数列求和5种高频考法期末培优复习讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数列求和方法总结 数列求和方法总结 方法一 公式法 1.已知数列am为等差数列，公差为d. (1)通项公式：a,=4+n-l刂d=am+(n-m)d (2)前n项和：S,=a+ n-1d=mdta) 2 2。 2. 已知数列a}为等比数列，公比为9. (1)通项公式：a,=4g”=ang”-m a1-q"） (2)前项和：S。=1-q ,9≠1 n na1,9=1 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可」 例1.(25-26高二上安徽蚌埠月考)记5为等差数列0，的前”项和，已知4=17，S=45 (1)求公差d: ②求3，并求5的最小值. 变式1.(25-26高二上黑龙江佳木斯期末)已知数列a的前n项和 ,=a+1 2,且4>0 (1)证明： {a为等差数列： 数列求和方法总结 2设么=a,-10,求数列b.的前n项和. 数列求和方法总结 方法二 裂项相消法 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列am},，若能将其通项公式n拆分为4，=b1-b,(或am=b。-b)的形式， 则前n项和Sm=4+4+4+…+a,=(b2-h)+(b-b)+(b:-b)++(bn1-bn)=bn1-h 2.裂项的基本模型 (1)等差型： ga+at0a2.t m ,m(Nn+元-√+ (2)无理型： a.+元+Vkm+u2- ,其中九>4 ma” (3)指数型： 3.常见的裂项公式 111 (1)nn+)nn+1 1 =√n+I-√n (3)Vn+1+Vn (4) n+1N2nn-i-v司 1 数列求和方法总结 2” 1 1 (5) (2”+1)(21+1）2”+12*1+1 6) 83 3” 数列求和方法总结 例1.(25-26高三上：广西柳州月考)已知数列a的前n项和为S,若mS-(m+1)S,=2n+川，且a=2. (1)证明： (n)为等差数列，并求Sm. 2诺8,2习.1，求数列的前n项和工. 例2.(25-26高二上：黑龙江大庆期末)已知等差数列a的前1项和为S,6,是各项均为正数的等比数列， b2=8b-3b=441=b3a3-a4=b2 (①)求”的表达式； 1 (2)求数列Sn的前n项和T, 数列求和方法总结 变式1，(25-26高二上江苏连云港月考)已知数列a,的前”项和为，且=2，+2,4=2.求证： )微列a为等比数列： 2微列3×的前n项和<行 变式2.(25-26高三上黑龙江哈尔滨期末)已知数列a,}为正项数列，a+a,=mn+1 (1)求数 a,}的通项公式： 2设数列，满足3a4+3a,6++3a,h=4-1,求数列，3的通项公式： bn（3an-1 3)在(2)的条件下，设，= am1，求数列{cn}的前n项和Sn. 6 数列求和方法总结 方法三 错位相减法 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列×等比数列」形式的数列求和问题 (即“差比数列”求和).其核心逻辑是通过“乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等 比数列求和，最终简化计算 2.错位相减法的处理步骤 若数列n=a,b,且0n为等差数列，公差为d,b,为等比数列，公比为9. (1)S=Expression is faulty (2)9S,=abaa Expression is faulty 3 )*Expression is faulty 米*一** Expression is faulty *得 (1-q)S,=ab-a,ba+db2 +db +db+...+db (1-g)S,=ab-a,b db,1-g"- (4)求和得 1-q (5)化简得最终答案. 0起5-+g5=(n*y-A,夹中4g品 B=D-A q-1.(不建议直接用) 例1. （2026河北沧州一模)已知数列a满足4=2,4，=12，a2=4a-a, 证明：存在非零实数太，使得数列a,1+如，是等比数列： (2)求数列a的前n项和S。 > 数列求和方法总结 例2.(25-26高=上黑龙江绥化期未)已知数列a的前”项和为S,且S,=m∈N),数列b,是公比为2的 ,=2a 等比数列，且 )求数列a,的通项公式： an ②冷5一云，求数列c的前n项和工， 变式1，(2026陕西西安一模)已知a,是等差数列，6，是公比为正整数的等比数列，且4=6=1,4=6， 4a3=3b )求a,b的通项公式 2记=a6+ah++a.4(neN),求5. 8 数列求和方法总结 变式2.(25-26高二上甘啸武威期末)已知等差数列a,的首项为5，且3a,+a,=38 )求a,的通项公式： (②)若么-号，求数列b,的前n项和工· 9 数列求和方法总结 方法四 分组与并项求和 1. 分组求和法：Cn=an+bn (1)记C的前n项和为S,记4n的前n项和为T,记b.的前n项和为 (2)分别求T与2 (3)Sn=Tn+2 2.并项求和法：对于数列}，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列）， 则可将这些项两两（或三三)合并为一组，转化为对新数列的求和 (1)观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 (2)确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每2项、每3项一组）。 (3)处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 (4)转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 例1.(25-26高二上北京海淀期未)已知@是首项为1，公差为2的等差数列：6，是各项均为正数的等比数 列，其前”项和为6=163-28 )求数列a和，的通项公式 2设，=b。-a,求数列c,的通项公式及c,的前”项和了， 10数列求和方法总结 数列求和方法总结 方法一 公式法 1. 已知数列为等差数列，公差为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 2. 已知数列为等比数列，公比为. （1）通项公式：. （2）前项和：. 若已知数列为等差数列或等比数列，则直接代入对应公式，求出对应特征值即可！ 例1．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 变式1．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知数列的前项和，且. (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为数列的前项和，且， 所以，且，所以. 当时， 所以， 所以. 因为，所以，即. 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，所以. 所以. 当时，； 当时，. 所以. 方法二 裂项相消法 1. 裂项相消法的基本原理 对于数列，若能将其通项公式拆分为（或）的形式， 则前项和. 2. 裂项的基本模型 （1）等差型：，其中. （2）无理型：，其中. （3）指数型： 3. 常见的裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 例1．（25-26高三上·广西柳州·月考）已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）， . 例2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知等差数列的前n项和为，是各项均为正数的等比数列，，，，. (1)求的表达式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，，则，则，解得或（舍）， 则，所以，则， 由，可得，化简得，代入得， 所以； （2）， 所以 变式1．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知数列的前项和为，且．求证： (1)数列为等比数列； (2)数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）当时，由，① 得，② 由①-②得，，所以． 又，且，所以，且． 所以，． 所以，数列为以2为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）得数列为以2为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，所以， 所以． 所以， ． 又，所以，． 变式2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列为正项数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以， 作差得，，所以， 令，所以，检验成立，所以； （3）因为， 所以． 方法三 错位相减法 1.错位相减法 错位相减法是数列求和的核心方法之一，专门用于解决「等差数列 × 等比数列」形式的数列求和问题（即 “差比数列” 求和）.其核心逻辑是通过 “乘以公比、错位对齐、相减消项”，将复杂的求和转化为等比数列求和，最终简化计算. 2.错位相减法的处理步骤 若数列且为等差数列，公差为，为等比数列，公比为. （1）① （2）② （3）①-②得 （4）求和得 （5）化简得最终答案. （6）若已知,则，其中，.（不建议直接用） 例1．（2026·河北沧州·一模）已知数列满足． (1)证明：存在非零实数，使得数列是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为． 所以， 若数列是等比数列，又，则，解得． 此时． 由，得， 所以当时，数列是以8为首项、2为公比的等比数列． （2）由（1）得，所以， 即数列为等差数列，且公差为2，所以， 即．则， ， 所以 ， 所以． 例2．（25-26高二上·黑龙江绥化·期末）已知数列的前项和为，且.数列是公比为2的等比数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和； 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在数列中，，当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得，由数列是公比为2的等比数列，得，， 则，， 两式相减得， 所以. 变式1．（2026·陕西西安·一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，有，， 有， 解得（舍），， 故，. （2）由， 有， 两式相减，得， 故. 变式2．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知等差数列的首项为5，且． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由，， 得，解得， 所以； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以两式相减得 ， 所以． 方法四 分组与并项求和 1. 分组求和法： （1）记的前项和为，记的前项和为，记的前项和为. （2）分别求与. （3）. 2. 并项求和法：对于数列，若其项满足相邻几项的和具有规律性（如和为常数、成等差或等比数列），则可将这些项两两（或三三）合并为一组，转化为对新数列的求和. （1）观察项的规律：分析数列项的符号、数值或周期特征，判断是否可合并（如正负交替、周期重复）。 （2）确定并项方式：根据规律选择两两并项、三三并项或按周期并项（如每 2 项、每 3 项一组）。 （3）处理奇偶项差异：若数列项数的奇偶性影响并项结果（如正负交替型），需分情况讨论。 （4）转化为新数列求和：将合并后的项视为新数列，利用等差、等比数列求和公式或其他方法计算。 例1．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知是首项为1，公差为2的等差数列；是各项均为正数的等比数列，其前项和为． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的通项公式及的前项和． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由题，，公差，故； 设等比数列的公比为，由，， 则，解得或，又，即， 故，则. （2）由（1），； . 例2．（25-26高二上·福建龙岩·月考）已知数列，前项和为， (1)若是等差数列，求数列的前项和； (2)若，求； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，所以， 所以； （2）由题意， 变式1．（25-26高二上·四川凉山·期末）已知等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题可得，，得， 又因为， 故. （2）由（1）可知，， 则， 则. 变式2．（2026·广西南宁·一模）已知数列的前n项和（p为常数），且． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 【详解】（1）因为，解得， 故， 故当时，， 又，故也满足， 综上，通项公式为； （2）， 故， 所以 . 方法五 倒序相加法 1. 倒序相加法 倒序相加法是数列求和的经典方法，核心灵感源于等差数列求和公式的推导，专门用于解决「首末两项之和为定值」的数列求和问题（即 “对称和相等” 的数列）.其本质是通过 “正序排列 + 倒序排列”，将数列各项两两配对，利用配对和为常数的特点快速求和. 2. 倒序相加法的处理步骤 （1）写出正序：. （2）写出倒序：. （3）两式相加： （4）若数列在满足的情况下，则. （5）所以 例1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等比数列，若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．1013 B． C．2023 D．1022 【答案】A 【详解】由题设及韦达定理，得， 由等比数列性质，得， 设， 所以， 则， 得， 所以. 故选：A 例2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则 . 【答案】6078 【详解】因为是正项等比数列，所以，， 即， 由，则， 故， 故 ， 所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． 变式2．（25-26高二上·四川达州·月考）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为 . 【答案】13 【详解】由，因， 则 . 故答案为：13. 2 学科网（北京）股份有限公司 $