出了下面的表格： … … … … 请根据表格中的信息，写出抛物线的一条结论_______． 【答案】抛物线的对称轴为直线（答案不唯一） 【分析】根据二次函数图象与性质，结合函数值的变化规律，可判断开口方向、增减性、顶点坐标和对称轴等，任选一条回答即可． 【详解】解：由表格数据可知，点与点的纵坐标相等， ∵二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． （答案不唯一） 【变式9-4】若关于x的方程的系数同时满足和，则二次函数的对称轴是______． 【答案】 直线 【分析】根据已知等式可确定一元二次方程的两个根. 再利用二次函数图象的对称性即可计算出对称轴．也可联立等式得到与的关系，代入对称轴公式求解． 【详解】解： 当时，， 是一元二次方程的一个根． 当时，， 是一元二次方程的另一个根． 二次函数的图象与轴交于，两点， 根据二次函数的对称性，对称轴为 ， 即对称轴为直线． 题型10 根据二次函数的对称性求函数值 【例19】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 【例20】如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 【变式10-1】已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵，两点都在抛物线上， ∴、是方程的两个根， 整理方程得， 对于一元二次方程（），根据根与系数的关系，两根之和为， 在方程中，，， ∴． 【变式10-2】已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的性质，先由函数图象可知函数的图像过点，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像过点，且顶点坐标为， ∴函数的图像过点， ∴， 故答案为：0． 【变式10-3】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 题型11 函数的最值 【例21】已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 【例22】在平面直角坐标系中，二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【答案】C 【分析】先根据二次函数与y轴交点位置得到a的取值范围，判断二次函数开口方向，再对二次函数配方得到顶点纵坐标，即可求出函数最值． 【详解】解：将代入，得， ∵二次函数（a为常数，且）的图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， 解得， ∴二次项系数， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∴该二次函数的最大值为． 【变式11-1】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 【变式11-2】已知二次函数（b、c是常数）的图象与x轴的交点的横坐标为和1，且二次函数的最小值为m，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】利用二次函数与x轴交点满足函数解析式，先求出b，c的值，再根据二次函数性质求出最小值m，最后计算即可； 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交点横坐标为和， ∴函数图象过点和， 将两点坐标代入解析式得：， 整理得， 解得，， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∵二次项系数，函数开口向上， ∴最小值， 则． 【变式11-3】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 题型12 利用二次函数对称性求最短路径 【例23】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 【例24】如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解； （2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 【变式12-1】如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 【变式12-2】已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 【变式12-3】如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A，点B和点C的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标． 【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，） 【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标； （2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标． 【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1， ∴A（-2，0），B（1，0）， 由 x＝0，得 y＝-2， ∴C（0，-2）． （2）连接AC与对称轴的交点即为点P． 设直线 AC 为 y＝kx+b， 则﹣2k+b＝0，b＝﹣2： 得 k＝﹣1， y＝﹣x﹣2． 对称轴为 x＝， 当 x＝时， y＝-2＝， ∴P（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键． 1．（2026•浦东新区期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（　　） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【解答】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故正确； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数），即为任意实数），故错误； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故正确； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方，的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 2．（2026•长宁区月考）已知抛物线过点、和，那么的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】点和纵坐标相同，因此抛物线的对称轴是这两点横坐标的中点，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【解答】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，场代入，得方程组： ， 化简： ， 两式相减，得： ，， 将代入，得： ， ， 将顶点式展开： ， ，，， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的对称性和顶点式的应用．熟练利用对称性确定对称轴，再用顶点式求解，是简化计算的关键． 3．（2024•长宁区期末）已知二次函数的图象上有两点，、，，如果，那么、的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【解答】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 时，随的增大而增大， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 4．（2024•静安区期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，，如果实数表示的值，实数表示的值，那么、的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据二次函数的图象经过，，得，对称轴为直线，根据抛物线开口向下，得，，所以，即可得出答案． 【解答】解：二次函数的图象经过，， ，对称轴为直线． 抛物线开口向下， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键． 5．（2025•浦东新区期末）抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为． 故选：． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 6．（2026•奉贤区二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是_______． 【答案】． 【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，解答即可． 【解答】解：抛抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ． 故答案为：． 【点评】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下． 7．（2025•宝山区期末）已知抛物线开口向下，那么的取值范围是_______． 【答案】． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数，然后解一元一次不等式即可求出的取值范围． 【解答】解：抛物线的图象开口向下， ， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解题的基础． 8．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的范围是 　 　 ． 【答案】． 【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值随的增大而减小可知二次函数的对称轴直线，故可得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：二次函数中，， 此函数开口向上， 当时，函数值随的增大而减小， 二次函数的对称轴直线，即 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键． 9．（2025•浦东新区月考）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，则　 　 ． 【答案】1 【分析】依据题意，过点作轴于点，过点作轴于点，利用二次函数图象上点的坐标特征，可得出点，的坐标，易证△△，利用全等三角形的性质，可得出，，由结合点，的纵坐标，即可求出． 【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示． 点，在抛物线上，且，两点的横坐标分别为，， 点的坐标为，点的坐标为， ，． 四边形是正方形， ，． ，， ． 在△和△中， ， △△． ，． ． ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、二次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，利用全等三角形的性质及各边之间的关系，找出是解题的关键． 10．（2026•长宁区二模）在直角坐标平面内，如果存在正整数和常数，使得点满足，，其中，那么称点为“优点”．比如当，时，点为“优点”（这是因为满足，，．已知点在抛物线上，且它还是“优点”，那么点的坐标是______________． 【答案】或． 【分析】先根据“优点”的定义，将两式相减求出，再结合抛物线方程联立求解点的坐标． 【解答】解：已知点是“优点”，满足： ， 两式相减得： ， ， ，两边同除以得： ， ， 又点在抛物线上，代入得： ， 整理得： ， 解得： ， 解得， 对应值： 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，符合条件． 故答案为：或． 【点评】本题考查自定义概念与二次函数的综合应用，熟练掌握定义式的变形化简、解一元二次方程的方法是解题的关键． 11．（2025•黄浦区期末）我们知道抛物线与通过平移是可以重合的，那么要使这两条抛物线平移后重合，平移的距离至少是_______． 【答案】． 【分析】这道题的核心是将两条抛物线化为顶点式，找到它们的顶点坐标，然后计算两个顶点之间的距离，这个距离就是两条抛物线平移后重合的最小距离． 【解答】解：对， 配方：， 顶点为 对配方： ， 顶点为， 计算两点距离 两点间距离公式：， 代入和 ． 故答案为：． 【点评】这道题主要考查了二次函数的顶点式变换和平移的本质，即抛物线的平移等价于其顶点的平移．解题的关键是先将一般式化为顶点式，找到顶点坐标，再利用两点间距离公式计算最小平移距离． 12．（2024•奉贤区三模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”． 已知：点在函数的图象上（如图所示），点的“关联点”是点． （1）请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； （2）如果点在函数的图象上，求点的坐标； （3）将点称为点的“待定关联点”（其中，．如果点的“待定关联点” 在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到， 解得，即可求得点的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点的坐标． 【解答】解：（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图： （2）由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）点的“待定关联点”为， 在抛物线的图象上， ， ，．又，， 当时，， 故可得． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 13．（2024•浦东新区同步）已知抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式． 【分析】先求出点的坐标，再令，解方程求出点的坐标，然后根据中心对称求出点的坐标，然后根据对称性利用顶点式形式写出的解析式即可． 【解答】解：点的坐标为， 令，则， 解得，， 所以，点的坐标为， 点、关于点对称， 点的坐标为， 抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线向右平移得到， 抛物线的解析式为． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用定点的变换确定解析式的变化更简便，难点在于确定出平移后的抛物线的顶点坐标． 14．（2024•浦东新区期中）如图，将抛物线平移后得到抛物线两抛物线与轴分别交于点，．抛物线，的交点的横坐标是1，过点作轴的平行线，分别交抛物线，于点，． （1）求点的横坐标． （2）求线段的长度． 【答案】（1）点的横坐标为； （2）． 【分析】（1）根据对称轴公式直接求抛物线的对称轴，以及，关于对称轴为直线对称和点的横坐标直接求出点的横坐标； （2）求出，的坐标即可求出的长． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线， 轴， 点与点关于对称轴为直线对称， 点的横坐标为； （2）点是抛物线与抛物线的交点， ， ， ， 令，则，， ． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，关键是判断点与点关于对称轴为直线对称． 2/14 学科网（北京）股份有限公司 $开0方向 a>0:开口向上，有最点，最值； a<0:开口向下，有最_点，最值； |a越大，开·越 0 b 对称轴：直线x=一 顶点： 2a 增减性 图像与性质 b a>0:x< y随x增大而；x>一 ，y随c增大而； 2a b b a<0:x<- y随c增大而一；x>一 a'3随x增大而。 最值 a>0,x=- b时，y最小= 二次函数y=ax2十bx十c a<0,x=- 时，y最大= 2a 的图像和性质 a:a>0开口向上；a<0开0向下 a、b(左右) b ab>0(号)，对称轴x=一 在y轴_刚； 2a ab<0( 号)，对称轴x=一 在y轴侧； a、b、c符号与图像对应关系 a b三0，对称轴为一。 C:E=0时y=C,抛物线与y轴交点 C>0,交y_半轴；c<0交y_半轴；c=0过点。 拓展特殊代数式符号 x=1,y= ；x=-1,y= x=2,y= ;x=-2,y=