期末复习：非线性回归复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：非线性回归复习讲义 期末复习：非线性回归复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 核心思想 非线性回归无法直接套用线性回归公式，解题核心：变量换元，把非线性函数转化为线性函数，求出线性回归方程后，再回代还原变量，得到原始变量的回归模型。 2. 四类常见非线性模型（高考必考） 1. 指数型：（） 两边取自然对数： 令 ，，化为线性形式：。 1. 幂函数型：（） 两边取对数： 令 ，得到 。 1. 反比例型： 令 ，直接化为：。 1. 二次曲线型： 令 ，转化为二元线性回归。 3. 相关性检验 换元得到线性变量后，计算相关系数 ： 越接近 1，线性相关性越强，说明换元后的模型拟合效果越好； 越接近 0，拟合效果差，需要更换函数模型。 4. 残差分析（模型优劣判断） 残差 ； 残差平方和越小、 越接近于 1，回归模型拟合精度越高。 二、解题原理（固定解题步骤） 1. 识图定模型 根据散点图形状选择函数： · 散点呈指数增长 → 选指数模型； · 曲线为反比例走势 → 选用 ； · 曲线符合幂函数形态 → 幂函数模型。 1. 变量替换（关键一步） 设置新变量，将曲线方程改写为一次线性方程 。 1. 整理数据 根据原始表格，计算出新变量 、 对应的各组数据。 1. 求线性回归系数 套用线性回归公式，计算出 、，写出线性回归直线 。 1. 回代还原变量 把替换的变量还原成 ，得到原始的非线性回归方程。 1. 模型评估（选做题必考） 计算相关系数或者 ，对比多个模型，选出拟合度最高的函数。 三、高频易错点 1. 指数函数只取常用对数，没有取自然对数，造成换元出错； 1. 只求出线性方程，忘记把新变量还原，得不到最终的非线性回归解析式； 1. 混淆相关系数 与决定系数 的评判标准； 例题分析 例1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对指数式取对数化为线性形式，结合已知数据算出，，利用回归直线过样本中心点求出，再对比截距得即，最后相乘． 【详解】由，得， 令，则与满足线性关系， 由，得， 由， 得， 所以， 过样本中心点，即，解得， 对比和，，解得，， 所以． 例2．（25-26高二下·江苏·期中）某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（    ） A．0.596 B． C．-6.92 D． 【答案】B 【分析】将指数模型两边取自然对数，转化为线性回归模型 ，其中，利用已知数据计算样本中心点，通过最小二乘法求出回归系数和截距. 【详解】因为，，所以， ，，所以样本中心点为， 根据最小二乘公式，， 所以线性回归方程为，将样本中心点代入得 ，所以， 所以线性回归方程的截距对应，即，所以. 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测）在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 【答案】 【分析】由回归直线方程可得：，解出即可求解． 【详解】因为，，所以, 则 例4．（25-26高二下·山东青岛·月考）某公司对近五年的人工智能产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计如下表： 年投入额（百万元） 1 2 3 4 5 年销售量（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 该公司科研团队用两种模型①，②对数据进行拟合，得到模型①的回归方程为，并计算得模型②的残差平方和约为0.0462. (1)求模型①的残差平方和，根据两个模型的残差平方和，选择一个拟合效果更好的模型； (2)若某年投入额为8百万元，用拟合效果更好的模型预测产品该年的销售量. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为，；设，，，，，，. 【答案】(1) 模型①的残差平方和为，拟合效果更好的是模型②； (2) 预测该年销售量约为千件. 【分析】（1）先计算模型①各样本的预测值，再求残差平方和，通过比较两个模型残差平方和的大小选择拟合效果更好的模型； （2）对模型②取对数转化为线性回归模型，用最小二乘法估计参数，代入计算预测销售量. 【详解】（1）已知模型①的回归方程为，依次计算各样本的残差平方： 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 当时，，残差的平方为， 因此模型①的残差平方和为， 由于残差平方和越小拟合效果越好，且，故模型②拟合效果更好. （2）对两边取自然对数，得，令，则转化为线性回归模型. 因为，，， ， 根据最小二乘法公式：，， 所以，当时，（千件）. 例5．（25-26高二下·河北·阶段检测）宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 【答案】(1) (2)35万元． 【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算. （2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧. 【详解】（1）令，则可转化为，由表可知， 得到，， 由最小二乘法公式得， ， 所以 ，所以回归方程为 . （2）设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元， 则投入生产药用枸杞片的资金为万元， 其中，设2026年总收益为万元， 则，， 令，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以.     故年总收益的最大值约为35万元． 变式训练 变式1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由模型，可得，即， 因为变换后得到经验回归方程为， 所以，即，故. 变式2．（2026·江苏徐州·模拟预测）将某数学博主1—4月份的粉丝量y整理成如下表格，根据表中数据求出z关于x的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为______． 月份x 1 2 3 4 粉丝量y 【答案】 【详解】因为，所以当时，， 所以，解得. 故预测该数学博主6月末的粉丝量约为 变式3．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 【答案】 【分析】两边同时取对数，求得，结合，求得，得到的值，再由，求得，结合，即可求解. 【详解】由，两边同时取对数，可得， 因为变换后的线性回归方程为，可得， 即，所以， 又因为，且， 所以， 因为，可得，所以. 故答案为：；. 变式4．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 【答案】(1)，，； (2) 0 1 2 3 【分析】（1）令，则，求出，，计算， 由回归直线过点，求出，从而得到关于的回归方程. （2）求出的取值，求出的取值的概率， 列出的分布列，根据分布列求出随机变量的期望值. 【详解】（1）令，则， 因为，所以， 因为，所以，    ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程， 又， 故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；； ；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 实战演练 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定数据，利用最小二乘法求出关于的线性回归方程，进而求出关于的回归方程. 【详解】令，，由与呈线性相关关系，得线性回归方程， 则，， 因此，即，所以关于的回归方程为. 2．（25-26高二下·广东广州·月考）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 3．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：非线性回归复习讲义 期末复习：非线性回归复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 核心思想 非线性回归无法直接套用线性回归公式，解题核心：变量换元，把非线性函数转化为线性函数，求出线性回归方程后，再回代还原变量，得到原始变量的回归模型。 2. 四类常见非线性模型（高考必考） 1. 指数型：（） 两边取自然对数： 令 ，，化为线性形式：。 1. 幂函数型：（） 两边取对数： 令 ，得到 。 1. 反比例型： 令 ，直接化为：。 1. 二次曲线型： 令 ，转化为二元线性回归。 3. 相关性检验 换元得到线性变量后，计算相关系数 ： 越接近 1，线性相关性越强，说明换元后的模型拟合效果越好； 越接近 0，拟合效果差，需要更换函数模型。 4. 残差分析（模型优劣判断） 残差 ； 残差平方和越小、 越接近于 1，回归模型拟合精度越高。 二、解题原理（固定解题步骤） 1. 识图定模型 根据散点图形状选择函数： · 散点呈指数增长 → 选指数模型； · 曲线为反比例走势 → 选用 ； · 曲线符合幂函数形态 → 幂函数模型。 1. 变量替换（关键一步） 设置新变量，将曲线方程改写为一次线性方程 。 1. 整理数据 根据原始表格，计算出新变量 、 对应的各组数据。 1. 求线性回归系数 套用线性回归公式，计算出 、，写出线性回归直线 。 1. 回代还原变量 把替换的变量还原成 ，得到原始的非线性回归方程。 1. 模型评估（选做题必考） 计算相关系数或者 ，对比多个模型，选出拟合度最高的函数。 三、高频易错点 1. 指数函数只取常用对数，没有取自然对数，造成换元出错； 1. 只求出线性方程，忘记把新变量还原，得不到最终的非线性回归解析式； 1. 混淆相关系数 与决定系数 的评判标准； 例题分析 例1．（25-26高二下·河北衡水·阶段检测）用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的经验回归方程为，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏·期中）某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 则（    ） A．0.596 B． C．-6.92 D． 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测）在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 例4．（25-26高二下·山东青岛·月考）某公司对近五年的人工智能产品研发年投入额（单位：百万元）与其年销售量（单位：千件）的数据统计如下表： 年投入额（百万元） 1 2 3 4 5 年销售量（千件） 0.5 1 1.5 3 5.5 该公司科研团队用两种模型①，②对数据进行拟合，得到模型①的回归方程为，并计算得模型②的残差平方和约为0.0462. (1)求模型①的残差平方和，根据两个模型的残差平方和，选择一个拟合效果更好的模型； (2)若某年投入额为8百万元，用拟合效果更好的模型预测产品该年的销售量. 参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式为，；设，，，，，，. 例5．（25-26高二下·河北·阶段检测）宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 (1)用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； (2)该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 变式训练 变式1．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）用模型拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，其变换后得到经验回归方程为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏徐州·模拟预测）将某数学博主1—4月份的粉丝量y整理成如下表格，根据表中数据求出z关于x的经验回归方程为，则预测该数学博主6月末的粉丝量约为______． 月份x 1 2 3 4 粉丝量y 变式3．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）一组数据组的散点图趋向于落在中间下凸且递增的某条曲线附近，现用模型拟合数据组，其中，设，变换后的线性回归方程为，则__________，__________. 变式4．（2026·山西运城·模拟预测）设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 实战演练 1．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某企业研究年宣传费（万元）对年利润（万元）的影响，得到近5年的数据如下： 1 2 3 4 5 4 7 12 20 33 经计算：，，令，，，，，，经分析．与呈线性相关关系，用最小二乘法求得线性回归方程，则关于的回归方程为（   ）（参考公式：，） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·月考）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为______．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数______． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 3．（2026·重庆·模拟预测）现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $