湖南省湘西自治州2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 这份高二期末数学试卷覆盖概率统计、函数、立体几何等核心知识，解答题融入骑行数据回归分析、学校成绩独立性检验等现实情境，凸显数学应用与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|随机变量、排列组合、命题逻辑|多选题综合考查函数性质与空间位置关系，层次分明| |填空题|3题15分|命题真假、事件概率、函数单调性|聚焦基础概念辨析，强化数学思维| |解答题|5题77分|独立性检验、回归方程、立体几何证明|结合生活实际情境，突出模型意识与应用能力，如骑行数据拟合与两校成绩分析|

湖南省湘西自治州2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设随机变量，若，则（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 2．在一组数据1，2，4，5，8中插入一个数后，该组数据的方差为，则的下列取值中，使得最小的是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为若（ ，），则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．某校6个社团进行作品展示，其中体育类2个、绘画类1个、演讲类1个、科技制作类2个，若体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻，则不同的展示方法有（   ） A．432种 B．144种 C．96种 D．48种 5．从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A．21 B．120 C．60 D．91 6．已知函数，则的值为（    ） A．24 B．4 C．12 D．8 7．学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足，则（    ） A． B． C．函数有1个零点 D．函数有1个零点 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．下列选项正确的是（    ） A．命题“，”的否定是， B．满足的集合M的个数为 C．已知，，则 D．已知指数函数（且）的图象过点，则 10．在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B． C．，，，四点共面 D．平面平面 11．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．函数有2个零点 C．函数在点处的切线方程为 D．，都有 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“，都有”是假命题，则实数m的取值范围为______. 13．已知随机事件 ． 若 ，则 _____ 14．已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知或. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．如图1，在五边形中，，，，，．将沿折起，使平面平面，如图2． (1)证明：平面． (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 17．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了表中数据： 学校 数学成绩 合计 不优秀 优秀 甲校 10 30 40 乙校 20 20 40 合计 30 50 80 (1)依据小概率值的独立性检验，能否据此推断两校学生的数学成绩优秀率有差异？如果表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因； (2)现从所抽取的数学成绩优秀学生中利用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人，设这3人中来自乙校的人数为，求的分布列和期望． 附：①，其中． ②临界值表 0.1 0.01 0.005 2.706 6.635 7.879 18．某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时（单位：小时）如下表： 身体综合指标评分（） 1 2 3 4 5 用时（/小时） 10 8.5 8 7 6.5 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数如以说明； (2)建立关于的回归方程. 参考数据和参考公式：相关系数，，，. 19．已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省湘西自治州2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D B B A C D BC AD 题号 11 答案 ACD 1．D 【解析】根据已知，利用，可得，即得. 【详解】随机变量服从正态分布，且正态曲线的对称轴是：，由，可得，则. 故选： 【点睛】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题. 2．B 【分析】将新数据的方差表示为关于的函数，通过配方法求最小值. 【详解】插入一个数后，平均数为， 化简，得， 当时，取最小值. 3．D 【分析】结合了狄利克雷函数的定义和基本不等式求最值. 【详解】①当时，．因为，所以． 因为，所以不符合题意． ②当时，．因为， 所以．因为，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是． 4．B 【分析】应用捆绑法解决相邻问题，应用间接法解决不相邻计算求解. 【详解】将2个体育类作品捆绑，共种排法，其他作品任意排列，共有种不同的展示方法． 将2个体育类作品捆绑，有种排法，将绘画类与演讲类作品捆绑，有种排法，其他作品任意排列，此时共有种不同展示方法， 所以体育类必须相邻，绘画类与演讲类不相邻的展示方法有（种）． 5．B 【分析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案． 【详解】根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有＝126种选法， 其中只有男生没有女生的选法有＝5种，只有女生没有男生的选法有＝1种， 则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种； 故选B． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，灵活利用间接法，属于基础题． 6．A 【分析】由，则，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 7．C 【分析】先用分步乘法计数原理得到共有6种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，从而得到概率. 【详解】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择， 其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为. 故选：C 8．D 【分析】根据给定条件，确定函数的奇偶性并求出，再逐项判断得解. 【详解】函数的定义域为R，由，得， 函数是R上的偶函数，即，则，， 对于AB，，AB错误； 对于C，当时，，当时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 函数无零点，C错误； 对于D，函数有唯一零点0，D正确. 故选：D 9．BC 【分析】对于A，命题的前提发生变化；对于B，求出满足条件的集合个数即可；对于C，由题意计算出即可判断；对于D，先求出，再算出即可判断. 【详解】对于A，存在量词命题的否定是全称命题，但前提条件不变， 所以命题“，”的否定是，， 故选项A错误； 对于B，满足的集合M的个数为， 故选项B正确； 对于C，，，所以， 故选项C正确； 对于D，已知指数函数（且）的图象过点， 所以，所以，故选项D错误. 故选：BC. 10．AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据空间向量判断空间直线、平面的位置关系的方法，可判断A，B；判断为异面直线，可判断C；根据空间直线和平面的垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，可判断D. 【详解】如图，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则, 则, 则， 故，即， 而平面，故平面，A正确； 由于，且没有倍数关系， 即两向量不共线，故不平行，B错误； 由于平面，平面，, 故为异面直线，则，，，四点不共面，C错误； 由于平面， 故平面，又平面，故平面平面，D正确， 故选：AD 11．ACD 【分析】对于A，由奇函数性质验算即可；对于B，由零点定义解方程即可；对于C，只需求出即可；对于D，只需算出函数的值域即可. 【详解】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对. 对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对. 对于C，对求导得， 所以，故所求切线为，即，所以C对. 对于D，当时，，， 当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 且当时，，时，所以 由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对. 故选：ACD. 12． 【分析】由题意可得 “都有”是真命题，讨论m的取值，结合二次不等式恒成立，即可求得答案． 【详解】若命题“，都有”是假命题, 则 “都有”是真命题， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，要使得，则，解得， 综上，实数m的取值范围为. 故答案为：. 13．/0.4 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及和事件得概率公式，即可求解. 【详解】，则，即，解得， 故. 故答案为： 14． 【分析】利用导数分析函数的单调性，结合题意得出，进而可得出，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】因为， 则， （i）若，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，不合乎题意； （ii）若，由可得或， ①若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ②若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ③当时，对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 此时函数在上为增函数，合乎题意，所以，故， 所以，令，，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据题意得到是假命题，结合一元二次方程的性质，列出不等式即可求解； （2）根据（1）的结论，得出命题是真命题的范围，再将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组即可求解. 【详解】（1）因为命题是真命题，所以命题是假命题，即关于的方程无实数根. 当时，方程无解，符合题意； 当时，，解得. 故实数的取值范围是. （2）由（1）知若命题是真命题，则或. 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以或⫋或， 则解得， 所以实数的取值范围是. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （2）取的中点，作出二面角的平面角，利用几何法求出正弦值. 【详解】（1）由平面平面，平面平面，平面， ，得平面，而平面，则， 又，平面， 所以平面． （2）取的中点，连接，由，得， 由，，得四边形为平行四边形，，而平面， 则平面，又平面，则， 令，则，， 取中点，连接，则，是二面角的平面角， ，，， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为. 17．(1)认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，不一样，因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化 (2)分布列见解析， 【分析】（1）求出观测值，再与临界值比对即可得解. （2）由分层抽样确定5人中来自乙校的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，计算出各概率的分布列，再由期望公式计算期望. 【详解】（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异. 因为， 依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立， 所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异． 所有数据都扩大10倍后： ． 依据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即学校与数学成绩有关联 结论不一样，主要是因为样本容量的不同，导致推断结论发生了变化. （2）由分层随机抽样可知，抽取的5名学生中有2名来自乙校． 所有可能的取值为0，1，2， 知，，， 所以的分布列为： 0 1 2 故． 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据表格数据可分别计算出与的平均值，再代入计算可得相关系数近似为，即可知与相关程度较高； （2）根据（1）中的计算结果可得，代入计算可得，即可求得关于的回归方程. 【详解】（1）由题意得，， ， ，， 因此相关系数. 即相关系数近似为，与负相关，且相关程度相当高，从而可用线性回归模型拟合与的关系； （2）由（1）中数据，得，， 所以关于的回归方程为. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式即得切线方程； （2）解法一：将函数求导，根据参数的取值，判断函数的单调性，验证是否满足条件，可发现在时，需使，用换元后，讨论函数的单调性和零点即得参数的范围；解法二：将进行整理，通过换元，从而将不等式化简为恒成立，继而利用其单调性推得，即得，通过求函数的最小值即得参数的范围. 【详解】（1）当时，，函数定义域为， 则， 所以，， 所以切线方程为，即. （2）解法一：，， ，∵，∴， 当时，，则在上单调递增， 当时，， 不满足恒成立，故舍去； 当时，当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 则的最大值为， 依题意恒成立， 令，，， 则，则在上单调递增， 又，故等价于， 所以且， 即，则 的取值范围是. 解法二：由题意得， 设，则恒成立， 又因为恒成立，即函数在上为增函数， 又，所以要使恒成立，需使， 即，得， 设，则， 当时，，当时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 从而，即的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $