湖南长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期6月期末数学试题

**基本信息** 聚焦数学抽象与逻辑推理，通过函数性质、概率模型及导数应用等问题设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查，适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、函数奇偶性、椭圆性质|结合充分必要条件考查逻辑推理，多选题设置性质P(k)创新情境| |填空题|3题15分|三角函数性质、数据方差|通过方差计算考查数据观念，三角函数参数范围体现数学抽象| |解答题|5题77分|数列求和、立体几何、导数零点|19题导数零点证明考查逻辑推理，17题解三角形面积最值体现数学应用|

高二数学 时量：120分钟 满分:150分 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 则M∪N= A.{-2,2} B.{2} C.{x|-2<x<3} D.{x|-2≤x<3} 2.已知函数 为奇函数,则g(-2)= A.4 B.2 C.-4 D.-2 3.已知x,y∈R,若 则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知曲线 下列说法中正确的是 A.把C₁向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到C₂ B.把C₁向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的3倍，得到C₂ C.把C₁向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来 倍，得到C₂ D.把C₁ 向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来 倍，得到C₂ 5.已知关于x的不等式 的解集为(-∞,1)∪(2,+∞)，则不等式 的解集为 D.( ,1) 6.如图，一个质点从原点O出发，每隔一秒随机向左或向右移动一个单位长度，向左的概率为 ，向右的概率为 ，共移动3次，该质点共到达两次到1的位置的概率为 A. C. D. 7.已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是 8.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S，则 的最大值为 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知正实数a,b,满足a+b=2,则 A. ab≤1 10.已知F₁,F₂分别是椭圆 的左、右焦点,A₁,A₂是椭圆长轴端点，点 P 是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是 A.椭圆C的离心率 的最大值为25 C.存在点 P 使 D.以 PF₁为直径的圆与以A₁A₂为直径的圆内切 11.已知函数 f(x)的定义域为R，若存在非负实数k，满足对任意x∈R,总有|f(x)-f(-x)|≤k,则称 f(x)具有性质 P(k).下列说法正确的是 A.若 f(x)具有性质 P(0),则 f(x)是偶函数 B.若函数 具有性质 P(1),则a的取值范围是[-1,1] C.若f(x)具有性质 P(k),则 f(x+t)(t>0)一定具有性质P(k) D.若∀x∈R,都有|f(x)|<1,|g(x)|<1,则 f(x)g(x)具有性质P(4) 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知 则 13.函数 其中ω>0,若 x₂),使得 则ω的取值范围为 。 14.已知15个数x₁,x₂,…,x₁₅的平均数为6,方差为9;现从原15个数中剔除x₁，x₂，x₃，x₄，x₅这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8,方差为5,则剩余的10个数x₆,x₇,…,x₁₅的方差为 。 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知数列{}满足 (1)求数列{}的通项公式; (2)若 求数列{}的前n项和. 16.(15分)已知双曲线 的一条渐近线的斜率为 ，左、右焦点分别为 (1)求C的方程; (2)设x轴上方的点 A，B分别在C的左支与右支上，若 求直线 的方程. 17.(15分)在 中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c, (1)求角A的大小； (2)求 sinB·sinC的取值范围; (3)当sinB·sinC取得最大值时,如图所示,在 所在平面内取一点D，使得线段DC=2,DA=1,求 面积的最大值. 18.(17分)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为1 的正方形,平面ADE与平面 BCE的交线为l, (1)求证: (2)若平面 (i)求平面 AED与平面AEB所成角的余弦值； (ii)已知点O为底面ABCD的中心,点 Q在侧面 AEB内,且 求三棱锥Q-ABC的体积 的最大值. 19.(17分)已知 (1)若 恒有f(x)>0,，求a的取值范围。 (2)当 时， (i)证明:f(x)在 上恰有三个零点； (ii)设(i)中的三个零点为 且 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学 参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 6 7 9 10 11 答案 D C B C D A A B AC ABD ABD 1.D【解析】由题，N=(一2,2)，则MUN={x一2≤x<3. 2.C【解析】依题意，g(一2)=f(一2)=一f(2)=一4. 4.C【解析】变换方式一：由函数y=sinx的图象可向左平移于个单位长度， 再将所有点的横坐标变为原来的3，得到y=sin(3x十)； 变换方式二：国为y=sin(3x+)=sim[3(x+哥)]， 所以由函数)y一sinz的图象上所有点的横坐标变为原来的子， 再向左平移哥个单位长度，得到y=sin(3x+) 5.D【解析】由不等式ax2+bx十c<0的解集为（一o∞，1）U(2,十∞)可知a<0, 且-8=1+2=3,8=2，所以6=-3a,6=2a, 所以不等式cx2+bx+a>0可化为a(2x2-3x+1)>0, 又a<0,则2x2-3z+1<0,解得2<x<1. 6.A《解析】记质点两次到达1的位置为事件B,想要质点到达1的位置两次，则有0→1→0→1,0→1→2→1，共 两种情况，所以PB=号X号×号十号×号×号=费 7.A【解折(2+2厂的晨开式的道项为T1=G(2)·(厂=C·Q·2-, 由题可知 43 2S bcsin A sin A ≤sinA_=1sin A 【折1中2莎+336+22c0sA+28P+329-29s44B-2osA22F-c c 令t= 后产AA则血A十oA=2后有，故1+r≥12，即语故。+器+≤语 2S 2√3-cosA 9.AC【解析】已知正实数a,b满足a十b=2, 选项A:因为2=a十b≥2√ab,所以ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确； 选项B:由均值不等式，2+2≥2√2·2=2√2=24=4，当且仅当a=b=1时取等，故B错误； 选项C:代入b=2-a,得a2+2b=a2+2(2一a)=a2一2a十4=(a一1)2+3≥3，当且仅当a=1,b=1时取等，故 C正确； 选项D:取a=1.9,b=0.1,满足a十b=2,但不满足(a一b)2<1,故D错误。 10,ABD【解析】由描国C芳十若-1的方程，得a=5,6=4,c=3,精圆C的高心率e=台=号故A正确； 对子B,IPE,IIP≤(PB中PE)=(受)°=25，当且仅当PF=PF=5时等号成立，故B 2 正确； 对于C,假设点P是椭圆短轴的端点，则|PF1|=|PF2|=5,|FF2|=2c=6,则cos∠FPF2= 高二数学参考答案(Q)一1 PFPF正-g>0,即此时∠R,PE,为锐角，且点P是箱固短轴的瑞点处时， 2PFPF2 2×5×5 ∠FPF2最大，故∠FPF2不可能为直角，即不存在点P使PF·PF2=0,故C错误； 对于D,以A1A2为直径的圆，圆心为O,半径R=|A1A2=a,设以PF为直径的圆的圆心为0，半径r= |PF,O,O分别为FF2,PF,的中点，|O01=2|PF2,由椭圆的定义得：lPF|+P2=2a, |O0|=之PF=(2a-|PF)=a-|PF,=R-r,故以PR为直径的圆与以A1A2为直径的圆内 切，故D正确， 11.ABD【解析】对于A选项，若f(x)具有性质P(O),则Vx∈R,lf(x)一f(-x)|≤0， 于是f(x)一f(一x)=0,即f(x)=f(一x)对任意x成立，故f(x)是偶函数，故A正确； 对于B选项，画数f)为寺函数，故✉)--)=e)-(一fe)=2f=学， 国比爱1恤成立，当=0时，显然成立，当0时，则2a<告皆-+日成主， 注意到z十≥2，因此21a<2,即-1≤a≤1，故B正确； 对于C选项，设f(x)=x2,则f(x)是偶函数，满足f(x)一f(一x)=0,因此f(x)具有性质P(0), 但是f(x十t)=(x十t)2,故|f(x十t)-f(一x十t)川=|4tz,无界，故C错误； 对于D选项，由|f(x)<1,可知f(x)一f(一x)l≤|f(x)川+|f(-x)|<2,同理|g(x)-g(-x)<2, 而1f(x)g(x)一f(-x)g(-x)川=|(f(x)-f(-x)g(x)+f(-x)(g(x)一g(-x)l ≤1f(x)-f(-x)|·Ig(x)l+|f(-x)川·|g(x)一g(-x)l<2X1+1X2=4, 因此对任意x∈R,lf(x)g(x)一f(-x)g(-x)<4,从而f(x)g(x)具有性质P(4). 三、填空题 12.是【解折1o823)=f1oga3+1)=fog3+2)=fog3+3)=(合）)*”-（合）4*×（合）》广= 13.[子，+)【解折】因为x[o,,o>0,所以ux+看∈[晋wx+晋]，由于3a∈[0，]（✉≠x),使得 f)+f()=4,即fa)=f)=2,所以wm+吾≥受，解得w≥子，故@的取值范国为[3，十∞）月 14.8【解析】设15个数的平均数为元，方差为52，剔除的5个数的平均数为元，方差为，剩下的10个数的平均 数为，方差为，则2=+号=[i+(云-列2]十号[4+(-列]， 由=6，云=8可知6=号+号j-5: 由好=5，=9可知9=号5+(8-62]+号[+(5-6)门91=8. 四、解答题 15.【解折]水)君十2，一2名则数列后为字差数列，c…（2分） 又这=1=2六数列2}的公为站一女=1，…（4分剂 六2=+6m-1DX1=1+6m-10=,所以a=分 …(6分) (2）由1加a=员，所以6=aa4-n十=号（月-n十2）》 .aee. (9分) 所以6++++6，=[（(1-号)+（合-）+（信-）++（月-元十2）] =(+2)-是-2十4 …(13分) 高二数学参考答案(Q)一2 16【解折11)双南战导-苦=1的渐近线方程为y=士总2，依题意，会-月，…《2分)、 半焦距c=4,而a2十b2=c2, 解得a=2,b=2√5， (5分) 所以C的方程为-长L四 (7分) F,O F2 (2)设A(x0y%),y>0,而F1(-4,0),F2(4,0), 由F2B=3F1A,得B(3x0十16,3y0),… (9分) -设-1， 依题意， 3z+16y_392-1 解得西=一3， 即A(-3,√/15)，…(13分) (y%=15, 4 12 又F1(-4,0),所以直线AF1的方程为√15x-y十4√1⑤=0.…(15分) 17.【解析】(1)由平面向量数量积运算和余弦定理，知A店.B心-bc-c2→(π-B)=c一2， 即ac80sB=2-号bc, …(2分） 即ata=d-ca+=d-c, 2ac 2 故B+c2-a2=6c→c08A=分，又0<A<180,所以A=60 …（4分)》 (2)由(1)得，B+C=120°，得0°<B<120°， 所以sin Bsin C=sin Bsin(120°-B)=sinB(sin120°cosB-cos120°sinB) =9如2B+1-cas2B)=n(2B-30）+7, …(7分) 由-30°<2B-30<210,所以-号<sin(2B-30≤1，所以-音<合in(2B-30≤分， 所以sin BsinC的取值范国是(0，是] ……（8分) (3)当sin Bsin C取得最大值时，2B-30°=90°，解得B=60°，故△ABC为等边三角形，…(9分) 令∠ACD=0,∠ADC-a,AB=AC-BC=a,则品a一3品sina=asin0,… 1 (10分) 又a2=22+12-2X2X1×cosa, .'.a2cos20=a2-a2sin20=5-4cos a-sina=cosa-4cos a+4, ∴.acos 0-=2-cosa,… …（12分) 5m=×aX2sn(骨+9)=号acas6计7sm0=号2-cosa+7ina厅+in(。-哥）<月+1， (14分) 当a-语时等号成立，△BCD面积的最大值为十1.… …（15分） 18【解析】(1)因为AD∥BC,ADt平面BCE,BCC平面BCE,从而AD∥平面BCE,…(2分) 又ADC平面ADE,平面ADE∩平面BCE=L,则AD∥L… …（4分） (2)平面BCE⊥平面ABCD,平面BCE∩平面ABCD=BC,AB⊥BC,可得AB⊥平面BCE,…(5分) (1)在底面为正方形的四棱锥E-ABCD中，以D为坐标原点，DA,DC分别为x,y轴， 过D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 2 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),设E(x,y,z)(x>0),则AB=(0,1,0), AE=(x-1,y,z),AD=(-1,0,0),…(6分） 所以AE·AD=1-x,因为∠EAD=45°， 又AE.AD=|AEI|AD1cos∠EAD=2X1Xcos45°=√2， 高二数学参考答案(Q)一3 所以1一x=2,解得x=1一√2，所以AE=（一√2,1，z), 则|A1=√(-2)+1+2=2，又>0，所以x=1, 所以AE=(-2,1,1), 设平面AEB的法向量为n=(1,y,名)， 则.n=0,得一万十n+刻=0取=1，则=1,02，（8分） 则=0，=0 设平面AED的法向量为m=(x22,z2), AE·m=0得2x十为十0取为=1，则m=0,一1》，…10分》 则市·m=0,气z4=0 coa(m.n)=高员=-停故手西ABD与干而AB所成有的余盒值为得 …(11分） (I)设点C到平面AEB的距离为d,因为AC=(-1,1,0), 所以d=AC:n= 1 n √12+02+(W2)2 =得，即点C到平西AEB的距高为 , 则0到平面AEB的距离为d-得 …(13分） 过点O作平面ABE的垂线，垂足为H, 又0Q-5，=VQ0--号，即点Q在以H为国心r-得为半径的国上，… (14分) 由(1)知AB⊥平面BCE,AB⊥BC,AB⊥BE,∠EBC为二面角E-AB-C的平面角， 则H到平面ABC的距离为d,coS∠EBC= 6 ……………… (15分) 所以Q到平西ABC的距离最大值为号+rin∠BBC-告，则Vgc的莱大值为结 …(17分) 19【解折I1)徐题意，f0)=0,f✉)=心za在(0，受)》上单润递增， …(1分) 当a≤0时，tanx>0,一ax>0,因此f(x)>0,符合题意；…(2分) 当a>1时，∫(0)=1-a<0,x→受，f(x)→+∞，故存在唯一零点0使得∫()=0， 此时当x∈(0，x0)时，f(x)<0,f(x)单调递减，故f(x)<f(0)=0,不符合题意； …(3分) 当0<Q≤1时，f(x)≥f(0)=1一a≥0，f(x)单调递增，则f(x)≥f(0)=0,符合题意.…(4分) 综上可知，a≤1. (2)(1)由(1)可知，当0<a≤1时，fx)在(0，受)上没有零点， 当z∈（受元]时，tanz≤0，故f(x）=tanx一ax<0,没有零点…… (5分) 当z(x,)时，由(1)可知，f(x)≥0，fx)单词道增，且f(m)=一am<0,x一受，f(x)→+∞，故f(x)在 2 (x,受)恰有-个零点；…叫 …(6分) 当x∈（经，2x]时，anx≤0，故fx)=amx-ax<0,设有零点； 当x(2m,受)时，由(1)可知，fx)≥0，fx)单调递增，且f2)=一2ar<0,x一受，fx）)→+o,放f) 在(2x,受)拾有一个零点，… …(8分) .当z(受，3m]时，tanx≤0，故fx)=tanx-az<0,没有零点； 高二数学参考答案(Q)一4 当x(3,）时，由(1可知，f(红≥0，f)单训递增，且f3n)=-3am<0,一受，fa)→十o0, 故f✉)在(3x,)洽有一个零点， 综上可知，fx)在(0，经)上恰有三个套点。… (10分) （)证明-：由(1)可知西-元，题一2r,西-3x∈(0，变)，记5=4一x,k=1,23,则1∈(0，受)， 且tan 5a=as十akπ，故f(s1)十f(s3)=2f(s2),… (12分) 要证明工1十x<2x2,即证明1十5<22， 即证<2，又因为f)在(0，受)单调递增，f1)f)f代)，故<6<， 2 故只鸾证明f(色吉）人f()=)十2， (14分) 2 构造函数g(a)=fa)+f1)一2f()<x<受，g'x)=fx)-f(）, 由1)可知，子(x在(0，受)上单羽递增，而>生，故g《✉>0,8田)单调递增， 从而gs,>8)=0,故f作）<s士f=fa, (16分) 2 即S1十5g<252,也即z1十x3<2x2.…(17分） 送明二：如()学即四会中e云同理十 x2一工 由1++可为四。，且%-a∈（停》， a x2一 xg一x2 设a(e)=兰，x∈（受，受），则N(x)=>0,h(x)单调递增， x x-cOST 故由h(x2一1)>h(x-x2)可知x2一x1>x一x2,因此x1十x<2x2.