山东省泰安市泰山区2025-2026学年高二下学期期末押题数学模拟练习

**基本信息** 高二期末押题模拟卷，以函数、概率统计等核心知识为载体，通过统计案例分析、导数应用等题设计，考查数学建模、逻辑推理与数据分析素养，适配期末综合能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|集合运算、导数几何意义、函数图象|基础题梯度分布，如第2题导数切线结合函数性质| |多选题|3题18分|二项式定理、概率分布、函数奇偶性|选项分层设计，如第10题综合考查超几何分布与期望方差| |填空题|3题15分|分段函数求值、条件概率、函数零点|注重知识交汇，如第14题结合导数与函数零点讨论| |解答题|5题77分|统计案例（列联表与独立性检验）、导数单调性与极值、概率分布列|情境真实且综合，如第18题以体育锻炼达标分析考查数据分析，第19题导数综合题分参数讨论单调性，体现逻辑推理|

山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末押题模拟练习 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若直线是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 5．（本题5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D，E五块区域，现有5种不同的花供选种，要求在每块区域里种一种花，且相邻的2块区域种不同的花，则不同的种法总数为（    ） A．420 B．380 C．360 D．320 6．（本题5分）某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，若成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知在一定范围内，水稻对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽水稻实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：cm）与氮元素吸收量（单位：mg/天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及经验回归方程为，则（   ） A． B．变量和变量的样本相关系数 C．当时，残差为0 D．水稻根长度每增加1cm，一天的氮元素吸收量一定增加mg 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（   ） A． B．各项系数之和为 C．第3项的二项式系数最大 D．常数项为 10．（本题6分）下列说法正确的有（   ） A．某学校有2025名学生，其中男生1013人，女生1012人，现选派10名学生参加学校组织的活动，记男生的人数为X，则X服从超几何分布 B．若随机变量的均值，则 C．若随机变量的方差，则 D．随机变量，则 11．（本题6分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．，都有 C．函数有两个零点 D．函数在区间（-1，0）上单调递减 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数则__________． 13．（本题5分）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，则______. 14．（本题5分）若函数有三个零点，则a的取值范围为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知集合. (1)用区间表示集合； (2)若，求a，b的取值范围. 16．（本题15分）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 17．（本题15分）已知函数的图象过坐标原点，且无限接近直线但又不与该直线相交． (1)解关于t的不等式； (2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人．学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查． 将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 (1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） (2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） 附：，其中：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．（本题17分）已知函数，，（）. (1)函数在处切线方程，求的值. (2)设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年高二下学期期末押题模拟练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A A D C ABD ABD 题号 11 答案 AD 1．B 【分析】解不等式得集合，再确定集合，然后由交集定义计算. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】根据导数几何意义，求导且导数值为2，从而得到切点，代入到曲线中，即可求参数. 【详解】根据题意，， 所以切点为，所以. 故选：C. 3．B 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 4．D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 5．A 【分析】分类讨论，按照所种的花的种数考虑，根据分步乘法以及分类加法原理，即可求得答案 【详解】由题意可分三类情况：种三种花时，种同种花，有种种法； 种四种花时，其中之一相对的区域种同种花，有种种法； 种五种花有种种法，故共有（种）. 故选：A 6．A 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 7．D 【分析】先判断函数关于对称，然后对函数求导得出在上单调递增，在上单调递减，最后根据单调性和对称性列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 所以函数关于对称. 当时，，求导得. 因为，所以，所以，又，所以. 所以在上单调递增，根据对称性，那么函数在上单调递减， 所以若成立，根据单调性和对称性可得 ，即， 平方得，化简得， 解得. 故选：D. 8．C 【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断A；根据回归直线一次项系数判断B；计算残差判断C；由回归直线的实际意义判断D. 【详解】由题设，所以，可得，故A错误； 所以，又，即与正相关，则样本相关系数，故B错误； 由时，，残差为，故C正确； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加个单位，故D错误. 故选：C 9．ABD 【分析】根据二项式系数和的性质列式求得，判断A，令得各项系数之和判断B，根据二项式系数的性质判断C，求出展开式的通项，令得，代入即可求常数项判断D. 【详解】根据各项的二项式系数之和为64，可得，解得，A正确． 令，则各项系数之和为，B正确． 因为，所以第4项的二项式系数最大，C错误． 的展开式的通式为， 令得，故所求的常数项为，D正确． 故选：ABD 10．ABD 【分析】根据超几何分布判断A，应用数学期望及方差性质计算判断B，C，应用二项分布计算概率判断D. 【详解】A选项：根据超几何分布的定义，可知A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：因为，所以， ， 根据组合数的对称性可知，故D正确， 故选:ABD． 11．AD 【分析】设，则，得到，可判定A正确；利用导数求得函数单调性，得出函数的值域，可判定B不正确；令，求得函数的零点格式，可判定C错误；当时，求得恒成立，可判定D正确. 【详解】对于A中，设，则， 因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 则，所以A正确； 对于B中，当时，，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极小值，也是上最小值， 所以，函数在满足， 又因为函数为奇函数，图象关于原点对称，且， 所以函数的值域为，所以B不正确； 对于C中，当时，，令时，可得； 当时，，令时，可得； 又因为函数是定义在上的奇函数，可得， 综上可得，函数有三个零点，所以C错误； 对于D中，当时，函数，可得， 所以函数在区间上单调递减，所以D正确. 故选：AD. 12．/0.5 【分析】利用分段函数，借助对数运算性质直接进行求值即可． 【详解】因为，所以． 故答案为：. 13．/ 【分析】由对立事件的概率关系求出，再由全概率公式求得，利用条件概率公式求解. 【详解】，， 又， . 故答案为：. 14． 【分析】分类讨论分段函数结合二次函数的零点及求出导函数得出单调性及函数极值求解参数. 【详解】当， 时，，且有两个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，且有1个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，所以不存在零点； 所以时，有2个零点； 时，有1个零点； 时，有0个零点； 因为函数有三个零点， 则当时，有2个零点，则有1个零点； 当时，有1个零点，则有2个零点； 当时，有0个零点；则有3个零点； 当，单调递增， 当单调递增至多有1个零点，不可能有3个零点；所以不合题意； 当 单调递减；单调递增； ， ， 且的极小值为， 所以至多有一个零点， 当时，设，，单调递减， ， 所以有一个零点，符合函数有三个零点； 故答案为： 15．(1) (2). 【分析】（1）解分式不等式确定集合； （2）分，和确定集合，再由，所以，确定a，b的取值范围. 【详解】（1）由，有，解得或， 所以. （2）因为，所以， 不等式可化为. 时，则，解得但不满足，舍去， 时，因为但，不满足，舍去， 时，解得或， 因为，所以解得， 所以. 16．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件，计算函数解析式，判断函数定义域和单调性，根据函数单调性，解不等式. （2）很具函数单调性，写出不等式，根据不等式恒成立，换元求出代数式的最大值，判断参数的范围. 【详解】（1）由题意知为函数的渐近线，所以， 因为，解得， ，显然是定义在上的单调递增函数，      所以关于的不等式，即， 可得，解得，所以解集为. （2）由题意得，即， 化简得， 令，因为，所以， 代入可得， 由，得， 所以的取值范围为. 18．(1)表格见解析，认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关 (2)认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论； （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论. 【详解】（1）依题意，列联表如下： 是否达标 学段 初中 高中 达标 36 28 64 不达标 24 12 36 合计 60 40 100 零假设为：学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． 根据列联表，=， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则，=， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 19．(1)； (2)①答案见解析；②. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定切线求出的值. （2）①求出及导数，再分类求出其单调性；②把代入，求出导数，结合极值点及韦达定理列式求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 由函数在处切线方程，得，所以. （2）①当时，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，方程，， 当时，，恒成立，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，求导得， 由有两个极值点，得是方程的两个不等正实根， ，，则， 因此，，令函数， 求导得，函数在上单调递增，，即， 所以的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $