期末复习专题02 等比数列及其求和【7大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题02 等比数列及其求和 知识点1：等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 知识点2：等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 【注意】(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． 知识点3：等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 知识点4：等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 知识点5：等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 知识点6：等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 知识点7：等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 考点一 等比数列及其求和公式的基本量计算 考点二 等比中项的应用 考点三 利用等比数列的性质计算 考点四 等比数列的单调性的应用 考点五 等比数列片段和的性质及应用 考点六 等比数列奇数项或偶数项的和 考点七 等比数列应用 考点一 等比数列及其求和公式的基本量计算 1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 3．（2026·河南南阳·三模）已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 考点二 等比中项的应用 7．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 9．（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 11．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知等差数列的公差为2，前项和为，若成等比数列，则___． 12．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 考点三 利用等比数列的性质计算 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 14．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 15．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知等比数列，其中，，则（   ） A．-8 B．8 C． D．64 16．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知是各项均为实数的等比数列，，则（    ） A．-1 B．1 C．-1或1 D．2 17．（2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于________． 18．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在正项等比数列中，已知，则_____． 考点四 等比数列的单调性的应用 19．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．（24-25高二下·黑龙江·阶段检测）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 21．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．（25-26高三下·陕西·阶段检测）（多选）记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 24．（25-26高二下·河南南阳·期中）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 考点五 等比数列片段和的性质及应用 25．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，，则________． 26．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设等比数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．127 B． C． D．255 27．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知公比不为1的等比数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 28．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 29．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 30．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 考点六 等比数列奇数项或偶数项的和 31．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 32．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 33．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 34．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 35．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 36．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 考点七 等比数列应用 37．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 38．（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 39．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 40．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·广西百色·阶段检测）已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 2．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）在等比数列中，，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）设等比数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 6．（25-26高二下·北京·期中）等比数列中，，是方程的两根，则等于（   ） A． B．4 C． D．以上都不对 7．（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 8．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·甘肃白银·三模）（多选）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川成都·三模）（多选）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列的前项和为 12．（25-26高一下·上海·期中）等比数列中，则首项=___________． 13．（2026·山东聊城·三模）等比数列中，，，则________． 14．（2026高二·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 15．（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 16．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等比数列及其求和 知识点1：等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【注意】等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 知识点2：等比中项 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab． 【注意】(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． 知识点3：等比数列的通项公式 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f (x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【注意】(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【注意】(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列． (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． (3)等比中项法：若＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列． 知识点4：等比数列的性质 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 3．由等比数列构造(衍生)新数列 (1)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． (2)若{an}是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是． (3)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 【注意】(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，性质2可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)下标等差时所取项构成等比数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． (4)在等比数列{an}中，依次每k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． 知识点5：等比数列的前n项和公式 1．等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ 2．推导等比数列前n项和的方法叫做错位相减法．该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 【注意】(1)用等比数列前n项和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论； (2)公式一中的n表示的是所求数列的项数； (3)公式二中，an表示数列的最后一项． (4)利用an＝a1qn-1可以实现两个公式的相互转化． 知识点6：等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)，即Sn是n的指数型函数． (2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数． 【注意】(1)Sn＝Aqn－A(q≠1)时，{an}是首项为(Aq－A)，公比为q的等比数列． (2)等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数． 知识点7：等比数列前n项和的性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，＝q． (2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列(n为偶数且q＝－1时除外)，公比是qn． 【注意】当q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…不是等比数列；当q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是等比数列． 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)“片段和”性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，公比为qn，要注意q＝－1且n为偶数时不适用． 考点一 等比数列及其求和公式的基本量计算 考点二 等比中项的应用 考点三 利用等比数列的性质计算 考点四 等比数列的单调性的应用 考点五 等比数列片段和的性质及应用 考点六 等比数列奇数项或偶数项的和 考点七 等比数列应用 考点一 等比数列及其求和公式的基本量计算 1．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列是各项都为正数的等比数列，若，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用等比数列通项公式，将已知条件转化为含和公比的方程组，消元求解出，再回代求出，进而计算. 【详解】设公比为，则由得，由得， 所以，解得或（舍）或（舍）， 由得，所以. 2．（2026·山西·模拟预测）在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 3．（2026·河南南阳·三模）已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，， 由得， 即，解得或－1（舍）， 所以． 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）记为正项等比数列的前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由数列是正项等比数列可知，. ∵ 若，则，，此时，与矛盾，故. ∵ ，且等比数列前项和公式为， ∴ ， ∵ ，，故可约去，得， ∵ 且，得. ∵ ， ∴ ，解得， ∴ . 5．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 6．（2026·四川资阳·模拟预测）已知为等比数列的前n项和，，，则（   ） A．152 B．162 C．165 D．172 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，则， 解得，所以. 考点二 等比中项的应用 7．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 8．（2026·湖南长沙·三模）公差不为0的等差数列的前n项和为，若 且成等比数列，则（    ） A．22 B．20 C．18 D．16 【答案】A 【分析】由等差数列前项的性质求得，再根据等差数列通项公式的变形表示出，由等比数列的性质求得，从而可得数列的项． 【详解】设的公差为， 由得，所以，， 又成等比数列，所以，所以， 因为，所以， 所以． 9．（2026·安徽合肥·二模）若是，的等差中项，是，的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项和等比中项可求答案. 【详解】因为是，的等差中项，所以，即； 因为是，的等比中项，所以，即，所以. 10．（25-26高二下·吉林长春·期中）在正项等比数列中，是方程的两个根，则的值为___________ 【答案】 【分析】根据韦达定理及等比数列的性质求解即可. 【详解】由是方程的两个根，得，. 由等比数列的性质可得，， 又为正项数列，所以. 故. 11．（25-26高二下·河南驻马店·期中）已知等差数列的公差为2，前项和为，若成等比数列，则___． 【答案】 【详解】因为等差数列的公差为，且成等比数列， 所以，即，解得， 故． 12．（25-26高二下·四川泸州·阶段检测）在等比数列中，，，则（   ） A．36 B． C． D．6 【答案】D 【详解】在等比数列中，因为，所以，即， 所以，又因为与同号，所以. 考点三 利用等比数列的性质计算 13．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正项等比数列的前项积为， 且，， 则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据题意，利用等比数列的性质和通项公式的基本量的运算，求得和公比为，进而求得的值. 【详解】由等比数列的性质，可得， 因为，可得，即，所以， 又因为，可得， 所以等比数列的公比为，所以. 14．（24-25高三上·四川成都·阶段检测）等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比数列性质即可求出公比. 【详解】因为数列为等比数列，则， 即，解得. 故选：D. 15．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知等比数列，其中，，则（   ） A．-8 B．8 C． D．64 【答案】A 【分析】利用等比中项，由等比数列的性质求解即可. 【详解】方法一：因为，所以. 又因为等比数列隔项同号，所以. 方法二：设等比数列的公比为，则， 所以，所以. 所以. 故选：A. 16．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知是各项均为实数的等比数列，，则（    ） A．-1 B．1 C．-1或1 D．2 【答案】B 【详解】根据题意，. 设的公比为q，则，所以. 17．（2025高二上·河北承德·专题练习）在等比数列中，已知，，则等于________． 【答案】4 【分析】根据等比数列性质可得，进而可求. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得（负值舍去）， 所以. 故答案为：4. 18．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在正项等比数列中，已知，则_____． 【答案】 【分析】根据题设，利用等比数列的性质先得出，再结合即可求解． 【详解】由，则，得， 由题意知，故， 所以． 故答案为： 考点四 等比数列的单调性的应用 19．（2026·重庆渝中·模拟预测）在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 20．（24-25高二下·黑龙江·阶段检测）已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 21．（2026·北京石景山·一模）数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 22．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等比数列的公比为，前项和为，则“”是“数列单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列的前项和， 当“”，若时，则， 因为，所以随着的增大而增大，随着的增大而减小， 又，所以随着的增大而减小， 即可得数列单调递减，因此充分性不一定成立； 当数列单调递增，若，，则， 因为，所以随着的增大而减小，随着的增大而增大； 又，，所以随着的增大而增大， 即数列单调递增，此时， 所以“数列单调递增”推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“数列单调递增”的既不充分也不必要条件. 23．（25-26高三下·陕西·阶段检测）（多选）记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当取得最小值时， C．是递增数列 D．使的的最小值为 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件联立方程求出等比数列的首项与公比，再分别分析各选项：利用通项公式验证A；通过指数转化将前项积转化为二次函数形式，求对称轴判断B；根据公比大于且首项为正判断单调性验证C；通过解指数不等式得到的范围，确定最小值验证D． 【详解】设的公比为， 对于A，由题意可得， 解得，A正确； 对于B，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， B错误； 对于C，，故是递增数列，C正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为，D正确． 24．（25-26高二下·河南南阳·期中）（多选）已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列正确的是（    ） A． B． C．当时，取最大值 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质推导得，再逐项分析判断. 【详解】由等比数列的各项均为正数，得， 由，得； 由，得，则， 且，，当时，取最大值，BC正确，A错误； 由，即，D正确. 考点五 等比数列片段和的性质及应用 25．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知等比数列的前项和为，若，，则________． 【答案】 【详解】由等比数列前n项和的性质可知，仍然成等比数列， 所以可看作是这个数列的前4项的和， 由，可知. 26．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设等比数列的前项和为，若，，则等于（   ） A．127 B． C． D．255 【答案】D 【分析】结合已知条件及等比数列的性质求出公比，代入求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 因为，， 所以，解得， 所以． 27．（25-26高二下·江西抚州·期中）已知公比不为1的等比数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】设出公比，根据等比数列的关系式进行求解，得到答案 【详解】设数列的公比为， 显然成等比数列，公比为， 因为，所以， 故． 所以，则， 又，故，所以， 所以． 28．（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）设等比数列的前项和为，若，则（    ） A．78 B．75 C．69 D．87 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和的性质，成等比数列求解. 【详解】设，因为是等比数列， 所以成等比数列， 得，由， 即， 化简可得，即， 解得或， 当，，则， 因为，所以； 当，， 得，不符，舍去. 29．（25-26高二下·内蒙古赤峰·阶段检测）设等比数列的前n项和为，若，，则 （ ） A．24 B．32 C．36 D．108 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为.若，，则， 故， ，所以， 故. 30．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）在等比数列中，为其前n项和，若，，，则的值为（　　） A． B． C．20 D．30 【答案】B 【分析】先分析出，然后由条件求出及的值，再根据在等比数列中仍构成等比数列，列出方程，即可求出. 【详解】在等比数列中,若，则， 由，知显然不成立，故. 将代入，解得，进而可得. 设，在等比数列中，因为仍构成等比数列， 所以，即， 整理可得，即，解得或. 因为，所以. 考点六 等比数列奇数项或偶数项的和 31．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. 32．（2026高二·全国·专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的倍，前项之积为，则_____. 【答案】12 【详解】求出等比数列的公比，结合等比数列的性质可求出及，即可求得的值. 【分析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的倍， 所以，故， 设等比数列的公比为，设该等比数列共有项， 则，所以， 因为，可得，因此. 33．（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. 34．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 35．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. 36．（2026·山东·一模）在等比数列中，已知，且公比，则该数列前100项的和是（    ） A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故选：B 考点七 等比数列应用 37．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为，， 由题意，是以首项，公比的等比数列， 则工作了10天，他领到的总报酬. 38．（2026高二·全国·专题练习）某AI语言模型计费规则：前1000分钟免费使用，超出1000分钟的部分每分钟收费0.001元（不足1分钟的按1分钟收费）．某人因工作需要多天使用该AI模型，若第一天使用300分钟，以后每一天使用的时间比前一天使用时间的还多50分钟．若该用户多天使用该AI模型后的总费用不超过1元，则最大使用天数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】设该用户第天使用的分钟数为，由题意可得，构造数列结合等比数列通项公式及前项和公式可得，结合题意列不等式，根据单调性解不等式求解. 【详解】设该用户第天使用的分钟数为， 由题意可得，， 则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设数列的前项和为，则， 要使总费用不超过1元，的整数部分不超过即， 则，化简可得 当，因为随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大， 当时，成立， 当时，，则，故， 所以要使总费用不超过1元，则最大使用天数为8天. 39．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）小李3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元.当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为0.5%，25个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为________元．（最后结果保留3位有效数字，参考数据：） 【答案】86.9 【详解】设每月还款元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带利总共为元， 则， 可得， 整理得. 40．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到所有这些三角形的面积可构成等比数列，结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等边三角形的边长为，则面积为：. . 每次取各边中点作新三角形，新三角形为等边三角形，边长为原三角形的，则面积为原三角形的. 所以所有这些三角形的面积构成的数列为首项为，公比为的等比数列， 设所有这些三角形的面积之和为，则. 因为，所以当时，，则， 所以所有这些三角形的面积之和将趋近于. 1．（25-26高二下·广西百色·阶段检测）已知实数是3与9的等比中项，则（   ） A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】已知是3与9的等比中项， ，解得． 2．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知等比数列的首项，公比为，则“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】分别证明充分性和必要性. 【详解】根据题意，等比数列中， 若数列为单调递增数列， 则，由于， 则，即或， 当时，，即数列为单调递增数列， 当时，数列正负交替出现，不是单调数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的不充分条件； 若数列为单调递增数列，因为，则，所以， 则，即数列为单调递增数列， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要条件， 所以“数列为单调递增数列”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件. 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）在等比数列中，，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】由题意知， 所以，所以． 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5．（25-26高二下·广东佛山·期中）设等比数列满足，则（    ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可得，， 所以. 方法二：设等比数列的公比为， 由题可得，，解得. 所以. 6．（25-26高二下·北京·期中）等比数列中，，是方程的两根，则等于（   ） A． B．4 C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到的值，根据的值的正负判断出的符号，利用等比数列的通项公式结合的符号得到的符号，利用等比数列的性质求出. 【详解】，是方程的两根， ， ，同号， ，同负， ，，同号，， 等比数列，，，故选：A. 7．（2026·广东茂名·二模）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用等差、等比数列的项的对称性性质，先求出、的值，再代入待求式计算即可. 【详解】已知数列是等差数列，数列是等比数列， 则，， 解得，进而，因此. 8．（25-26高二下·重庆·期中）等比数列的前项和为，若，则实数（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】求出，根据与的关系求出数列通项，满足数列通项即可解得实数，验证满足等比数列即可. 【详解】当时，， 当时，. 依题意，时也应该满足，则，解得. 当时，，，满足为等比数列，所以. 9．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）（多选）已知等比数列的前项和为，公比为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，又，则，所以，A项正确； 又因，则，进而， 所以，B项正确； ，C项正确； ，D项错误. 10．（2026·甘肃白银·三模）（多选）记等比数列的前项和为，若，，公比，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式化简条件依次判断选项即可. 【详解】若，则，故A正确； 所以， 化简得：，解得：或（舍去），故B正确； 所以，故C错误； ，， 所以，故D正确； 11．（2026·四川成都·三模）（多选）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件求出数列的通项公式，验证即可判断AB，再由等比数列的定义判断C，利用分组求和判断D. 【详解】设等差数列的公差为. 由题意可得，，解得，所以. 对于A； ，故A错误； 对于B；因为 ，所以，故B正确； 对于C；因为，所以.因为 ，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D；因为，所以 ，所以数列的前项和为 ，故D正确. 12．（25-26高一下·上海·期中）等比数列中，则首项=___________． 【答案】 【分析】结合等比数列的通项公式即可求出结果. 【详解】因为，所以. 13．（2026·山东聊城·三模）等比数列中，，，则________． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为. ∴ ，，， 则 ， ∵ ，， ∴ 代入得 ，解得，即， 将代入，得，解得， ∴ . 14．（2026高二·全国·专题练习）已知各项均为正数的数列满足对任意的正整数都有，，则_____. 【答案】/ 【分析】采用赋值法可证得数列为等比数列，从而求得或，结合等比数列通项公式或等比数列性质可求得结果. 【详解】方法一：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， ，， . 方法二：取，则，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， 取，则，又，； . 15．（2025·上海·模拟预测）设为各项均为正数的等比数列的前项和，若，则________． 【答案】 9 【分析】先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式化简所求比值后代入计算结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为，则，首项， 因为，，所以由得，又，则整理得 ， 解得或，又，故， 则. 16．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，每月的8日还款一次，月利率为个月还清．每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为_______元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：） 【答案】 【详解】设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息总共为元， 则，可得， 整理可得，所以每月还款金额为元． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $