精品解析：2023年山东省滕州市级索中学九年级中考复习练习题数学试题

2023届山东省滕州市级索中学中考复习练习题 数学试题 一、单选题 1. 2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国共授权发明专利798000件，数据798000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 2. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的俯视图．熟练掌握从上往下看到的是俯视图；看得到的用实线，看不到的用虚线是解题的关键． 根据从上往下看到的是俯视图，看得到的用实线，看不到的用虚线，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，俯视图如下： 故选：B． 3. 化简：（ ） A. 1 B. x C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分式的分母分解因式，除法化为乘法，再计算乘法化简即可． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法计算法则是解题的关键． 4. 甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为60km/h． B. 乙车的平均速度为100km/h． C. 甲乙两车在10：00时相遇． D. 乙比甲车先到达B地． 【答案】C 【解析】 【分析】由可得甲，乙车的速度，根据甲出发1小时后乙再出发及甲、乙车速度，可得到乙追上甲的时刻． 【详解】解：甲车5小时行了，甲车的平均速度为，故A正确． 乙车3小时行了，乙车的平均速度为100km/h，故B正确． 设乙出发追上甲，则，解出，甲乙两车在时相遇，故C错误． 乙车到达B地，甲车到达B地，故D正确． 故选C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息． 5. 如图，是圆的直径，点，在圆上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用邻补角求得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， 故选∶ B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行计算是解决本题的关键． 6. 如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到，，连接AF，由作图知，DE 垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，推出，根据等面积法即可解答． 【详解】解：在中，，，， ∴，， 连接AF，由作图知，DE 垂直平分AC， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了基本作图思想，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 7. 如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，，根据角的和差关系，得，再根据三角形的外角的性质，得，从而解决此题． 【详解】解：如图： 由题意得，，，， ∴， ∴， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角，熟练掌握三角形的外角的性质，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解决本题的关键． 8. 如图，菱形中，，分别在边，上，，相交于点，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交延长线于，令，由，推出，得到，由，即可解决问题． 【详解】解：延长交延长线于， 四边形是菱形， ， ， ，， 令， ，， ， ， ：：：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，关键是通过作辅助线构造相似三角形． 9. 如图1，在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线－运动，到点B停止．过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的函数图象，如图2所示．当点P运动5秒时，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图2得到．根据勾股定理得，过点C作于点H，可证明．则，求得，得到点E的坐标是，点F的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】由图2知，点P在上的运动时间时间分别是3秒和4秒， ∵点P的运动速度是每秒 ， ∴． ∵在中，， ∴根据勾股定理得：． 如图，过点C作于点H， 则， ∵， ∴． ∴，即． ∴如图，点E的坐标是，点F的坐标是． 设直线的解析式为，则 ， 解得：． ∴直线的解析式为． ∴当时，． 故选：B． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 10. 如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，与是同高，故底之比等于，从而得出面积之比． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的高相同， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键． 二、填空题 11. 二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线的对称轴为直线，且开口向上，再由，可得点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上， ∵， ∴点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离是解题的关键． 12. 已知：中，，，点是中点，点、在上，，，连接，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形外角的性质可得结合可得，进而说明即；取的中点G，连接，则是的中位线，进而得到,然后运用勾股定理可得，进而得到，最后代入即可解答． 【详解】解：∵、 ∴ ∵ ∴ ∴，即 如图：取的中点G，连接 ∵点是中点， ∴,即 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 13. 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据定义的新运算法则化简不等式组，然后解不等式组，最后根据解集为确定a的取值范围即可． 【详解】解：根据新定义关于x的不等式组可化为： 解不等式①可得： 解不等式①可得： 因为该不等式组的解集为 ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算在不等式组中的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算． 14. 如图，点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，作轴，垂足为，连接，则的面积为_______(用含的式子表示)． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据的几何意义得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作轴于点， ∵点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 15. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点G，由题意易得，，然后代入求解即可． 【详解】解：如图：延长交于点G， 由题意可知，即，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 16. 如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四种情况：①若G为上任意一点，则；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于O，连接，先证，可得，再证，得到四边形是矩形，可得到，即可判断； 由可得，从而得出，即可判断； 先证明，可得是等腰直角三角形，得出，从而可得四边形是正方形，即可判断； 连接，在中，，求得，得到，从而得出，解得，即可求解． 【详解】解：连接交于O，连接， ∵正方形， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵点G为的中点，， ∴点E为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故③正确； 连接， ∵正方形， ∴， 在中，， 解之得：， ∴； ∵ ∴， 解之得：， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号为. 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的性质及判定，解决本题的关键是熟练掌握四边形的有关性质． 三、解答题 17. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别根据负整数指数幂、0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查的是实数的混合运算和分式的混合运算，涉及到负整数指数幂、0指数幂及绝对值的性质、因式分解等知识点，熟知以上知识是解答此题的关键． 18. 为迎接一模考试，云路中学对九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 【答案】（1）50 （2）见解析； （3）80 【解析】 【分析】（1）根据统计图可以求得本次调查的学生数； （2）根据（1）中的结果和统计图中的数据可以求得“中”的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据统计图可以求得该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀． 【小问1详解】 解：， 即这次调查中，一共抽取了50名学生； 【小问2详解】 表示成绩为“中”的人数为：， 补全的条形统计图如图所示， 【小问3详解】 解：， 即该校九年级共有80名学生的数学成绩可以达到优秀． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19. 我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？ 【答案】（1）购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元； （2）共有3种购买方案；方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵． （3）方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵 【解析】 【分析】（1）设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）比较各方案即可得答案． 【小问1详解】 解：设购买A种树苗每棵需x元，B种树苗每棵需y元， 依题意得， 解得 答：购买A种树苗每棵需100元，B种树苗每棵需50元． 【小问2详解】 设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗（100﹣m）棵， 依题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为51，52，53， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵； 方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵； 方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵． 【小问3详解】 方案1：购进A种树苗51棵，B种树苗49棵；元， 方案2：购进A种树苗52棵，B种树苗48棵；元， 方案3：购进A种树苗53棵，B种树苗47棵.元， ∴购进A种树苗51棵，B种树苗49棵最省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）直接写出不等式的解集：　 　． （2）求反比例函数和一次函数的表达式； （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 【答案】（1）或 （2）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，求得一次函数在双曲线上方的的取值范围，即可求解； （2）将，两点代入中，解得，，将和代入中，待定系数法求解析式即可求解； （3）设与轴交于点，连接，由题意可知，点与点关于原点对称，则，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知，不等式的解集为或； 故答案为：或； 【小问2详解】 将，两点代入中，得， 解得，， 反比例函数的表达式为； 将和代入中 得， 解得， 一次函数的表达式为：； 【小问3详解】 设与轴交于点，连接， 由题意可知，点与点关于原点对称， ． 在中，当时，， ， 垂直轴于点， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，待定系数法求解析式，求三角形面积，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． （1）尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接交于F点，连接，求证：； （3）若的半径等于，且与相切于交于点，求阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）作的角平分线交于点，则点即是劣弧的中点； （）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用对顶角相等，结合相似三角形的判定方法即可证明； （）根据，结合半径相等，利用三线合一得到，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线交于点， ∴点为弧的中点E； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵与相切于交于点， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了作图——作角平分线，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 22. 如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与，点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点． （1）探究的形状； （2）求证：； （3）若延长交于点，，求的正切值． 【答案】（1）等边三角形 （2）证明：和是等边三角形， ， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即：， 在和中 ， （） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质即可判断； （2）可证四边形是平行四边形，从而可证，进而可得证； （3）过作，交于，设，可证，从而可求，，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， 由旋转得：，， 是等边三角形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作，交于， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在中： ， ， 在中： ， ， ， ，， ． 故的正切值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的判定及性质，特殊角的三角函数值，求角的三角函数值等，掌握相关判定方法及性质是解题的关键． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）分别令，，可求出点，，，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）作于点，根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，可得到，再由点，可得，，，然后根据菱形的性质，可得到关于m的方程，即可求解； （3）由（2）得：点，，可得，再求出直线的解析式为，过点E作交直线于点Q，可得，此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；过点E作于点Q，过点Q作轴于点S，可得，是等腰直角三角形， ∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，即可． 【小问1详解】 解：在中， 令，可得， 解得，． 令，得：， ∴，，． 设直线的函数表达式为， 把，代入得： ，解得：， 直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点， ∴点， ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形， ∴． ∴， 解得或0（舍去）； 【小问3详解】 解：存在， 由（2）得：点，， ∴， 根据题意可设直线的解析式为， 把点代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， 如图，过点E作交直线于点Q， ∴点， ∴， ∴， 此时点使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形； 如图，过点E作于点Q，过点Q作轴于点S， 由（2）得：， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴此时点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形； ∴， ∴点， 对于， 当时，， 此时点， 综上所述，存在点或，使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求一次函数解析式，正方形的性质，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届山东省滕州市级索中学中考复习练习题 数学试题 一、单选题 1. 2023年2月，记者从国家知识产权局获悉，2022年我国共授权发明专利798000件，数据798000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个正五棱柱，它的俯视图是（    ） A. B. C. D. 3. 化简：（ ） A. 1 B. x C. D. 4. 甲乙两车沿着公路从A地前往B地，汽车离开A地的距离y（km）与时间t（h）的对应的关系如图所示．则下列结论错误的是（ ） A. 甲车的平均速度为60km/h． B. 乙车的平均速度为100km/h． C. 甲乙两车在10：00时相遇． D. 乙比甲车先到达B地． 5. 如图，是圆的直径，点，在圆上，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，长为半径作弧，与直线交于点F，与交于点G，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，，分别在边，上，，相交于点，若，则的值是(    ) A. B. C. D. 9. 如图1，在中，，点P以每秒的速度从点A出发，沿折线－运动，到点B停止．过点P作，垂足为D，的长y（）与点P的运动时间x（秒）的函数图象，如图2所示．当点P运动5秒时，的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知点D、E分别在的边、上，，，那么等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 二次函数（a为常数）的图象经过点、、．若，则a的取值范围为______． 12. 已知：中，，，点是中点，点、在上，，，连接，，则的长为________． 13. 定义新运算“”，规定：，若关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是________． 14. 如图，点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，作轴，垂足为，连接，则的面积为_______(用含的式子表示)． 15. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）． 16. 如图，正方形的边长为2，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接．给出四种情况：①若G为上任意一点，则；②若，则；③若G为的中点，则四边形是正方形；④若，则．则其中正确的是_____． 三、解答题 17. （1）计算： （2）化简： 18. 为迎接一模考试，云路中学对九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 19. 我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元． （1）求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？ （2）考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过、两点． （1）直接写出不等式的解集：　 　． （2）求反比例函数和一次函数的表达式； （3）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接，求的面积． 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． （1）尺规作图：作出劣弧的中点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接交于F点，连接，求证：； （3）若的半径等于，且与相切于交于点，求阴影部分的面积（结果保留）． 22. 如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与，点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点． （1）探究的形状； （2）求证：； （3）若延长交于点，，求的正切值． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线轴于点D．交于点E．过点P作的平行线，交y轴于点M． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）在点P的运动过程中，求使四边形为菱形时，m的值； （3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $