专题11：几何法求线面角【13个核心题型】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题11：几何法求线面角】 总览 题型梳理 【核心知识梳理】 （一）线面角的定义（本质） 直线与平面所成的角（简称线面角），是指直线与它在这个平面内的射影所成的锐角或直角 关键结论：1.线面角θ的取值范围：θ∈[0°, 90°]；2.若直线⊥平面，线面角=90°；3.若直线∥平面或直线在平面内，线面角=0° （二）几何法求线面角的核心逻辑 核心三步（网络名师通用模板）：①找垂足（过直线上一点作平面的垂线，垂足为O）；②连射影（连接垂足O与直线和平面的交点A，AO即为直线在平面内的射影）；③找夹角（∠PAO即为直线PA与平面所成的角，其中P为直线上异于A的点） 核心公式：（θ为线面角，h为点到平面的距离，l为直线的斜线长），可快速验证计算结果 （三）必备辅助线技巧 1.找垂线：优先找几何体中已有的垂直关系（如长方体的侧棱⊥底面、正棱锥的高⊥底面、圆柱的高⊥底面、球的半径垂直于切面）；2.作垂线：无现成垂线时，过直线上一点作平面内两条相交直线的垂线（或利用面面垂直的性质作垂线）；3.连射影：必连“垂足→直线与平面的交点”，形成直角三角形（Rt△PAO），其中∠POA=90° （四）等体积法（核心补充，求h专用） 1.核心用途：当无法直接构造垂线求点到平面的距离h时，用等体积法间接求解h，再代入求线面角 2.核心原理：同一几何体（如三棱锥），以不同面为底面，体积相等，即（S为底面积，h为对应底面的高），通过体积相等列方程求解h 3.常考场景：三棱锥、四棱锥中，无法直接作垂线，底面为直角三角形、正三角形（底面积易求） 4.解题关键：选择合适的底面和高，确保底面积和对应高易计算，避免复杂运算 （五）与球相关的核心补充 1.核心性质：球的半径垂直于球的切面（即球心O到切面α的垂线为球的半径R，垂足为切面内的点P，则OP⊥α） 2.常用公式：设球的半径为R，点到切面的距离为d，则d≤R（当且仅当点为球心时，d=0）；若直线与切面所成角为θ，则（l为直线到球心的相关斜线长） 3.常考场景：球的内接几何体（内接长方体、内接正棱锥、内接圆柱）中，求直线与几何体某个面或球切面所成的角 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正方体/长方体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.正方体棱长为a，常见线面角：①体对角线与底面所成角：（）；②面对角线与底面所成角：（）；③侧棱与底面所成角：90° 解题模板 1.确定直线与平面的交点A；2.找/作平面的垂线（长方体侧棱即为垂线，垂足为底面顶点）；3.连射影，构造Rt△PAO；4.用（h为垂线长，l为斜线长）求角；5.等体积法验证：以三棱锥为载体，计算h，核对结果 易错点 混淆“斜线长”与“射影长”，斜线长是直线本身的长度（如A₁C），射影长是斜线在平面内的投影长度（如AC），公式用的是斜线长，不是射影长 （2026·江西·三模）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图， 且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由 ，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. （2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.小试牛刀1 (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在符合题意的点， 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； （3）利用等体积法将体积比转化为对应三角形面积比，结合另一组同高棱锥的体积比等于底边长之比，从而求出线段的长度，确定满足条件的点. 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为； （3）假设存在点满足条件，记到平面的距离到平面的距离， 则，由（1）（2）知， ，故；则， 另一方面， 故，综上所述，存在符合题意的点，. 【点睛】本题以长方体为载体，先通过菱形性质与线面垂直判定证明线线垂直，再利用面面垂直确定线面角，最后结合等体积法与线段比例关系探究存在性问题，核心是立体几何中垂直关系的转化与体积比的代数化处理. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体.小试牛刀2 (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 【题型2：正棱柱中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.正棱柱定义：侧棱⊥底面，底面为正多边形；2.核心特征：侧棱即为平面的垂线，线面角的直角三角形中，直角边为侧棱长（h）和底面正多边形的外接圆半径（r），斜边为斜线长 2.常考结论：正三棱柱中，侧棱为h，底面边长为a，底面外接圆半径，线面角θ满足 解题模板 1.确定直线与底面的交点；2.利用侧棱⊥底面，确定垂足（侧棱与底面的交点）；3.连射影（底面内的线段，即斜线在底面的投影）；4.结合正多边形性质求射影长，再用求角；5.等体积法辅助验证h的正确性 秒杀结论 正棱柱中，线面角的正弦值=侧棱长/斜线长，余弦值=射影长/斜线长，可快速口算 （25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）在直三棱柱中，为中点，则（    ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则平面 C．若，则与平面所成角的大小为 D．若，则点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】连接，由线面垂直的判定定理证明平面可判断A；由图可得B错误；利用垂直关系找到是与平面所成角可判断C；利用等体积可得D. 【详解】对于A选项：连接， 在直三棱柱中，，所以， 易知，平面， 因此平面，则，故A选项正确；    对于B选项：由图显然可得不垂直，故B选项错误； 对于C选项：在直三棱柱中，平面是在平面内的射影， 故是与平面所成角， 由题意知，则，故C选项错误； 对于D选项：由题意得平面 平面 所以 又因为，即， 故，D选项正确. 故选：AD. （25-26高三上·海南海口·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱柱的性质可得，取的中点E，连接，利用四棱锥的体积即可求出三棱柱的棱长，进而即可求解. 【详解】    由正三棱柱的性质知平面， 即为直线与平面所成的角，故， 为等腰直角三角形， ． 如图，取的中点E，连接，则． 又平面，平面， ． ，且，平面， 平面 ． 设正三棱柱的棱长为， ， ，解得． 设正三棱柱的外接球球心为，半径为， ，的外接圆圆心分别为，，连接， 则为 中点，易知．在中，， ， 该三棱柱的外接球的表面积． 故选：C． （25-26高三上·江苏淮安·月考）在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用几何法作出线面角，再在直角三角形中根据直角边与斜边的长度关系求解即可. 【详解】因为平面平面， 所以直线与平面所成角即直线C1D与平面所成角. 在正三棱柱中，有平面，即平面， 故即直线C1D与平面所成角. 平面，平面， . 又因为由题可知， 故，则. 故选：D. 【题型3：圆柱中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.圆柱定义：母线⊥底面，底面为圆，母线长=高h，底面半径为r；2.核心特征：母线即为平面的垂线，圆柱的轴、母线均垂直于底面，线面角多围绕母线、轴、底面圆的切线展开 3.常考结论：①母线与底面所成角=90°；②圆柱的轴与底面所成角=90° 解题模板 1.确定直线与底面的交点；2.利用圆柱母线⊥底面，确定垂足（母线与底面的交点）；3.连射影（底面内的线段，多为底面圆的半径）；4.构造Rt△PAO，其中h=母线长，l=斜线长；5.代入求角 易错点 误将圆柱底面圆的直径当作射影长，射影长应为底面圆的半径（斜线与底面交点为圆周上点时） （25-26高二上·上海·月考）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求：经典例题1例题 (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用棱柱的体积公式和棱柱的侧面积公式计算即可； （2）利用线面垂直，证明线面角，然后计算正弦值即可． 【详解】（1）， 由，，可得， 所以． （2） 由为的中点，，可得， 又因为平面，平面，所以， 又因为平面，所以平面， 即就是直线与平面所成角， 又因为，所以， 故直线与平面所成角的正弦值为. （24-25高一下·山东聊城·期末）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆柱母线的概念，得到，再根据线面平行的判定定理证明平面. （2）先根据条件，确定圆柱的母线长与底面半径的关系，再确定直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求角的正切值. 【详解】（1）因为，是圆柱的两条母线， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以， 又因为是圆柱的一条母线，所以底面， 而底面，所以. 因为平面，平面，且， 所以平面. 又由（1）知，所以平面 所以为直线与平面所成的角. 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l， 因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以，得， 又Ｃ为弧的中点，所以， 所以在中， 在中， 所以直线与平面所成角的正切值为. （24-25高一下·广西来宾·期末）如图所示，平面为圆柱的轴截面，C为底面圆周上异于A，B的任意一点.D为的中点.小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)若C为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，求证四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可； （2）在中计算即可. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为的中点，则在中，，且， 又在圆柱中，，且， 则，，故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2）容易知，平面，则直线与平面所成角为， 因C为的中点，故不妨设，则， 则在中，，则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【题型4：圆锥中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.圆锥定义：顶点在底面的投影为底面圆心，母线长为l，底面半径为r，高为；2.核心特征：圆锥的高⊥底面，线面角多围绕母线、高展开 3.常考结论：①圆锥的高与底面所成角=90°；②母线与底面所成角θ，， 解题模板 1.确定直线与底面的交点（母线与底面交点为底面圆周上点，高与底面交点为底面圆心）；2.利用圆锥的高⊥底面，确定垂足（底面圆心）；3.连射影（底面圆的半径）；4.构造Rt△PAO，其中h=圆锥的高，l=母线长；5.代入求角 秒杀结论 圆锥母线与底面所成角的正弦值=圆锥的高/母线长，与底面半径无关，可快速口算 （24-25高一下·重庆·期末）如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点.经典例题1例题 (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线性质得，利用线面平行判定定理证明 平面； （2）先求出三棱锥的体积，然后求出的面积，设点与平面的距离为，利用等体积法求得，设直线与平面所成角为，利用求解即可． 【详解】（1）因为为的中点，为的中点，所以， 因为平面， 平面，所以 平面； （2）平面，因为，所以， 又，， 则，故， 所以， 又，，则在中，边上的高为，，设点与平面的距离为， 因为，所以，所以， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. （2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，且，为弧的中点，为母线的中点，则（   ）小试牛刀1 A．直线与所成角的余弦值为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．直线与平面所成角的正切值为 【答案】BD 【分析】由几何法通过平移找到线线角，通过线面垂直找到线面角，解直角三角形得到答案. 【详解】取的中点，连接，取的中点，连接，如图， 因为为弧的中点，所以， 因为分别是的中点，所以， 所以直线与所成角为与所成的角，即， ，， ，，， 所以在中，，A错误； 因为分别是的中点，所以， 则直线与所成的角为与所成的角，即， 因为平面，所以平面，由A得，，，， 所以，在中，，B正确； 由B知，因为平面，所以直线与平面所成的角为， 所以在中，C错误； 因为，面，面，所以面， 又因为，所以面， 所以直线与平面所成角即为直线与直线所成的角，即， ，，所以，在中，，D正确． 故选：BD. （25-26高二上·海南海口·期中）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为，若的面积为 则该圆锥的底面积为__________小试牛刀2 【答案】 【分析】首先根据的面积公式求母线长，再根据线面角公式求圆锥底面的半径，再求面积. 【详解】由条件可知，，则， 所以的面积为，则， 因为与圆锥底面所成角为，所以圆锥底面半径为， 所以该圆锥的底面面积为. 故答案为： 【题型5：球内接规则几何体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.常考模型：球内接长方体、球内接正三棱柱、球内接圆锥，核心利用球的半径与几何体的边长、高的关系 2.核心公式：①球内接长方体：球的直径=长方体体对角线，即（a,b,c为长方体长宽高，R为球半径）；②球内接正三棱柱：球心为上下底面中心连线的中点，（r为底面正三角形外接圆半径，h为棱柱高）；③球内接圆锥：球心在圆锥的高上，（h为圆锥高，r为底面半径） 3.常考结论：球内接几何体中，直线与底面所成角，优先利用几何体自身垂直关系（侧棱、高），结合球的半径验证 解题模板 1.确定球的半径R与几何体的边长、高的关系，利用公式求出R；2.确定目标直线与平面的交点，找/作平面的垂线（几何体的侧棱、高或球的半径）；3.连射影，构造Rt△PAO；4.代入求角；5.结合球的性质验证结果（如点到平面的距离≤R） 易错点 混淆球内接几何体的球心位置，如球内接圆锥的球心可能在圆锥内部或外部，需结合h与R的大小判断 （25-26高三上·天津河东·期中）已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，得到 ，进而求得四面体的体积. 【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为， 因为球O的表面积为，所以， 设，即正的边长为， 取中点，连接，作， 根据正三棱锥的性质可知球心O在上， 如下图所示： 根据线面角的定义知，则， 因为，， 所以， 在中，， 所以， 解得或，即，, 四面体的体积 故选：C. （25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． （24-25高二下·江苏连云港·期末）已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由题意证明出两两互相垂直，由题意可知四面体ABCD的外接球即为正方体的外接球，求解外接球的半径即可. 【详解】因为，，，所以， 如图所示： 取的中点，连接，则，，， 所以平面，作于，又平面， 平面，则，， 所以 平面，则是直线与平面所成角， 即，在直角三角形中， . 则 ，，则，故. 所以两两互相垂直，四面体的外接球的半径. 故答案为： 【B·能力提升题型】 【题型1：利用面面垂直构造垂线求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：面面垂直的性质定理——若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 2.常考场景：三棱锥中，一个面为直角三角形，且与另一个面垂直；四棱锥中，底面为矩形，侧面与底面垂直；台体中，侧面与底面垂直；球内接几何体中，两个面垂直 3.关键结论：构造的垂线即为点到平面的距离h，斜线长为直线本身长度，直接套用即可 解题模板 1.确定两个垂直平面的交线l；2.在一个平面内作交线l的垂线，垂足为O，该垂线即为另一个平面的垂线（h）；3.确定直线与平面的交点A，连射影AO；4.构造Rt△PAO，确定线面角∠PAO；5.计算h和l，代入公式求角；6.复杂场景可用等体积法验证h 易错点 1.构造垂线时，必须保证垂线在其中一个垂直平面内，且垂直于交线，否则垂线不成立；2.忘记验证线面垂直，直接当作垂线使用，导致角度计算错误 （22-23高二上·黑龙江·月考）在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________.经典例题1例题 【答案】 【分析】作图后由线面角，二面角的定义，三棱锥的体积公式求解 【详解】由平面，，则即为二面角的平面角， 而，平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角， ，，则，， ，得， 故，， 故答案为：    （25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为．小试牛刀1 (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． （24-25高一下·江苏·期末）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．小试牛刀2    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平面平面，引用面面垂直的性质定理，得平面，再根据线面垂直的性质，得到； （2）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理得平面，最后利用线面平行性质定理得到； （3）由二面角的定义知是二面角的平面角，由此可设再由面面垂直的判定定理可知平面，所以即为与底面所成角，求解即可. 【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面， 所以. （2）取的中点，连接，，    因为点分别为的中点， 所以，且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面 所以. （3）因为平面，平面，所以，又， 是二面角的平面角，所以， 设则，连接，， 因为，平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，所以即为与底面所成角， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以在直角三角形中，. 所以与底面所成角的正弦值为.    【题型2：利用等腰三角形三线合一构造垂线求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：等腰三角形三线合一——等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合，可作为垂线使用 2.常考场景：三棱锥的侧面为等腰三角形，且顶点在底面的投影在等腰三角形的底边上；四棱锥的侧面为等腰三角形，底面为对称图形；台体的侧面为等腰梯形，可利用三线合一构造垂线；球内接棱锥中，侧面为等腰三角形 3.关键结论：等腰三角形底边上的高即为点到平面的垂线（需验证垂直于底面内两条相交直线），射影为底面内的线段 解题模板 1.找到等腰三角形，确定底边和顶点；2.作等腰三角形底边上的高，垂足为O；3.验证该高垂直于底面内两条相交直线，确定其为平面的垂线（h）；4.连射影AO，构造Rt△PAO，确定线面角；5.计算h和斜线长l，求角；6.无法验证垂直时，用等体积法求h替代 秒杀结论 若等腰三角形的高同时垂直于底面，则线面角的正弦值=等腰三角形的高/直线斜线长 （25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点.经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合线面垂直的判定定理作出线面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. （25-26高一下·福建莆田·期中）如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． （25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点，小试牛刀2 (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 【题型3：台体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.台体定义：由棱锥截得，上下底面平行，侧面为等腰梯形（正台体），正台体的高⊥底面，上下底面为相似正多边形 2.核心特征：正台体的高⊥底面，可作为现成垂线，线面角多围绕侧面母线、对角线展开 3.常考结论：正台体的母线与底面所成角θ，，其中母线长（为下底面外接圆半径，为上底面外接圆半径，h为台体高） 解题模板 1.确定直线与底面的交点（母线与底面交点为下底面圆周/顶点）；2.利用正台体的高⊥底面，确定垂足（下底面中心）；3.连射影（下底面内的线段，为下底面外接圆半径与上底面外接圆半径的差值相关线段）；4.构造Rt△PAO，其中h=台体的高，l=母线长；5.代入求角 易错点 混淆台体的母线长与高，母线长是侧面等腰梯形的腰长，不是台体的高，需用勾股定理计算母线长 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ）经典例题1例题 A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. （25-26高三下·上海虹口·月考）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，，则直线与平面所成角的正弦值为________．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】如图作出辅助线，由正三棱台的性质，结合条件，可得各个长度，根据勾股定理，求出AE的长，结合三角函数的定义，即可得答案. 【详解】分别取上、下底面的中心，设为，连接， 过A作平面，垂足为E， 由正三棱台的性质可得，E在上，如图所示， 则四边形为矩形，且， 又，则， 所以， 在中，， 则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）计算，根据勾股定理得到，然后依据三棱台的体积得到为三棱台的高，可得，最后判断得到平面 （2）利用图形，得到为与平面所成角，然后分别计算，最后计算即可. 【详解】（1）∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°， 由余弦定理得， ∵， ∴． 同理，在三棱台中，，， ∵， ∴，∴， ∴，， 设三棱台的高为， 由，解得h=2． 又∵，故为三棱台的高， ∴平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴，，，平面， ∴平面， 又， ∴平面． （2）如图，过点C作于点H， 由（1）知平面，平面， ∴，， ∴平面． 连接，则为与平面所成角，记为θ， ∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴． 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 【题型4：等体积法求h，间接求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.适用场景：无法直接构造垂线（如三棱锥的顶点在底面的投影无法确定），底面为直角三角形、正三角形、矩形（底面积易计算） 2.核心步骤：①确定目标点到目标平面的距离h（即线面角公式中的h）；②选择合适的底面和高，计算几何体体积；③利用体积相等列方程，求解h；④代入求线面角 3.常考模型：三棱锥P-ABC，求直线PA与平面ABC所成角，无法作PO⊥平面ABC时，用，求解PO=h 解题模板（名师通用版） 1.确定目标直线与目标平面，明确需要求的h（点到平面的距离）；2.构造合适的三棱锥，确定两个不同的底面和对应高；3.计算两个底面的面积、，以及对应高、；4.由，列方程求解h（目标距离）；5.确定斜线长l，代入求线面角 易错点 1.选择的底面和高不合理，导致底面积或高难以计算；2.忘记体积公式中的，导致h计算错误；3.混淆目标h与其他高，代入公式时出错 （24-25高二下·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．经典例题1例题 (1)求证：∥平面ABC； (2)求直线AC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，可证∥，即可得线面平行； （2）根据平行关系可得直线AC与平面所成角即为直线与平面所成角，利用等体积法求点到平面的距离，进而可得线面夹角. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，且， 又因为为的中点，且为平行四边形，则∥，且， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面ABC，平面ABC， 所以∥平面ABC. （2）因为∥，可知直线AC与平面所成角即为直线与平面所成角， 因为平面，平面，则， 且，，平面， 可得平面， 设直线与平面所成角为，点到平面的距离为， 因为，且为的中点， 则，， 又因为，即，解得， 可得， 所以直线AC与平面所成角的正弦值为. （24-25高二下·浙江台州·期末）在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．小试牛刀1 (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，根据线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理即可证明； （2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，根据三棱锥的体积公式求出三棱锥的高，再结合线面角的求法即可求解. 【详解】（1）取中点，连接， 由，， 得，， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （2）设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则四面体的体积为， 由题意有，得， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点.小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)已知： ①求点到平面的距离. ②求直线与平面所成角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②. 【分析】（1）构造线线平行，根据线线平行，证明线面平行. （2）①利用体积法求点到平面的距离；②再求直线与平面所成角的定义，利用，从而得到其余弦值. 【详解】（1）如图： 连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以，又平面，平面， 所以平面. （2）①因为平面，所以是直角三角形， 又为中点，且，所以. 设点到平面的距离为，则. 又因为, 所以 . 因为平面，平面，所以， 又底面为正方形，所以，平面，， 所以平面. 又平面，所以.所以为直角三角形. 中，，，. 因为，所以为直角三角形，所以. 所以.即点到平面的距离为. ②， 设直线与平面所成的角为， 则， 则. 【题型5：线面角的基础最值问题（定平面+动直线）】 【练方法】 知识梳理 1.核心场景：平面固定，直线绕平面内某点旋转或沿某条线段移动，求直线与该平面所成角的最大值或最小值 2.核心原理：由可知，θ的大小由h（点到平面的距离）和l（斜线长）决定；h固定时，l越小，越大，θ越大；l固定时，h越大，越大，θ越大 3.常考结论：①定平面内，过定点的直线与平面所成角的最大值为90°（直线⊥平面），最小值为0°（直线∥平面或在平面内）；②直线绕定点旋转时，线面角的最大值出现在直线与平面垂直时，最小值出现在直线与平面平行时 解题模板 1.确定固定平面和动直线的运动轨迹（如旋转、平移）；2.分析h和l的变化规律（固定其中一个，判断另一个的变化）；3.结合，判断θ的增减性；4.确定h和l的极值，求出θ的最大值或最小值；5.验证极值是否符合线面角的取值范围（θ∈[0°, 90°]） 易错点 混淆θ与的增减关系，θ∈[0°, 90°]时，随θ的增大而增大，可通过的极值间接求θ的极值 （25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时， 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）由已知，结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解． 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面，， 四边形为菱形，， ，平面， 平面． （2）由题意可得,与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ，， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为． （3）设直线与平面所成的角为， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离， 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时， 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4等份点处，此时，． （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形.小试牛刀1 (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论., 【详解】（1）∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . （24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，.小试牛刀2 (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）取中点，利用线面平行的性质，结合已知证得四边形为平行四边形即可. （2）利用等体积法求出点D到平面的距离. （3）利用线面角的正弦公式列出函数关系，再确定角取最大的条件即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由点M为PB的中点， 得，点在菱形边上，则， 平面平面，而平面，平面， 因此，四边形为平行四边形，， 所以. （2）在菱形中，，则，由平面， 平面，得，， ，， ，设点D到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点D到平面的距离为. （3）设直线PE与平面所成的角为，由，平面，平面， 得平面，则点到平面的距离等于点D到平面的距离， 因此，函数对锐角是递增的，要使最大，当且仅当最小，即， 而平面，平面，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， ，， 所以当时，直线PE与平面所成的角最大. 【C·拓展培优题型】 【题型1：折叠问题中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心要点：折叠前后，不变的垂直关系和线段长度可作为构造垂线的依据，折叠后新的垂直关系需重新证明 2.常考场景：平面图形折叠成空间几何体（如矩形折叠成三棱锥、三角形折叠成三棱锥），求折叠后某条直线与某个平面所成的角，常需用等体积法求h 3.关键结论：折叠前后，垂直于折叠线的线段，折叠后仍垂直于折叠线，可作为构造垂线的突破口 解题模板 1.分析折叠前后的不变量（线段长度、垂直关系）和变量（空间位置关系）；2.利用不变的垂直关系，构造平面的垂线（如垂直于折叠线的线段）；3.验证垂线成立，确定垂足和射影；4.无法构造垂线时，用等体积法求h；5.构造Rt△PAO，确定线面角；6.结合折叠前后的线段长度，计算h和l，求角 易错点 1.混淆折叠前后的垂直关系，误将折叠前的非垂直关系当作折叠后的垂直关系；2.忽略折叠后线段长度的变化，导致h和l计算错误；3.等体积法中，底面积或高未结合折叠后的位置关系计算 （2025高三·全国·专题练习）如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.求与平面所成角的正弦值经典例题1例题    . 【答案】 【分析】作，垂足为，根据线面垂直的判定定理证明平面PEF进而证明平面ABFD，然后证明，设，求出所需线段长度，根据定义可得. 【详解】作，垂足为，    因为四边形为正方形，点，分别为，的中点，所以， 又因为，、平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF，因为平面PEF，所以， 因为，，，EF、BF平面ABFD，平面ABFD， 所以平面ABFD，所以即为与平面所成角， 因为平面PEF，，所以平面PEF，则. 不妨设，则，从而，又，，故. 于是，. （24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m．小试牛刀1 (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）先证明平面，再结合线面平行的性质求证即可； （2）过点P作于点M，连接EM，先证明平面BCFE，可得为直线PE与平面BCFE所成的角，进而求解即可. 【详解】（1）由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.小试牛刀2 (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角的概念确定所求角，解三角形求结论； （2）提出猜测，再结合线面平行判定定理证明猜测，由此确定结论. 【详解】（1）如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为 ，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. （2）猜测当点为的中点时， 平面， 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. 【题型2：复杂几何体（斜棱柱、多面体、组合体）中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心思路：将复杂几何体分解为简单几何体（如三棱锥、长方体、圆柱、圆锥、球），利用简单几何体的垂直关系构造垂线，或用等体积法求h 2.常考场景：斜棱柱中，过顶点作底面的垂线；复杂多面体中，截取含线面角的三棱锥，单独分析；组合体（圆柱+圆锥、棱锥+台体、球+棱锥）中，利用各几何体的垂直关系综合求解 3.关键结论：复杂几何体的线面角，本质是简单几何体中线面角的延伸，核心仍是“找垂足、连射影、求角”，等体积法是重要辅助手段 解题模板 1.分解复杂几何体，截取含目标直线和平面的简单几何体（优先三棱锥、圆柱、圆锥、球）；2.在简单几何体中，找/构造平面的垂线，确定垂足；3.无法构造垂线时，用等体积法求h；4.连射影，构造Rt△PAO，确定线面角；5.结合几何体的边长、角度关系，计算h和l，求角；6.验证线面角的取值范围，确保结果合理 秒杀结论 复杂几何体中，可通过作底面的垂线，将斜棱柱转化为直棱柱、将复杂棱锥转化为直角三棱锥，线面角不变，简化计算；组合体中，优先分析各简单几何体的垂直关系，再综合求解 （2025高三·全国·专题练习）（多选）在直角梯形中，，，，，，在上，在上，．将沿直线翻折至的位置，将四边形沿翻折至四边形的位置，使，则（    ）经典例题1例题 A．与所成的角为 B．平面平面 C．直线与平面所成的角为 D．四棱锥的体积为1 【答案】BCD 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断选项A；先根据线面平行的判定定理证得：平面和平面，再根据面面平行的判定定理可判断选项B；先根据因平面平面得出：直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，再利用线面垂直的判定定理和性质定理得出：平面，即为所求角，计算得出，可判断选项C；先过点作于点，再利用线面垂直的判定定理和性质定理得出为四棱锥的高，最后利用锥体的体积公式计算可判断选项D. 【详解】因为在直角梯形中，，，， ． 所以，，，四边形为矩形. 对于选项A，依题意可得，则，所以为与所成的角． 在中，，，， 所以，即与所成的角为，故选项A错误； 对于选项B，因为，平面，平面，所以平面． 又因为，平面，平面，所以平面． 又因为，，平面，所以平面平面，故选项B正确． 对于选项C，因为平面平面， 所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角． 由题意可得，，，所以平面． 又因为平面，所以．又因为，，， 由余弦定理可得：， 则为直角三角形，.因为，，， 由余弦定理可得：， 则为直角三角形，.所以四边形为矩形，则. 又因为，，平面，所以平面， 所以即为所求角．由，，得， 则直线与平面所成的角为，故选项C正确； 对于选项D：如图 过点作于点．因为平面，平面， 所以．又因为，，平面， 所以平面，则为四棱锥的高． 又因为在直角中，有，得. 则四棱锥的体积，故选项D正确． 故选：BCD． （2025·河北沧州·模拟预测）（多选）如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则（   ）小试牛刀1    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作于，证明线面垂直，确定图中对应的角，再在直角三角形中利用边角关系求解判断. 【详解】依题意，平面，平面，则，作于， 连，因平面，于是平面， 而平面，则，故是二面角的平面角， ， ， 因此，， ，， ，， 所以，，AD正确，BC错误.    故选：AD （23-24高一下·山东青岛·期末）（多选）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ）小试牛刀2 A．该几何体的体积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．异面直线与的夹角余弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 【答案】ABD 【分析】对于A，根据长方体和棱锥的体积公式求解判断，对于B，连接交于，连接，则可得为直线与平面所成角，然后求解判断，对于C，由于∥，则可得的补角为异面直线与的夹角，然后在中求解判断，对于D，先求出长方体的外接球半径，然后判断点是否在该球上即可. 【详解】对于A，该几何体的体积为，所以A正确， 对于B，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥， 所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正方形的边长为1，所以， 所以，所以B正确， 对于C，设，因为∥，所以或其补角为异面直线与的夹角， ，， 所以， 所以异面直线与的夹角余弦值为，所以C错误， 对于D，设长方体的外接球的球心为，半径为， 则为的中点，，得， 因为， 所以点长方体的外接球上， 所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D正确. 故选：ABD 【题型3：球相关复杂线面角问题】 【练方法】 知识梳理 1.常考场景：球的切面与直线所成角、球内接复杂棱锥（三棱锥、四棱锥）中直线与平面所成角、球面上动点与平面所成角 2.核心公式：①球的切面与直线所成角θ：（d为球心到直线的距离，l为直线到切面垂足的斜线长）；②球内接复杂棱锥：利用球的半径R，结合等体积法求h，再代入；③球面上动点P到平面α的距离h，h的最大值=R+d（d为球心到平面α的距离），最小值=|R-d| 解题模板 1.确定球的半径R、球心位置，以及目标直线和平面；2.利用球的性质（半径⊥切面、球心到平面的距离d≤R）构造垂线；3.复杂场景用等体积法求h，结合球的半径验证h的取值范围；4.连射影，构造Rt△PAO，确定线面角；5.计算h和l，代入公式求角 易错点 1.忽略球心到平面的距离d与球半径R的关系，导致h的计算错误；2.球面上动点到平面的距离最值，未结合球心到平面的距离求解 （25-26高二上·湖北武汉·月考）在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若是的外接圆圆心，根据已知确定的外接球球心为，作平面于，求得，再由等体积法求得，求线面角的正弦值，进而求其余弦值. 【详解】由题设，若是的外接圆圆心，，，， 所以的外接圆半径， 又四面体的外接球半径为， 所以的外接球球心与的外接圆圆心重合，即为，      作平面于，且是边长为2的等边三角形， 又是的球心，则为的中心， 故，而，则， 由是边长为2的等边三角形，且， 易知到平面的距离， 由，故直线AN与平面ABD所成角正弦值为，故余弦值为. 故选：B （24-25高一下·江苏泰州·期末）（多选）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ）小试牛刀1 A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 【答案】ACD 【分析】由题易知两球有唯一公切线即可判断A选项，根据确定的平面与球相切，可得平面，，接着可得到外接圆半径为，利用正弦定理可求得到B选项，就是直线与平面所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由外接圆半径为及，可计算，再得到，然后利用体积公式可算体积. 【详解】 因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. （23-24高一下·云南昭通·月考）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______．小试牛刀2 【答案】 1 【分析】由题可证平面，若平面，则l与平面所成的角为0，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S，可得为在平面内的射影，为直线l与平面所成的角，求出的范围，得解. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 将四棱锥补形成长方体，则四棱锥的外接球即为长方体的外接球， 可得四棱锥的外接球的球心O为的中点，∴， 连接，，交点为Q，因为底面为正方形，所以， 又平面，且平面，所以， 又，平面，平面，所以平面，即平面， 若平面，则l与平面所成的角为0． 如图，若过B的直线l与平面相交于点R，在平面中，过B作直线，与平面相交于点为S， 因为平面，且平面，所以， 又，，且，，平面，所以平面， 故过B且与垂直的直线与平面的交点的轨迹为直线，又平面，所以， 又，且，所以平面，又平面， 所以，又平面，所以为在平面内的射影， 即为直线l与平面所成的角，且， 在中，，，由射影定理求得 ， 而，当且仅当重合时，等号成立， 故，∴． 综上，直线l与平面所成夹角的取值范围为. 故答案为：1；. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中计算. 【详解】由已知，，又平面， 所以平面，所以是PB与平面ABCD所成角， 平面ABCD，则， 由题意，，所以， 所以， 故选：D. 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质即可求解． 【详解】连接交于点，连接， 由正四棱锥的性质可知，平面， 所以直线与平面所成角为， 又因为为正方形，， 所以， 则， 在中，， 故选：B． 4．（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为 ，， 所以，则， 因为，取的中点，所以， ， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：C. 5．（2025·上海虹口·一模）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 【答案】D 【分析】设球的半径为，求得，证得平面，得到 ，得到，进而得到，把异面直线和所成角转化为直线和所成角，可判定A不正确；作，证得平面，得到即为直线与平面所成角，可判定B不正确；在直角中，求得，结合二倍角公式，可得判定C不正确；结合面积公式，可判定D正确. 【详解】设球的半径为，因为球的表面积为，可得，可得， 因为和分别为的中点，所以，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以 ， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，可得， 对于A，由，可得异面直线和所成角，即为直线和所成角， 因为，所以异面直线和所成角的大小为，所以A不正确； 对于B，过点作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角中，，可得，则， 所以，所以B不正确； 对于C，在直角中，，可得， 所以，则， 所以，所以C不正确； 对于D，由的面积为，所以D正确. 故选：D. 6．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件结合线面角的定义求，再利用等体积法求点到平面的距离. 【详解】连接交于，连接， 、 因为平面，所以与平面所成角为， 所以，则， 可得， 由长方体中，，得：平面， 所以， 在中，边长 ，， 得 ， 则 ， 设点 到平面 的距离为 ， 则体积 ， 由，得， 解得： . 故选：A 二、多选题 7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面角的定义判断各项的正误. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错； 由，且平面，平面，则，故，B对； 由平面，平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成角为，且，故 ，C对； 由平面，则与平面所成角为，D对. 故选：BCD 8．（25-26高二上·广东肇庆·期中）正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ABC 【分析】A用等体积法求体积判断；B作出截面图形可判断；C当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球可判断；D把问题转化为线段最值问题即可． 【详解】A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又， 平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 故到平面的距离为，故三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为定值，正确； B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，正确； C：当点和重合时，三棱锥的外接球，即为正方体的外接球， 故外接球的半径为，故外接球的体积为，正确； D：设点到平面的距离为，由， 又，则， 知点到平面的距离， 当在线段上运动时，， 当为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，错误； 故选：ABC 三、填空题 9．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】利用正三棱台补形为正三棱锥，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而可得正四面体，再利用正四面体来求线面角即可. 【详解】 如图添加辅助线，由于，所以分别为的中点， 又因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又因为，且，所以且， 即四边形是平行四边形，又因为， 所以四边形是菱形，即， 又因为，，所以， 即可得， 即四面体是正四面体，取为的中点， 所以可得 又因为平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面， 即直线与平面所成角为， 设正四面体的棱长为， 则， 故答案为： 10．（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【分析】连接，由平面，得到为与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 11．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 【答案】/ 【分析】由题设利用求出点D到平面的距离为d，即可由线面角定义计算得解. 【详解】由题意可得点Q到平面的距离为2，， 且，即， 所以正四棱锥的侧棱长为， 所以，由正四棱锥结构特征可得，则， 所以， 设点D到平面的距离为d， 由，得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：.    四、解答题 12．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是以PA为斜边的等腰直角三角形，是以PC为斜边的等腰直角三角形，F、G、H分别是PB、CD、PA的中点． (1)求证：平面 (2)求直线PB与平面ABCD所成角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以 ，从而证明线面平行； （2）证明线面垂直，所以直线PB与平面ABCD所成角即为，并求出各边长，求出，即直线PB与平面ABCD所成角. 【详解】（1）连接， 因为为中点，为的中点，所以 ，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以 ，且， 所以 ，且，所以四边形为平行四边形， 所以 ， 因为平面平面， 所以 平面； （2）连接，由题，，且平面，， 所以平面， 所以直线在平面内的射影为直线， 所以直线PB与平面ABCD所成角即为， 在菱形ABCD中，，所以， 在中，， 所以在中，，所以该三角形为一个等腰直角三角形， 所以，即直线PB与平面ABCD所成角. 13．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 14．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）说明为直线与平面所成的角，再结合解直角三角形知识即可求解. 【详解】（1）因为，E为线段的中点，所以， 又底面，底面为正方形， 所以，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，，平面， 所以平面； （2）由（1）知，平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角为. 15．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等体积法求出距离. （2）根据给定条件，利用公式法求出线面角的正弦. 【详解】（1）由，，得，， 设点到平面的距离为，， 由，得，即，解得， 所以点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而点到平面的距离为2， 所以与平面所成角的正弦值为. 16．（22-23高一·全国·暑假作业）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）先判断出当平面时，四棱锥的体积取最大值；然后结合线面垂直的判定定理以及线面平行的性质定理证得平面. （2）判断出与平面所成角，根据所成角的正弦值列方程，结合余弦定理求得. 【详解】（1）过点在平面内作，垂足为点， ，，，则平面， 平面，， ，，平面， 平面，则， 故当平面时，四棱锥的体积取最大值， ，，，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，所以，， 平面，平面，平面， 因为平面，平面平面，，因此，平面. （2）因为平面，与平面所成角为， 因为平面，， 所以，，解得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，，解得或. 因此，在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且或. 17．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明平面平面即可证明平面. （2）设，先利用已知条件结合等体积法求出点F到平面的距离，则可由与平面所成角的正弦值求出，进而得解. 【详解】（1）如图，连接、、、、， 由直棱柱性质且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； 又由直棱柱性质有且，且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面， 因为，、平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. （2）因为， 所以，，， 设，则，所以， 由（1）可知点F到平面的距离是一个定值，将其设为， 由直棱柱性质平面，平面，故， 又，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以， ， 又，所以. 所以与平面所成角的正弦值为即， 所以即，故. 18．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由线面平行的判定定理证明；法二：由面面平行的性质证明； （2）过作交的延长线于点，连接，再根据线面角的定义，作出线面角的平面角，利用边角关系即可求解． 【详解】（1）法一：由题意可知，， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． 法二：因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， ，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）过作交的延长线于点，连接， 因为平面平面，且交线为，平面， 所以平面， 所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为， 因为，所以， 在中，， 在中，，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值为． 19．（20-21高二上·天津西青·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平面PAB，证明，结合等腰三角形中，即可证明平面ANMD，由线面垂直性质得； （2）关键在于找到BD与平面ANMD所成的角，由（1）知平面ANMD，且，所以为BD与平面ANMD所成角，进而结合边长可求其余弦值； （3）C到平面PBD的距离就是三棱锥的高，使用等体积法将转化到，即可求解. 【详解】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，，且两直线在平面内，所以平面PAB， 因为平面PAB，所以， 因为，且N为PB中点，所以， 又因为，所以平面ANMD， 又因为平面ANMD，所以． （2）连接DN，因为平面ANMD，，所以为BD与平面ANMD所成角， 又因为且，N为PB中点，所以， 所以，即， 又因为且，所以， 所以， 所以BD与平面ANMD所成角的余弦值为． （3）由已知得，，， ， 设点C到平面PBD的距离h， 则． 由，即，解得，即点C到平面PBD的距离为． 20．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)与不垂直，理由见解析 (2)． (3) 【分析】（1）假设，得到线面垂直，，由三角形全等得到，于是，与矛盾，得到结论； （2）作出辅助线，证明出线面垂直，为二面角的平面角，设，表达出各边长，利用得到方程，解得，求出，，由勾股定理得到方程，求出； （3）作出辅助线，由（2）知平面，设，则点E到平面的距离，又，设与平面所成角的大小为θ，则，变形后，利用函数单调性求出取值范围，得到答案. 【详解】（1）直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； （2）设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以 ， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． （3）由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【专题11：几何法求线面角】 总览 题型梳理 【核心知识梳理】 （一）线面角的定义（本质） 直线与平面所成的角（简称线面角），是指直线与它在这个平面内的射影所成的锐角或直角 关键结论：1.线面角θ的取值范围：θ∈[0°, 90°]；2.若直线⊥平面，线面角=90°；3.若直线∥平面或直线在平面内，线面角=0° （二）几何法求线面角的核心逻辑 核心三步（网络名师通用模板）：①找垂足（过直线上一点作平面的垂线，垂足为O）；②连射影（连接垂足O与直线和平面的交点A，AO即为直线在平面内的射影）；③找夹角（∠PAO即为直线PA与平面所成的角，其中P为直线上异于A的点） 核心公式：（θ为线面角，h为点到平面的距离，l为直线的斜线长），可快速验证计算结果 （三）必备辅助线技巧 1.找垂线：优先找几何体中已有的垂直关系（如长方体的侧棱⊥底面、正棱锥的高⊥底面、圆柱的高⊥底面、球的半径垂直于切面）；2.作垂线：无现成垂线时，过直线上一点作平面内两条相交直线的垂线（或利用面面垂直的性质作垂线）；3.连射影：必连“垂足→直线与平面的交点”，形成直角三角形（Rt△PAO），其中∠POA=90° （四）等体积法（核心补充，求h专用） 1.核心用途：当无法直接构造垂线求点到平面的距离h时，用等体积法间接求解h，再代入求线面角 2.核心原理：同一几何体（如三棱锥），以不同面为底面，体积相等，即（S为底面积，h为对应底面的高），通过体积相等列方程求解h 3.常考场景：三棱锥、四棱锥中，无法直接作垂线，底面为直角三角形、正三角形（底面积易求） 4.解题关键：选择合适的底面和高，确保底面积和对应高易计算，避免复杂运算 （五）与球相关的核心补充 1.核心性质：球的半径垂直于球的切面（即球心O到切面α的垂线为球的半径R，垂足为切面内的点P，则OP⊥α） 2.常用公式：设球的半径为R，点到切面的距离为d，则d≤R（当且仅当点为球心时，d=0）；若直线与切面所成角为θ，则（l为直线到球心的相关斜线长） 3.常考场景：球的内接几何体（内接长方体、内接正棱锥、内接圆柱）中，求直线与几何体某个面或球切面所成的角 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正方体/长方体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.正方体棱长为a，常见线面角：①体对角线与底面所成角：（）；②面对角线与底面所成角：（）；③侧棱与底面所成角：90° 解题模板 1.确定直线与平面的交点A；2.找/作平面的垂线（长方体侧棱即为垂线，垂足为底面顶点）；3.连射影，构造Rt△PAO；4.用（h为垂线长，l为斜线长）求角；5.等体积法验证：以三棱锥为载体，计算h，核对结果 易错点 混淆“斜线长”与“射影长”，斜线长是直线本身的长度（如A₁C），射影长是斜线在平面内的投影长度（如AC），公式用的是斜线长，不是射影长 （2026·江西·三模）（多选）在正方体中，下列结论正确的是（    ）经典例题1例题 A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 （2026·重庆·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且.小试牛刀1 (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得到平面的距离与到平面的距离相等？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. （25-26高一下·全国·课堂例题）如图.已知正方体.小试牛刀2 (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【题型2：正棱柱中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.正棱柱定义：侧棱⊥底面，底面为正多边形；2.核心特征：侧棱即为平面的垂线，线面角的直角三角形中，直角边为侧棱长（h）和底面正多边形的外接圆半径（r），斜边为斜线长 2.常考结论：正三棱柱中，侧棱为h，底面边长为a，底面外接圆半径，线面角θ满足 解题模板 1.确定直线与底面的交点；2.利用侧棱⊥底面，确定垂足（侧棱与底面的交点）；3.连射影（底面内的线段，即斜线在底面的投影）；4.结合正多边形性质求射影长，再用求角；5.等体积法辅助验证h的正确性 秒杀结论 正棱柱中，线面角的正弦值=侧棱长/斜线长，余弦值=射影长/斜线长，可快速口算 （25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）在直三棱柱中，为中点，则（    ）经典例题1例题 A．若，则 B．若，则平面 C．若，则与平面所成角的大小为 D．若，则点到平面的距离为 （25-26高三上·海南海口·月考）在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高三上·江苏淮安·月考）在正三棱柱中，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【题型3：圆柱中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.圆柱定义：母线⊥底面，底面为圆，母线长=高h，底面半径为r；2.核心特征：母线即为平面的垂线，圆柱的轴、母线均垂直于底面，线面角多围绕母线、轴、底面圆的切线展开 3.常考结论：①母线与底面所成角=90°；②圆柱的轴与底面所成角=90° 解题模板 1.确定直线与底面的交点；2.利用圆柱母线⊥底面，确定垂足（母线与底面的交点）；3.连射影（底面内的线段，多为底面圆的半径）；4.构造Rt△PAO，其中h=母线长，l=斜线长；5.代入求角 易错点 误将圆柱底面圆的直径当作射影长，射影长应为底面圆的半径（斜线与底面交点为圆周上点时） （25-26高二上·上海·月考）如图，直三棱柱内接于等高的圆柱中，已知，为的中点，求：经典例题1例题 (1)直三棱柱的体积和侧面积； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． （24-25高一下·山东聊城·期末）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，，是圆柱的两条母线.小试牛刀1 (1)证明：平面； (2)若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为弧的中点时，求直线与平面所成角的正切值. （24-25高一下·广西来宾·期末）如图所示，平面为圆柱的轴截面，C为底面圆周上异于A，B的任意一点.D为的中点.小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)若C为的中点，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【题型4：圆锥中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.圆锥定义：顶点在底面的投影为底面圆心，母线长为l，底面半径为r，高为；2.核心特征：圆锥的高⊥底面，线面角多围绕母线、高展开 3.常考结论：①圆锥的高与底面所成角=90°；②母线与底面所成角θ，， 解题模板 1.确定直线与底面的交点（母线与底面交点为底面圆周上点，高与底面交点为底面圆心）；2.利用圆锥的高⊥底面，确定垂足（底面圆心）；3.连射影（底面圆的半径）；4.构造Rt△PAO，其中h=圆锥的高，l=母线长；5.代入求角 秒杀结论 圆锥母线与底面所成角的正弦值=圆锥的高/母线长，与底面半径无关，可快速口算 （24-25高一下·重庆·期末）如图，为圆锥的轴截面，为底面圆的直径，，为底面圆周上一点，且，为的中点.经典例题1例题 (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. （2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，且，为弧的中点，为母线的中点，则（   ）小试牛刀1 A．直线与所成角的余弦值为 B．直线与所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正切值为 D．直线与平面所成角的正切值为 （25-26高二上·海南海口·期中）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为 ，与圆锥底面所成角为，若的面积为 则该圆锥的底面积为__________小试牛刀2 【题型5：球内接规则几何体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.常考模型：球内接长方体、球内接正三棱柱、球内接圆锥，核心利用球的半径与几何体的边长、高的关系 2.核心公式：①球内接长方体：球的直径=长方体体对角线，即（a,b,c为长方体长宽高，R为球半径）；②球内接正三棱柱：球心为上下底面中心连线的中点，（r为底面正三角形外接圆半径，h为棱柱高）；③球内接圆锥：球心在圆锥的高上，（h为圆锥高，r为底面半径） 3.常考结论：球内接几何体中，直线与底面所成角，优先利用几何体自身垂直关系（侧棱、高），结合球的半径验证 解题模板 1.确定球的半径R与几何体的边长、高的关系，利用公式求出R；2.确定目标直线与平面的交点，找/作平面的垂线（几何体的侧棱、高或球的半径）；3.连射影，构造Rt△PAO；4.代入求角；5.结合球的性质验证结果（如点到平面的距离≤R） 易错点 混淆球内接几何体的球心位置，如球内接圆锥的球心可能在圆锥内部或外部，需结合h与R的大小判断 （25-26高三上·天津河东·期中）已知球的表面积为，，，，为球面上四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则四面体的体积为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D．3 （25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二下·江苏连云港·期末）已知四面体ABCD中，，，，且DA与平面ABC所成角的余弦值为，则该四面体外接球的半径为________．小试牛刀2 【B·能力提升题型】 【题型1：利用面面垂直构造垂线求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：面面垂直的性质定理——若两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 2.常考场景：三棱锥中，一个面为直角三角形，且与另一个面垂直；四棱锥中，底面为矩形，侧面与底面垂直；台体中，侧面与底面垂直；球内接几何体中，两个面垂直 3.关键结论：构造的垂线即为点到平面的距离h，斜线长为直线本身长度，直接套用即可 解题模板 1.确定两个垂直平面的交线l；2.在一个平面内作交线l的垂线，垂足为O，该垂线即为另一个平面的垂线（h）；3.确定直线与平面的交点A，连射影AO；4.构造Rt△PAO，确定线面角∠PAO；5.计算h和l，代入公式求角；6.复杂场景可用等体积法验证h 易错点 1.构造垂线时，必须保证垂线在其中一个垂直平面内，且垂直于交线，否则垂线不成立；2.忘记验证线面垂直，直接当作垂线使用，导致角度计算错误 （22-23高二上·黑龙江·月考）在三棱锥中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，若，二面角的大小为60°，三棱锥的体积为，则直线PB与平面PAC所成角的正弦值为___________.经典例题1例题 （25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为．小试牛刀1 (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． （24-25高一下·江苏·期末）如图，在四棱锥中，平面⊥平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．小试牛刀2    (1)求证：； (2)求证：； (3)若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值． 【题型2：利用等腰三角形三线合一构造垂线求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心依据：等腰三角形三线合一——等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线重合，可作为垂线使用 2.常考场景：三棱锥的侧面为等腰三角形，且顶点在底面的投影在等腰三角形的底边上；四棱锥的侧面为等腰三角形，底面为对称图形；台体的侧面为等腰梯形，可利用三线合一构造垂线；球内接棱锥中，侧面为等腰三角形 3.关键结论：等腰三角形底边上的高即为点到平面的垂线（需验证垂直于底面内两条相交直线），射影为底面内的线段 解题模板 1.找到等腰三角形，确定底边和顶点；2.作等腰三角形底边上的高，垂足为O；3.验证该高垂直于底面内两条相交直线，确定其为平面的垂线（h）；4.连射影AO，构造Rt△PAO，确定线面角；5.计算h和斜线长l，求角；6.无法验证垂直时，用等体积法求h替代 秒杀结论 若等腰三角形的高同时垂直于底面，则线面角的正弦值=等腰三角形的高/直线斜线长 （25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点.经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. （25-26高一下·福建莆田·期中）如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点．小试牛刀1 (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． （25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点，小试牛刀2 (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【题型3：台体中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.台体定义：由棱锥截得，上下底面平行，侧面为等腰梯形（正台体），正台体的高⊥底面，上下底面为相似正多边形 2.核心特征：正台体的高⊥底面，可作为现成垂线，线面角多围绕侧面母线、对角线展开 3.常考结论：正台体的母线与底面所成角θ，，其中母线长（为下底面外接圆半径，为上底面外接圆半径，h为台体高） 解题模板 1.确定直线与底面的交点（母线与底面交点为下底面圆周/顶点）；2.利用正台体的高⊥底面，确定垂足（下底面中心）；3.连射影（下底面内的线段，为下底面外接圆半径与上底面外接圆半径的差值相关线段）；4.构造Rt△PAO，其中h=台体的高，l=母线长；5.代入求角 易错点 混淆台体的母线长与高，母线长是侧面等腰梯形的腰长，不是台体的高，需用勾股定理计算母线长 （2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ）经典例题1例题 A． B．112 C． D． （25-26高三下·上海虹口·月考）已知正三棱台的上、下底面的边长分别为和，，则直线与平面所成角的正弦值为________．小试牛刀1 （24-25高一下·湖北咸宁·期末）如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为．小试牛刀2 (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【题型4：等体积法求h，间接求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.适用场景：无法直接构造垂线（如三棱锥的顶点在底面的投影无法确定），底面为直角三角形、正三角形、矩形（底面积易计算） 2.核心步骤：①确定目标点到目标平面的距离h（即线面角公式中的h）；②选择合适的底面和高，计算几何体体积；③利用体积相等列方程，求解h；④代入求线面角 3.常考模型：三棱锥P-ABC，求直线PA与平面ABC所成角，无法作PO⊥平面ABC时，用，求解PO=h 解题模板（名师通用版） 1.确定目标直线与目标平面，明确需要求的h（点到平面的距离）；2.构造合适的三棱锥，确定两个不同的底面和对应高；3.计算两个底面的面积、，以及对应高、；4.由，列方程求解h（目标距离）；5.确定斜线长l，代入求线面角 易错点 1.选择的底面和高不合理，导致底面积或高难以计算；2.忘记体积公式中的，导致h计算错误；3.混淆目标h与其他高，代入公式时出错 （24-25高二下·重庆·期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为，的中点．经典例题1例题 (1)求证：∥平面ABC； (2)求直线AC与平面所成角的正弦值． （24-25高二下·浙江台州·期末）在中，，．若平面外的点和线段上的点，满足，，四面体的体积为．小试牛刀1 (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． （24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，为棱的中点.小试牛刀2 (1)求证：平面； (2)已知： ①求点到平面的距离. ②求直线与平面所成角的余弦值； 【题型5：线面角的基础最值问题（定平面+动直线）】 【练方法】 知识梳理 1.核心场景：平面固定，直线绕平面内某点旋转或沿某条线段移动，求直线与该平面所成角的最大值或最小值 2.核心原理：由可知，θ的大小由h（点到平面的距离）和l（斜线长）决定；h固定时，l越小，越大，θ越大；l固定时，h越大，越大，θ越大 3.常考结论：①定平面内，过定点的直线与平面所成角的最大值为90°（直线⊥平面），最小值为0°（直线∥平面或在平面内）；②直线绕定点旋转时，线面角的最大值出现在直线与平面垂直时，最小值出现在直线与平面平行时 解题模板 1.确定固定平面和动直线的运动轨迹（如旋转、平移）；2.分析h和l的变化规律（固定其中一个，判断另一个的变化）；3.结合，判断θ的增减性；4.确定h和l的极值，求出θ的最大值或最小值；5.验证极值是否符合线面角的取值范围（θ∈[0°, 90°]） 易错点 混淆θ与的增减关系，θ∈[0°, 90°]时，随θ的增大而增大，可通过的极值间接求θ的极值 （25-26高一下·福建莆田·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．经典例题1例题 (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长． （24-25高一下·河北秦皇岛·期末）已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形.小试牛刀1 (1)求证：; (2)求点D到平面PBC的距离; (3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. （24-25高一下·河北雄安·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，.小试牛刀2 (1)求AD； (2)求点D到平面PBC的距离； (3)设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大. 【C·拓展培优题型】 【题型1：折叠问题中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心要点：折叠前后，不变的垂直关系和线段长度可作为构造垂线的依据，折叠后新的垂直关系需重新证明 2.常考场景：平面图形折叠成空间几何体（如矩形折叠成三棱锥、三角形折叠成三棱锥），求折叠后某条直线与某个平面所成的角，常需用等体积法求h 3.关键结论：折叠前后，垂直于折叠线的线段，折叠后仍垂直于折叠线，可作为构造垂线的突破口 解题模板 1.分析折叠前后的不变量（线段长度、垂直关系）和变量（空间位置关系）；2.利用不变的垂直关系，构造平面的垂线（如垂直于折叠线的线段）；3.验证垂线成立，确定垂足和射影；4.无法构造垂线时，用等体积法求h；5.构造Rt△PAO，确定线面角；6.结合折叠前后的线段长度，计算h和l，求角 易错点 1.混淆折叠前后的垂直关系，误将折叠前的非垂直关系当作折叠后的垂直关系；2.忽略折叠后线段长度的变化，导致h和l计算错误；3.等体积法中，底面积或高未结合折叠后的位置关系计算 （2025高三·全国·专题练习）如图，四边形为正方形，点，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.求与平面所成角的正弦值经典例题1例题    . （24-25高一下·湖南·期中）如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m．小试牛刀1 (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.小试牛刀2 (1)求与平面所成的角； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【题型2：复杂几何体（斜棱柱、多面体、组合体）中求线面角】 【练方法】 知识梳理 1.核心思路：将复杂几何体分解为简单几何体（如三棱锥、长方体、圆柱、圆锥、球），利用简单几何体的垂直关系构造垂线，或用等体积法求h 2.常考场景：斜棱柱中，过顶点作底面的垂线；复杂多面体中，截取含线面角的三棱锥，单独分析；组合体（圆柱+圆锥、棱锥+台体、球+棱锥）中，利用各几何体的垂直关系综合求解 3.关键结论：复杂几何体的线面角，本质是简单几何体中线面角的延伸，核心仍是“找垂足、连射影、求角”，等体积法是重要辅助手段 解题模板 1.分解复杂几何体，截取含目标直线和平面的简单几何体（优先三棱锥、圆柱、圆锥、球）；2.在简单几何体中，找/构造平面的垂线，确定垂足；3.无法构造垂线时，用等体积法求h；4.连射影，构造Rt△PAO，确定线面角；5.结合几何体的边长、角度关系，计算h和l，求角；6.验证线面角的取值范围，确保结果合理 秒杀结论 复杂几何体中，可通过作底面的垂线，将斜棱柱转化为直棱柱、将复杂棱锥转化为直角三棱锥，线面角不变，简化计算；组合体中，优先分析各简单几何体的垂直关系，再综合求解 （2025高三·全国·专题练习）（多选）在直角梯形中，，，，，，在上，在上，．将沿直线翻折至的位置，将四边形沿翻折至四边形的位置，使，则（    ）经典例题1例题 A．与所成的角为 B．平面平面 C．直线与平面所成的角为 D．四棱锥的体积为1 （2025·河北沧州·模拟预测）（多选）如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则（   ）小试牛刀1    A． B． C． D． （23-24高一下·山东青岛·期末）（多选）如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（    ）小试牛刀2 A．该几何体的体积为 B．直线与平面所成角的正切值为 C．异面直线与的夹角余弦值为 D．存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上 【题型3：球相关复杂线面角问题】 【练方法】 知识梳理 1.常考场景：球的切面与直线所成角、球内接复杂棱锥（三棱锥、四棱锥）中直线与平面所成角、球面上动点与平面所成角 2.核心公式：①球的切面与直线所成角θ：（d为球心到直线的距离，l为直线到切面垂足的斜线长）；②球内接复杂棱锥：利用球的半径R，结合等体积法求h，再代入；③球面上动点P到平面α的距离h，h的最大值=R+d（d为球心到平面α的距离），最小值=|R-d| 解题模板 1.确定球的半径R、球心位置，以及目标直线和平面；2.利用球的性质（半径⊥切面、球心到平面的距离d≤R）构造垂线；3.复杂场景用等体积法求h，结合球的半径验证h的取值范围；4.连射影，构造Rt△PAO，确定线面角；5.计算h和l，代入公式求角 易错点 1.忽略球心到平面的距离d与球半径R的关系，导致h的计算错误；2.球面上动点到平面的距离最值，未结合球心到平面的距离求解 （25-26高二上·湖北武汉·月考）在中为BC中点，若将沿着直线AD翻折至，使得四面体的外接球半径为，则直线AN与平面ABD所成角的余弦值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·江苏泰州·期末）（多选）半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ）小试牛刀1 A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 （23-24高一下·云南昭通·月考）四棱锥的底面为正方形，平面，且，．四棱锥的各个顶点均在球O的表面上，，，则该四棱锥外接球半径为______；直线l与平面所成夹角的范围为______．小试牛刀2 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一下·四川成都·期末）正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南永州·期末）如图1，已知四边形PABC是直角梯形，，，，D是线段PC中点.将沿AD翻折，使，连接PB，PC，如图2所示，则PB与平面ABCD所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西渭南·期末）在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则侧棱与底面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）已知球是正三棱锥的外接球，，过点作球的截面，若截面面积为，则直线与该截面所成的角为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海虹口·一模）如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（ ） A．异面直线和所成角的大小为 B．直线与平面所成角的大小为 C． D．的面积为 6．（25-26高二上·安徽淮南·期末）已知长方体中，，直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·云南昭通·期末）在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 8．（25-26高二上·广东肇庆·期中）正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的范围为 三、填空题 9．（24-25高一下·安徽滁州·期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为________. 10．（25-26高二上·上海·期中）在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 11．（25-26高二上·北京·期末）在正四棱锥中，为顶点在底面内的射影，为侧棱的中点，且，，则直线与平面所成角的正弦值为________． 四、解答题 12．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，是以PA为斜边的等腰直角三角形，是以PC为斜边的等腰直角三角形，F、G、H分别是PB、CD、PA的中点． (1)求证：平面 (2)求直线PB与平面ABCD所成角． 13．（24-25高一下·广东东莞·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 14．（24-25高一下·山东青岛·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 15．（24-25高二下·河北衡水·期末）如图，三棱锥中，为等边三角形，，，点到平面的距离为2． (1)求点到平面的距离； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 16．（22-23高一·全国·暑假作业）如图（1），在中，，，、、分别为边、、的中点，以为折痕把折起，使点到达点位置（如图（2））．当四棱锥的体积最大时，分别求下列问题： (1)设平面与平面的交线为，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 17．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在直三棱柱中，D、E分别是棱的中点，F为线段上的点． (1)证明：平面； (2)若，当与平面所成角的正弦值为时，求的值． 18．（25-26高二上·上海·月考）图①是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，．将其沿折起使得与重合，连接，如图②． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 19．（20-21高二上·天津西青·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，M，N分别为PC，PB中点． (1)求证：． (2)求BD与平面ANMD所成角的余弦值． (3)求点C到平面PBD的距离． 20．（24-25高一下·山东烟台·期末）如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $