期末复习：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

期末复习：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式复习讲义 期末复习：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式复习讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 条件概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：已知事件 发生的前提下，事件 发生的概率，记作 。 1. 计算公式 · 变形乘法公式：。 1. 古典概型下简化计算 · ： 包含基本事件数；：、 同时发生的基本事件数。 1. 独立事件性质 若 、 相互独立，则 ，代入乘法公式得 。 二、解题原理 1. 审题识别关键词：“在…前提下”“已知…发生”，判定为条件概率。 1. 两条解题路径： · 概率式：分别算出 、，代入分式； · 计数式：缩小样本空间，只保留 发生的所有情况，再统计其中 发生的数量作比值。 1. 区分 与 ：分子是交事件概率，分母是条件事件概率，不可颠倒。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 【答案】C 【详解】记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，， 记击中目标为事件，则， 所以， 又，所以. 例2．（25-26高二下·四川成都·月考）52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C， 则. 例3．（25-26高二下·浙江衢州·月考）设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设及条件概率计算公式可得答案. 【详解】因为A的对立事件，且，则，又，则. 例4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）若，，则_________. 【答案】 【详解】， 又，则. 例5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 【答案】 【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论. 【详解】由题意， 第一空： 箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。 设事件表示没取到黄球，事件表示三次都没取到黄球， 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为， 三次都没取到黄球的概率：. 第二空： 设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ， ∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率：， ， ∴， ∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 例6．（25-26高二下·上海·期中）一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【答案】 【分析】先计算出样本空间数，然后计算出至少有一个型血孩子的概率，再计算出两个孩子为型血的概率，最后使用条件概率得出结果. 【详解】由题意可得总样本空间为种， 令E事件为至少一个型血孩子， F事件为两个孩子都为型血，则F事件只有1种，故 E事件有，共7种情况，故 因此. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件表示“第一次抽到语文题”，事件表示“第二次抽到数学题”， 则，，故. 变式2．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子”，事件B是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由对立事件求出，再结合条件概率公式求出，进而求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 变式3．（25-26高二下·河北保定·期中）某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设相应事件，根据互斥事件和独立事件求，，结合条件概率公式运算求解. 【详解】设事件为“该专业棋手获得奖金”，事件为“该专业棋手只获得一局比赛的胜利”， 该专业棋手获得奖金包括：战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 战胜机器人，没战胜机器人，概率为； 同时战胜机器人和机器人，概率为， 所以． 又因为，所以根据条件概率公式得． 变式4．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机事件 ， ，，，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果． 【详解】因为，，， 则， 则． 变式5．（25-26高二下·上海·期末）一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________． 【答案】 【分析】先列出两个孩子全部等可能性别组合，筛选含女孩的样本集合，再利用条件概率定义计算双女孩的条件概率. 【详解】设两个孩子性别样本空间为， 每个基本事件等可能发生，总样本数. 记事件：至少有一个女孩，满足条件的样本为，； 记事件：两个均为女孩，，. 由条件概率公式. 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔、华山5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择景点不同”，则______． 【答案】 【详解】依题意，，，所以． 考点二 全概率公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 完备事件组划分 设 满足：① 两两互斥；② ，则称 为完备事件组。 1. 全概率公式 对任意事件 ： · 含义： 的总概率 = 每一种前置原因 发生的概率 × 下 发生的条件概率，全部求和。 1. 常用二分完备组： 与 ，简化形式： 二、解题原理 1. 题型特征：结果 由多种互不相交的原因 分别导致，求结果总概率。 1. 解题步骤： ① 划分完备事件组（分类讨论所有前置情况）； ② 分别计算每个分类的先验概率 ； ③ 算出每种分类下出现目标事件的条件概率 ； ④ 逐项相乘再相加，得到 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算即可． 【详解】设李明选择的项目是电子游戏为事件，李明选择的项目是看小说为事件，李明选择的项目是追网剧为事件，李明在下一次考试中成绩下降为事件， ． 例2．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 例3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.44 B．0.46 C．0.54 D．0.70 【答案】B 【详解】设两个部门分别为部门1、部门2， 由人数比为，可得抽到部门1的概率为，抽到部门2的概率为， 已知部门1员工喜欢篮球的概率为，部门2员工喜欢篮球的概率为， 根据全概率公式，从这两个部门中随机抽取一人， 其喜欢篮球的概率为：. 例4．（25-26高二下·河南·阶段检测）高考放假第二天，小明决定去图书馆看书，已知他上午去图书馆的概率为，下午去图书馆的概率为，记小明在上午不去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为；小明在上午去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为，若，则 _______________． 【答案】 【分析】利用全概率公式求解. 【详解】设事件A=“小明上午去图书馆”，事件B=“小明下午去图书馆”， 则， 所以， 又，解得. 例5．（2026·湖南常德·一模）某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 【答案】50 【分析】根据全概率公式，结合每个箱子中第三次抽到物理题的概率，求出第三次抽取的题目恰为物理题的概率表达式，再根据已知概率值求解. 【详解】设表示“选到第个箱子” ，则， 设表示“第三次抽取得题目恰为物理题”，则， 不放回抽样中，每次抽到物理题的概率与抽样顺序无关， 因此第个箱子中第三次抽到物理题的概率为： ，由全概率公式可得：， ， 即，求解可得：. 例6．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是______. 【答案】/ 【分析】先设“取出第个袋子”为事件，“从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件，由全概率公式得，结合条件可得，进而可判断个袋子中的红球及白球数，再由条件概率公式可得结果. 【详解】设“取出第个袋子”为事件， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”为事件， 则，且两两互斥，，， 对于第个袋子，白球数为，从第个袋子中连续取出三个球（每个球取后不放回）， 因此第三次取出的球为白球. 所以，由全概率公式， . 令，解得. 所以第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球个白球；第个袋子：个红球个白球； 第个袋子：个红球. 设前两次取出白球为事件，第三次取出白球为事件，则. 又因为. . 所以. 故在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 变式2．（25-26高二下·河北·阶段检测）已知，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解. 【详解】由全概率公式，得， 又，，，， 代入得，解得. 变式3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件A为“抽到的学生物理成绩优秀”，事件为“抽到的是男生”，事件为“抽到的是女生”， 则，， 已知， 代入全概率公式得： ． 变式4．（25-26高二下·上海浦东·月考）小莘操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小莘一周跑11圈的概率为________. 【答案】 【分析】小莘一周跑11圈对应的两种互斥事件：第一种为第一次跑5圈，第二次跑6圈；第二种为第一次跑6圈，第二次跑5圈，使用全概率公式即可求解. 【详解】设事件 为“第一次跑 5 圈”，事件 为“第一次跑 6 圈”， 事件为“第二次跑6圈”，为“第二次跑5圈”,事件 为“小莘一周跑 11 圈”， 那么 . 变式5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）甲盒中有3个红球、3个白球和2个绿球，乙盒中有2个红球、2个白球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球．记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从甲盒中取出的小球是绿球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则______． 【答案】 【分析】根据全概率公式，组合数的计算，及互斥事件的概率关系求解即可． 【详解】依题意可得甲盒共有8个小球， 则，，， 不妨设事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球， 又第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中后，乙盒共有6个小球， 则，，， 所以， 所以． 变式6．（25-26高二下·广东惠州·月考）在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型，，．模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为．已知选择模型，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______． 【答案】 【分析】利用全概率公式，将选择各模型的概率与对应模型的准确率相乘后求和，即可得到最终准确率. 【详解】设事件为选取模型，为选取模型，为选取模型，事件为测试结果准确， 由题意可得：，，， 条件概率，，， 根据全概率公式可得：. 考点三 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式推导：结合条件概率 + 全概率公式 1. 概念区分 · ：先验概率，事前各类原因发生概率； · ：类条件概率，该原因下出现结果的概率； · ：后验概率，已知结果 发生，反推由 造成的概率。 二、解题原理 1. 题型特征：已知最终结果发生，反向求该结果来自某一类原因的概率。 1. 固定流程： ① 用全概率公式算出分母 （事件 整体发生概率）； ② 分子为目标分类 对应的 ； ③ 分子除以分母得到逆概率。 1. 适用场景：检测、抽样、产品合格/次品反向溯源问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏无锡·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式求解即可. 【详解】设事件为“取到次品”，事件为“零件来自第台机床”（）. 由题意知，，；，；，， 由全概率公式得 . 所以， ， ， 因为，所以次品来自第2台车床的概率最大. 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设表示骰子投掷出点，表示“取出卡片全为红色”，分别求出，利用全概率公式求出，进而利用条件概率公式计算求解． 【详解】设表示骰子投掷出点，均匀的骰子满足， 设表示“取出卡片全为红色”，已知红色共3张，则时，， 时，； 时，； 时，； 则， ， 则． 例3．（25-26高二下·河南郑州·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 例4．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算求解即可. 【详解】记事件：随机选取的是批零件；事件：随机选取的是批零件， 事件：第一次检验不合格；事件：第一次检验合格，第二次检验不合格， 事件：两批零件整体不合格（即，且与互斥）， 由题意可知，， 所以， ，， ， 所以， 所以第二次检验后整体不合格的概率为. 例5．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】/ 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 例6．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 【分析】根据独立事件的乘法公式计算可得第一空，利用全概率及贝叶斯公式可求第二空． 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆·期中）某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（   ） A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098 【答案】B 【分析】先使用全概率公式求出试验为阳性的概率，再使用贝叶斯公式求出这个条件概率. 【详解】设A事件为“该人患有癌症”，B事件为“试验反应是阳性”， 则， 根据全概率公式得 ， 根据贝叶斯公式得， 则. 变式2．（2026·江西九江·模拟预测）某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“用户完成第一日目标”，事件为“用户完成第二日目标”. 由题意可知：，，，， 所以， 由. 变式3．（2026·重庆江津·三模）随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示： 年龄段 人数占样本的比例 组内最看重高阶智能驾驶的比例 A组(30岁及以下) 40% 60% B组(31--45岁) 50% 30% C组(46岁及以上) 10% 10% 现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（    ） A．0.24 B．0.40 C．0.60 D．0.80 【答案】C 【分析】设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件，抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件，先根据全概率公式求得，再根据贝叶斯公式求解即可. 【详解】从这批被调查的购车者中随机抽取1人，设抽到组为事件，抽到组为事件，抽到组为事件， 抽到的购车者购车时最看重高阶智驾为事件， 则， ， 所以， 则. 变式4．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 变式5．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 【答案】 【分析】利用全概率公式以及贝叶斯公式即可解答. 【详解】设为“第一次摸到黑球”，为“第一次摸到白球”，为“第二次摸到白球”， 则, 若第一次摸到黑球（放回），第二次摸到白球的概率为， 若第一次摸到白球（不放回），第二次摸到白球的概率为， 由全概率公式，可得. 小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为 . 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 【答案】 【分析】应用贝叶斯公式及全概率公式计算求解. 【详解】设高一、高二、高三的学生数分别为， 则所求概率为 考点四 全概率公式与数列综合问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型特点：试验可重复进行，第 次发生某事件的概率记为 ，利用全概率建立递推关系式。 1. 核心思路：以第 1 次试验结果作为完备事件组，对第 次事件使用全概率，得到 与 的线性递推。 1. 常见递推类型 ① 等差型：； ② 一阶线性等比型：，构造等比数列求通项； 1. 边界条件：由题意写出初始项 。 二、解题原理 1. 设变量：令 为第 次出现目标事件的概率； 1. 分类完备组：按第一次试验两种结果（发生/不发生）拆分； 1. 对第 次使用全概率公式：消去条件概率，整理得到递推等式； 1. 数列求解： · 线性非齐次递推 ，构造 等比数列； · 结合初始概率 ，求出 通项公式； 1. 拓展问题：求极限 ，令 直接解方程。 【例题分析】 例1．（2026·山东·模拟预测）标号为的12位同学，围着圆桌入座进行传球游戏. 将他们分成， 三组，其中第组包含四位同学. 在每次传球中，拿球的同学分别以的概率将球传递给邻座二人中的一位. 已知球最初在手中，当其将球传出后，视为第一次传球结束. 对于，，，设为第次传球后，球在手中的概率；为第次传球后，球在组某一位同学手上的概率. (1)求与的值； (2)求与； (3)证明：. 【答案】(1)， (2)， (3)由 (2) 知，， 若证，只需证， 对于组，200次传球后，球只可能在手中， 考虑前两百次传球所有情况，共有种不同的事件，且每个事件发生的概率为， 因为，所以要证，只需证， 记“200次传球后球在手中”为事件，“200次传球后球在手中”为事件， 对任何一个事件，传球过程中，球必然经过或者， 设第一次经过他们中某一个人手中发生在第次传球后， 此后，如果将第到第200次传球中每次沿圆桌顺时针方向的传球换成沿逆时针方向的传球；并且将沿逆时针方向的传球改成沿顺时针方向的传球， 则第200次传球后的结果是球落在手中，这个新的传球路径对应事件中的一种情形， 因此，我们可以将事件中的任意一种情形，对应到事件中的一种情形，且这种对应是唯一的， 另外考虑， 故事件中的基本事件数量严格多于事件中的基本事件数量， 所以，故命题得证. 【分析】（1）分析球传在或组的可能性情况，结合独立事件概率求法运算求解； （2）利用全概率公式可得，分析可知数列是以首项为，公比为的等比数列，可得，进而分析传球可能性情况即可； （3）分析可知原题意即证，设相应事件，可知，结合传球可能性情况分析证明即可. 【详解】（1）因为代表第2次传球后，球在手中的概率， 对应和两个事件， 所以. 又因为代表第3次传球后，球在组某同学手中的概率， 对应和两个事件， 所以. （2）记为事件“次传球后，球在第组同学手中”， 第次传球后，球在组的概率分别为，，， 由对称性可知：， 又因为，则， 可得，且，则， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 可得，即， 由题意可知201次传球后，球在手上，则为偶数， 因此对于组，201次传球后，球只可能在两人手中， 他们的位置与都恰好隔着2位同学， 因此根据对称性可得. （3）略 例2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据独立事件的概率公式可求题设中的概率； （2）根据全概率公式构建递推关系，利用构造法可求. 【详解】（1）设为“第2次投篮的人是乙”， 则. （2）由题设有，， 而，故， 故，而， 故为等比数列，首项为，公比为， 故即，. 例3．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）现将红、黄、蓝三色球从左往右放置在一排格子中，要求最左端放红球，且相同颜色球不连续放.若前一格放红球，则下一格放黄球或蓝球的概率相等；若前一格放黄球或蓝球，则下一格放红球的概率为. (1)求从最左端往右数第4个球是红球的概率； (2)求从最左端往右数第个球是红球的概率； (3)已知格子总数为100，设红、黄、蓝三色球放置的个数分别为，判断的大小关系. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）第 4 个球是红球的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”，结合概率乘法公式求解. （2）设，由全概率公式得，利用构造法结合等比数列分析求解. （3）根据题意结合全概率公式得，根据数列求和可得，进而可得结果. 【详解】（1）依题意，第 4 个球是红球的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”， 所以从最左端往右数第 4 个球是红球的概率. （2）设事件表示“第个球是红球”，事件表示“第个球是黄球”，事件表示“第个球是蓝球”， 当时，， 记，则，而， 由，得， 整理得，则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 所以从最左端往右数第个球是红球的概率为. （3）依题意，当时，， ， 则，两式相减得， 由，得，即， 因此对任意恒成立，于是，令的前n项和为，则， 而，因此， 又，则； 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建福州·月考）已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 【答案】(1)， (2)证明见解析， 【分析】（1）易知．第1次移动后，质点必在三点之一，分类讨论第2次移动后质点停在的位置，结合全概率公式计算即可求解. （2）由（1），结合全概率公式可得，利用构造法证明为等比数列，结合等比数列的通项公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意，质点的初始位置为A，A不在底面上． 移动1次后，质点的位置． 从顶点A出发，有3条棱，分别通向， 这三个顶点都在底面上．故． 移动2次后，质点的位置． 第1次移动后，质点必在三点之一，且等可能性，概率均为； 若第1次到了B（概率）：从B出发，有3条棱，分别通向． 其中在底面，A不在．所以从B出发，下一步仍在底面的概率为； 若第1次到了C或情况与B完全对称，下一步仍在底面的概率也为； 由全概率公式得． （2）由题意知移动n次后，质点在底面上的概率为．则质点在顶点A的概率为． 若第n次后在底面（概率），且第次移动后仍留在底面． 从底面任意一点出发，有2条棱连向底面另两点，1条棱连向A，故留在底面的概率为； 若第n次后在顶点A（概率），且第次移动后到达底面． 从A出发，3条棱都连向底面，故到达底面的概率为1． 由全概率公式得， 令，即， 得．则， 所以数列是以为公比的等比数列，又． 所以，得. 变式2．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）一袋中有大小，形状相同的2个白球和8个黑球，从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中.重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为. (1)求； (2)求，； (3)求的值. 【答案】(1) (2)， (3)10 【分析】（1）根据的取值以及概率，即可容易求得数学期望； （2）根据全概率公式即可计算出的值；先找出和的关系,由等比数列的定义写出，再分情况由全概率计算出再换元利用数列的构造法计算出的值； （3）对第次白球个数的数学期望分为第次取出来的是白球或者黑球进行讨论，即可计算. 【详解】（1）根据题意：的取值可以为2，3， ，， 的分布列为 2 3 . （2）根据题意：， ，为等比数列，首项为，公比为， . ， 令，，， ， 为等比数列，首项为，公比为. ， ，即. （3）设经过次操作后，袋中有个白球，则有个黑球， 在第次操作中，若取出白球对应的概率为，则白球数量不变，即； 若取出黑球对应的概率为，则白球数量加，即. 因此关于的条件期望为：， 根据全期望公式可得：， 整理得：，即. 变式3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． (1)若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； (2)若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②． 【分析】（1）利用超几何分布可求的分布列； （2）设投掷次后，数据仍在中的概率为，则可得，，利用构造法可求通项. 【详解】（1）的可能取值为1，2，3 ，， 所以得分布列为： X 1 2 3 P （2）①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为， 数据在中，共有4种情况： ，其概率为； ，概率为； ，概率为； ，概率为； 所以投掷3次后，数据在中的概率为． ②设投掷次后，数据在中的概率为， 所以当时，， ， 所以，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，， 所以，所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式复习讲义 期末复习：条件概率、全概率公式与贝叶斯公式复习讲义 考点目录 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 全概率公式与数列综合问题 考点一 条件概率 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定义：已知事件 发生的前提下，事件 发生的概率，记作 。 1. 计算公式 · 变形乘法公式：。 1. 古典概型下简化计算 · ： 包含基本事件数；：、 同时发生的基本事件数。 1. 独立事件性质 若 、 相互独立，则 ，代入乘法公式得 。 二、解题原理 1. 审题识别关键词：“在…前提下”“已知…发生”，判定为条件概率。 1. 两条解题路径： · 概率式：分别算出 、，代入分式； · 计数式：缩小样本空间，只保留 发生的所有情况，再统计其中 发生的数量作比值。 1. 区分 与 ：分子是交事件概率，分母是条件事件概率，不可颠倒。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·河北唐山·期中）已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（   ） A．0.6 B．0.8 C．0.75 D．0.5 例2．（25-26高二下·四川成都·月考）52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·浙江衢州·月考）设A，B是两个随机事件，为A的对立事件，且，，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·甘肃白银·期中）若，，则_________. 例5．（2026·天津·高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是__________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是__________． 例6．（25-26高二下·上海·期中）一个家庭有两个孩子，其血型为、、、型之一（假设等可能）．已知其中一个孩子是型血，则另一个孩子也是型血的概率为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广东珠海·阶段检测）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子”，事件B是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河北保定·期中）某前沿科技公司邀请某专业棋手与公司新研发的两款机器人和分别进行一局比赛，若在一局比赛中专业棋手获胜，则该专业棋手获得该局比赛对应的奖金，否则不获得奖金．已知该专业棋手与两款机器人比赛获胜的概率均为，则在该专业棋手获得奖金的条件下，其只获得一局比赛胜利的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知随机事件 ， ，，，，则______． 变式5．（25-26高二下·上海·期末）一个家庭有两个孩子，已知其中一个是女孩，求另一个也是女孩的概率________． 变式6．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔、华山5个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择景点不同”，则______． 考点二 全概率公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 完备事件组划分 设 满足：① 两两互斥；② ，则称 为完备事件组。 1. 全概率公式 对任意事件 ： · 含义： 的总概率 = 每一种前置原因 发生的概率 × 下 发生的条件概率，全部求和。 1. 常用二分完备组： 与 ，简化形式： 二、解题原理 1. 题型特征：结果 由多种互不相交的原因 分别导致，求结果总概率。 1. 解题步骤： ① 划分完备事件组（分类讨论所有前置情况）； ② 分别计算每个分类的先验概率 ； ③ 算出每种分类下出现目标事件的条件概率 ； ④ 逐项相乘再相加，得到 。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·云南大理·期中）不良的习惯往往会对学习成绩造成一定的影响．一到周末，李明同学就会在电子游戏、看小说、追网剧三项中等可能的选择一个项目沉浸进去．若三个项目对下一次考试成绩造成下降的概率分别为、、，则李明同学在下一次考试中成绩下降的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）篮球作为三大球类运动之一，深受大众喜爱．据统计，某企业两个部门中喜欢篮球运动的员工分别占本部门总人数的40%，50%，且这两个部门的员工人数之比为，现从这两个部门中随机抽取一位员工，则该员工喜欢篮球的概率为（    ） A．0.44 B．0.46 C．0.54 D．0.70 例4．（25-26高二下·河南·阶段检测）高考放假第二天，小明决定去图书馆看书，已知他上午去图书馆的概率为，下午去图书馆的概率为，记小明在上午不去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为；小明在上午去图书馆的条件下，下午去图书馆的概率为，若，则 _______________． 例5．（2026·湖南常德·一模）某学校组织数学、物理学科答题竞赛活动，该学校准备了 个相同的箱子，其中第 个箱子中有 个数学题， 个物理题. 规则如下: 任选一个箱子， 依次抽取三个题目（每次取出不放回），若第三次抽取的题目恰为物理题的概率是 ，则 的值为_____. 例6．（25-26高二下·湖北襄阳·阶段检测）现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个球取后不放回），若第三次取出的球为白球的概率是，则在前两次取出的球是白球的条件下，第三次取出的球是白球的概率是______. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 变式2．（25-26高二下·河北·阶段检测）已知，，，则为（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·河南濮阳·期末）高一某班有名学生，其中男生有人，女生有人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为，男生的物理成绩的优秀率为，从该班随机抽取1名学生，则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·上海浦东·月考）小莘操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，6圈的概率为0.4.小莘一周跑11圈的概率为________. 变式5．（25-26高二下·重庆·阶段检测）甲盒中有3个红球、3个白球和2个绿球，乙盒中有2个红球、2个白球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球．记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从甲盒中取出的小球是绿球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则______． 变式6．（25-26高二下·广东惠州·月考）在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型，，．模型的准确率为，模型的准确率为，模型的准确率为．已知选择模型，，的概率分别为，，．现随机选取一个模型进行测试，则准确率为______． 考点三 贝叶斯公式 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 公式推导：结合条件概率 + 全概率公式 1. 概念区分 · ：先验概率，事前各类原因发生概率； · ：类条件概率，该原因下出现结果的概率； · ：后验概率，已知结果 发生，反推由 造成的概率。 二、解题原理 1. 题型特征：已知最终结果发生，反向求该结果来自某一类原因的概率。 1. 固定流程： ① 用全概率公式算出分母 （事件 整体发生概率）； ② 分子为目标分类 对应的 ； ③ 分子除以分母得到逆概率。 1. 适用场景：检测、抽样、产品合格/次品反向溯源问题。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·江苏无锡·月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台车床加工的次品率分别为2%，1%，3%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，70%，10%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，该次品来自第（     ）台车床的概率最大 A．1 B．2 C．3 D．无法判断 例2．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）某不透明的袋子中有4张蓝色卡片，3张红色卡片，现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几张卡片．若已知取出的卡片全是红色，则掷出3点的概率为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·河南郑州·期中）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·甘肃平凉·模拟预测）有，两批数量相同的零件，其中批零件全部合格，批零件有25%不合格.制定如下规则：随机从一批零件中任取1件零件，经检验不合格，则直接判定这两批零件整体不合格；经检验合格，则放回原处，并在该零件所在批次中再取1件零件，若检验合格则判定这两批零件整体合格，若检验不合格则判定这两批零件整体不合格.已知这两批零件整体不合格，则第二次检验后整体不合格的概率为________. 例5．（25-26高二下·江苏南京·期中）甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 例6．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·重庆·期中）某一地区的患有癌症的人占0.002，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.9，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02．现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为（   ） A．0.018 B．0.083 C．0.002 D．0.098 变式2．（2026·江西九江·模拟预测）某智能健身应用进行用户调研，根据调研情况得到用户完成第一日目标的概率为0.5，若完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.8；若未完成第一日目标，则完成第二日目标的概率为0.3．现随机抽取一名用户，已知他完成了第二日目标，则他完成了第一日目标的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆江津·三模）随着新能源汽车产业的迅速发展，高阶智能驾驶功能逐渐成为消费者购车时的重要考量.某汽车行业协会为了解不同年龄段购车者对高阶智能驾驶功能的偏好，随机抽取了一批近期计划购买新能源汽车的购车者进行问卷调查.统计结果如下表所示： 年龄段 人数占样本的比例 组内最看重高阶智能驾驶的比例 A组(30岁及以下) 40% 60% B组(31--45岁) 50% 30% C组(46岁及以上) 10% 10% 现从这批被调查的购车者中随机抽取1人，发现该购车者购车时最看重高阶智驾，则其属于A组的概率为（    ） A．0.24 B．0.40 C．0.60 D．0.80 变式4．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 变式5．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知袋子中装有10个大小相同的球，其中有3个黑球和7个白球.小明从中分两次各取一个球出来，取球规则为：若第一次摸到黑球，则放回袋中再摸第二个球；若第一次摸到白球，则不放回袋中再摸第二个球.小明第二次摸到白球的概率为________；当小明第二次摸到白球时，第一次摸到黑球的概率为_________. 变式6．（25-26高二下·重庆·期中）据统计，某校有高一、高二、高三共三个年级，喜欢打羽毛球的学生分别占各年级学生的，且这三个年级的学生数之比为，若从该校抽取一名喜欢打羽毛球的学生，则该学生是高二年级学生的概率为______. 考点四 全概率公式与数列综合问题 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 模型特点：试验可重复进行，第 次发生某事件的概率记为 ，利用全概率建立递推关系式。 1. 核心思路：以第 1 次试验结果作为完备事件组，对第 次事件使用全概率，得到 与 的线性递推。 1. 常见递推类型 ① 等差型：； ② 一阶线性等比型：，构造等比数列求通项； 1. 边界条件：由题意写出初始项 。 二、解题原理 1. 设变量：令 为第 次出现目标事件的概率； 1. 分类完备组：按第一次试验两种结果（发生/不发生）拆分； 1. 对第 次使用全概率公式：消去条件概率，整理得到递推等式； 1. 数列求解： · 线性非齐次递推 ，构造 等比数列； · 结合初始概率 ，求出 通项公式； 1. 拓展问题：求极限 ，令 直接解方程。 【例题分析】 例1．（2026·山东·模拟预测）标号为的12位同学，围着圆桌入座进行传球游戏. 将他们分成， 三组，其中第组包含四位同学. 在每次传球中，拿球的同学分别以的概率将球传递给邻座二人中的一位. 已知球最初在手中，当其将球传出后，视为第一次传球结束. 对于，，，设为第次传球后，球在手中的概率；为第次传球后，球在组某一位同学手上的概率. (1)求与的值； (2)求与； (3)证明：. 例2．（2026·湖南长沙·三模）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)设第i次投篮的人是甲的概率．求 例3．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）现将红、黄、蓝三色球从左往右放置在一排格子中，要求最左端放红球，且相同颜色球不连续放.若前一格放红球，则下一格放黄球或蓝球的概率相等；若前一格放黄球或蓝球，则下一格放红球的概率为. (1)求从最左端往右数第4个球是红球的概率； (2)求从最左端往右数第个球是红球的概率； (3)已知格子总数为100，设红、黄、蓝三色球放置的个数分别为，判断的大小关系. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·福建福州·月考）已知正四面体顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点的初始位置位于顶点A处，记点移动n次后仍在底面上的概率为． (1)求的值． (2)求证：数列是等比数列，并求的表达式． 变式2．（25-26高三上·江西吉安·阶段检测）一袋中有大小，形状相同的2个白球和8个黑球，从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中.重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为. (1)求； (2)求，； (3)求的值. 变式3．（24-25高二下·江苏淮安·期中）从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试． (1)若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列； (2)若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下： 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点； 数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点. 初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在A节点的概率为， ①求 ②求 2 学科网（北京）股份有限公司 $