利用an与Sn的关系求数列通项复习讲义-2025-2026学年高二下学期期末复习人教A版（2019）选择性必修第二册

期末复习：利用am与Sn的关系求数列通项复习讲义 期末复习：利用a与Sn的关系求数列通项复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1.通项与前n项和的核心关系式 S1,n=1 Sn-Sn-1,n≥2 2.适用题型：已知Sn关于n的解析式，或者an与Sn混合等式，求通项an。 3.两种变形形式： ①消去Sn,保留an,得到递推关系； ②消去an,保留Sn,先求出Sn,再反求an。 二、解题原理与标准步骤 题型1：直接给出Sn=f(n) 步骤： 1.令n=1,算出首项a1=S1: 2.当n≥2时，利用an=Sn-Sn-1化简表达式 3.检验：把=1代入化简后的式子，如果等于a1,就可以合并写成一个通项公式：若不相等，则必须写 成分段形式。 题型2：给出含an、Sn的混合等式（高频大题） 通用解题两条路线： 路线1：消项消去Qn,先求Sn 1.原式：含Sn与an: 2. 写出n≥2时，把原式中n替换成n-1,得到第二个式子； 3.利用an=SnSn-1把所有通项全部换成和式： 4. 整理得到{Sn}的等差或等比递推，求出Sn: 期末复习：利用an与Sm的关系求数列通项复习讲义 5.再用an=Sn~Sn-1求出通项。 路线2：消去Sn,保留Qn 1.写出原式，再写出n≥2的递推式： 2. 两式相减，消去Sn、Sn-: 3.化简得到Qn与an-1的递推关系式； 4.根据递推形式（等差、等比、构造数列）求出通项； 5.验证首项是否满足递推关系。 三、关键注意事项（易错点) 1.定义域分界绝对不能丢：an=Sn-Sn-1只对n≥2成立，n=1必须单独计算； 2.合并通项必须检验首项，不满足就要分段书写； 3.两式作差时，一定要注明条件n≥2； 4. 等式变形时，注意约去的代数式不能为0，防止漏解。 例题分析 4ns1 例1.(2026陕西·二模)已知数列{a,}满足” 2n-1,n≥2· 少求a的前”项和5： 「bn (2)记数列也.}的前n项和为T,若T。=2b,-2”+2;证明数列2”为等差数列，并求出也，}的通项公式： 2 期末复习：利用am与Sm的关系求数列通项复习讲义 例2.（2526商二下陕西滑南阶段检测》已知数列的前”项和为3=2-30咖 S,S2 (1)求 ②求出a的通项公式 例3.(25-26高二下辽宁·阶段检测)己知数列 ）的前”项和为3，且长为”，宽为”+1的长方形的面积为S. )求a的通项公式： 1。 2)求2，(2) 的前n项和T: ∫1 e数别a4的前n顶和为H,证明：H,< 期末复习：利用am与Sm的关系求数列通项复习讲义 例4.(2s26高二下山东潍坊阶段检测)已知数列a的前n项和为S,若-(+1)8，=2(t+,且 41=2 (I)证明：(nJ为等差数列，并求Sn及am （2若么.=a,+2n+5,求数列b.-20的前20项和. 期末复习：利用am与Sm的关系求数列通项复习讲义 变式训练 变式1.(25-26高二下山东青岛阶段检测)设5为数列%的前u项和，且4，>0,2(5，+)=+0， ①证明：数列a}是等差数列： ②记款商长省西专兮.&-Qa.表数的时 变式2.(2026潮南带德二模)已知数列a,的前”顶和3，=2a-2,neN. ①求数列a的通项公式 ②没，=og2,数列6小的前”项和为，求证：7<1 期末复习：利用am与Sm的关系求数列通项复习讲义 变式3.(2026安徽池州二模)已知 ,}是单调递增数列，记S为数列a的前”项和，且+n=2,。 (1)证明： {a}是等差数列： ②今=2”，求攻+ah+ah:++a.4+aA 变式4(2s2⅓者=下河南周口阶段检0已如数别清足小+22叶2”号， 1+2+3 0)求a,的通项公式 1 23 2 (2)设数列a,aJ的前n项和为T,证明： 6 期末复习：利用am与Sm的关系求数列通项复习讲义 实战演练 1. (225辽宁期胸一黄已划西黄)-3(-3，记5为数列a}的前n原，且5=向. )求a,的通项公式 f'(n) (2)求am; o呢r的饭为0-e传到小4-m,表66，肉，质.无号 2.(2s26高二下湖北阶段检测已知正项数列a,}的前u项和为5，且25-(+n-4)5,-2㎡+m)小=0，正 项数列，}满足1g,(hA…b,)=nn+3 L,nEN' 2 )求数列a和的通项公式： @四设=a6,求，的前n项和了， dn=+2 (3)记”a,ab,求数列{dn}的前n项和为2。 个期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项复习讲义 期末复习：利用an与Sn的关系求数列通项复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 通项与前 项和的核心关系式 1. 适用题型：已知 关于 的解析式，或者 与 混合等式，求通项 。 1. 两种变形形式： ① 消去 ，保留 ，得到递推关系； ② 消去 ，保留 ，先求出 ，再反求 。 二、解题原理与标准步骤 题型 1：直接给出 步骤： 1. 令 ，算出首项 ； 2. 当 时，利用 化简表达式； 3. 检验：把 代入化简后的式子，如果等于 ，就可以合并写成一个通项公式；若不相等，则必须写成分段形式。 题型 2：给出含 、 的混合等式（高频大题） 通用解题两条路线： 路线 1：消项消去 ，先求 1. 原式：含 与 ； 1. 写出 时，把原式中 替换成 ，得到第二个式子； 1. 利用 把所有通项全部换成和式； 1. 整理得到 的等差或等比递推，求出 ； 1. 再用 求出通项。 路线 2：消去 ，保留 1. 写出原式，再写出 的递推式； 1. 两式相减，消去 、； 1. 化简得到 与 的递推关系式； 1. 根据递推形式（等差、等比、构造数列）求出通项； 1. 验证首项是否满足递推关系。 三、关键注意事项（易错点） 1. 定义域分界绝对不能丢： 只对 成立， 必须单独计算； 1. 合并通项必须检验首项，不满足就要分段书写； 1. 两式作差时，一定要注明条件 ； 1. 等式变形时，注意约去的代数式不能为 0，防止漏解。 例题分析 例1．（2026·陕西·二模）已知数列满足． (1)求的前项和； (2)记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式； 【答案】(1) (2)由，当时，，即； 当 时，， 所以， 则， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 则，即. 【分析】（1）分和 两种情况求解， 时利用等差数列求和公式求解； （2）根据与的关系得到数列的递推关系式，再根据等差数列的定义进行证明，利用等差数列的通项公式求解. 【详解】（1）当时，， 当 时， ， 则； （2）略 例2．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）已知数列的前项和为. (1)求； (2)求出的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入前项和公式求出； （2）列出与的关系式，再结合已知条件计算求解． 【详解】（1）时，， 时，． （2）因，， 当时，， ， 当时，， 故． 例3．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知数列的前项和为，且长为，宽为的长方形的面积为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先求，再根据公式，，求解通项公式； （2）利用错位相减法求和； （3），再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由题意得．   当时，．   当时，，满足． 故对任意的． （2）由（1）得，   则， 两式相减得，   有， 所以． （3）因为，   所以 故对任意的． 例4．（25-26高二下·山东潍坊·阶段检测）已知数列的前项和为，若，且． (1)证明：为等差数列，并求及 (2)若，求数列的前20项和． 【答案】(1)证明见解析，， (2) 【分析】（1）先对已知条件变形得到，判断为等差数列，求出，再由求出通项公式，并验证是否成立，求出. （2）先求出，进而得到的分段表达式，再分别计算不同段的和得到. 【详解】（1）由题意可得：， 化简可得：， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）因为， 所以， 所以，数列的前项和为： . 变式训练 变式1．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）设为数列的前n项和，且，. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知指数函数的图象过点，，求数列的前n项和. 【答案】(1) ①中，令得， 又，解得， 当时，②， 式子①-②得，即， 又，故，， 所以为首项为2，公差为1的等差数列； (2) 【分析】（1）根据与的关系及等差数列的定义可得； （2）求出指数函数解析式，利用错位相减法求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 设，且， 将代入，得，解得，故， ， 则， 则， 上面两式相减可得 ， 所以. 变式2．（2026·湖南常德·二模）已知数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)由（1）知，，则. 所以， 又，所以，则，即 . 【分析】（1）根据与的关系，推出为等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可. （2）求出，结合裂项相消法求出，进一步证明即可. 【详解】（1）当时，，解得 . 当时，，则， 即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， . （2）略 变式3．（2026·安徽池州·二模）已知是单调递增数列，记为数列的前n项和，且． (1)证明：是等差数列； (2)令，求． 【答案】(1)证明：令，得，所以； 由题意得， 所以当时，，即， 所以或 所以或. 因为数列是单调递增数列，所以当时，， 所以， 所以，，即是首项为，公差为的等差数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证； （2）分别求出数列的通项公式，利用错位相减求和法求得的结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，所以. 令 则① 两边同乘以2，得② ②-①，得 所以. 变式4．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用计算得出通项公式； （2）应用裂项相消计算求和结合范围即可证明不等式. 【详解】（1）因为， 当时，，所以 当时，， 两式相减可得，所以当时，， 综上，； （2）因为， 所以， 所以 ， 又因为，所以，所以. 实战演练 1．（2026·辽宁朝阳·一模）已知函数，记为数列的前项和，且. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记的反函数为，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)由题意可得，从而，，所以， 得到， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 得 ， 因此，即，所以. 【分析】（1）利用直接求出，再验证是否满足即可； （2）先对求导，得到，再代入（1）中的求出； （3）先根据条件算出数列的通项公式，再利用裂项求和法得到前项和，最后构造函数，利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）由题意，得，则， 所以当时，， 又因为，所以. （2）对求导，得，所以. （3）略 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知正项数列的前n项和为，且，正项数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前n项和； (3)记，求数列的前n项和为． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）化简题干中的表达式即可求出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减即可求出； （3）先求出的表达式，再利用裂项相消即可求出. 【详解】（1）由题意可得，又为正项数列，， 所以，所以． 当时，；当时，， 显然时也满足上式，综上可得. 由得，当时，， 所以，则， 又，则，也满足上式，故 （2）由（1）可得，． 所以， 则， 作差得， 所以 （3）由（1）可得， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $