精品解析：2026年内蒙古自治区通辽第五中学中考模拟预测数学试题

2025—2026学年九年级下学期中考模拟预测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 3. 春节是中华民族流传千年的传统佳节，民间向来有贴福字、贴春联、挂灯笼等习俗，以此来抒发对新年的衷心祝福．如图，在平面直角坐标系中，，是两处灯笼的位置，若点的坐标为，将图形整体向左平移1个单位长度，再关于轴对称得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ） A. 喷洒阶段的函数解析式为 B. 喷洒完成后，当时，药液浓度为 C. 土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D. 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 8. 为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线，直线扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 11. 如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 12. 如图，在中，是的角平分线，在和上取点和点，使，在上取点，使，作，，延长交于点，交于点，则① ② ③ ④．以上结论一定正确的是_________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程、计算 （1）解方程：； （2）计算：． 14. 某校本学期开展“紫丁香校本课程”，学校就学生对“校本课程”的满意度进行问卷调查，现分别从初一年级、初二年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校本课程”的满意度，打分情况如下（单位：分）： 初一年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 初二年级：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初一年级 8 0.8 初二年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）综合表中数据，你认为是初一年级的学生还是初二年级的学生对“校本课程”的满意度更为一致？请说明理由； （3）若对“校本课程”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比大于等于，则该校可被评为“校本课程示范学校”．已知该中学初一年级有800名学生，初二年级有600名学生，请估计该校能否被评为“校本课程示范学校”． 15. 2026年某快递驿站使用无人驾驶配送货物，配送总次数与时间（月）存在函数关系，1月到3月每月配送10次，4月到9月每月配送6次，10月到12月配送总次数与时间（月）满足，且取正整数． （1）用函数解析式表示1月到12月与的关系； （2）求第11个月的配送次数为多少次； （3）若全年（12个月）需完成至少150次配送，问能否达成目标． 16. 如图，为的直径，点为延长线上一点，点为圆上一点，连接，点在线段上，作交于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）在（2）的条件下，连接，求的长． 17. 如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） （1）如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； （2）为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； （3）加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 18. 在矩形中，，，点是射线上一点． （1）如图1，连接，，若，求的长； （2）如图2，连接，作关于的轴对称图形，得到（点，的对称点分别为，），若对称后，点在的延长线上． ①连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②在（1）的条件下，连接，与交于点，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年九年级下学期中考模拟预测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 若分式的值为0，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】分式值为0需满足分子为0，同时分母不为0，据此计算即可得到x的值 【详解】解：∵分式的值为  ∴  解得，且满足  ∴的值为 3. 春节是中华民族流传千年的传统佳节，民间向来有贴福字、贴春联、挂灯笼等习俗，以此来抒发对新年的衷心祝福．如图，在平面直角坐标系中，，是两处灯笼的位置，若点的坐标为，将图形整体向左平移1个单位长度，再关于轴对称得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】点的坐标平移的法则：左减右加，上加下减；关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴将图形整体向左平移1个单位长度，点的坐标变为，即， ∴再关于轴对称得到点，则点的坐标为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接合并，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 5. 如图，将一张长方形纸条折叠，若边，则翻折角与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，再根据折叠和平角定义可求出． 【详解】解：如图： 由翻折可知，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 6. 如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 7. 如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ） A. 喷洒阶段的函数解析式为 B. 喷洒完成后，当时，药液浓度为 C. 土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D. 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 8. 为进一步美化校园，某园艺小组设计了菱形花田，其中，菱形边长为．现安排一名同学从点出发，沿匀速行走巡查花田，行走的路程为．该同学每到一处，都作一条垂直于的直线，直线扫过菱形花田的阴影部分面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分3种情况，求出函数解析式，进行判断即可. 【详解】解：∵菱形，，边长为， ∴， 作，则， ∴， 作，同理：， 当时，如图，则， 在中，， ∴，当时，； 当时，如图，则， ，当时，； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴， 当时，； 综上：能反映与之间函数关系的图象是 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 学校元旦联欢会设置盲盒抽奖游戏，盲盒内放有三枚纪念币，分别刻有数字5，15，25．参与者一次性抽取两枚纪念币，抽到的两枚纪念币数字之和为40的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先列举一次性抽取两枚纪念币所有等可能的结果， 再找出数字之和为的结果个数， 最后根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，一次性抽取两枚纪念币，所有可能的结果为：，，，共种， 其中两枚纪念币数字之和为的结果只有种，根据概率公式可得． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点是一个光源，横杆两端的坐标分别为，，则横杆在轴上的投影长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如解图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点，证明，根据相似三角形对应边上的高线比等于相似比，进行求解即可. 【详解】解：如图，横杆在轴上的投影为，作轴，交于点， ∵点，横杆两端的坐标分别为，， ∴，轴， ∴，，，， ∴， ∴. 11. 如图，它是一个按某种规律排列的数阵．根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）_________． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第的第个数为，即，进而求出第（是整数，且）行从左向右数第个数即可. 【详解】解：观察可知，数列是从1开始的连续的整数的算术平方根，且第行的第个数为，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是. 12. 如图，在中，是的角平分线，在和上取点和点，使，在上取点，使，作，，延长交于点，交于点，则① ② ③ ④．以上结论一定正确的是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明，得到，判断①，三角形的外角的性质，角的和差关系，推出 判断②，利用角平分线的定义，结合三角形的外角的性质，推出，判断④即可. 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，，且， ∴，故②正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故④正确； 条件不足，无法得到 ，故③错误； 综上：正确的有①②④. 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解方程、计算 （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）或 （2）4 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 或； 【小问2详解】 解： ． 14. 某校本学期开展“紫丁香校本课程”，学校就学生对“校本课程”的满意度进行问卷调查，现分别从初一年级、初二年级各随机抽取10名学生，统计他们对“校本课程”的满意度，打分情况如下（单位：分）： 初一年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10． 初二年级：9，7，9，6，10，6，8，，9，7． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 平均数 中位数 众数 方差 初一年级 8 0.8 初二年级 8 8.5 9 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________，_________； （2）综合表中数据，你认为是初一年级的学生还是初二年级的学生对“校本课程”的满意度更为一致？请说明理由； （3）若对“校本课程”的满意度的评分大于或等于8分的学生占比大于等于，则该校可被评为“校本课程示范学校”．已知该中学初一年级有800名学生，初二年级有600名学生，请估计该校能否被评为“校本课程示范学校”． 【答案】（1）8，8，9 （2）初一年级的满意度更为一致，理由如下： ∵，初一年级的方差更小， ∴初一年级的满意度更为一致； （3）该校能被评为“校本课程示范学校” 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义计算即可得出结果； （2）根据方差分析即可得出结果； （3）先求出初一、初二对“校本课程”的满意度的评分大于或等于8分的学生，再结合题意比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：初一年级10名学生得分按照从小到大排列为：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10，位于第个和第个的得分为8，8，故中位数， 初一年级10名学生得分出现次数最多的为，故众数， ，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， ， ∵， ∴该校能被评为“校本课程示范学校”． 15. 2026年某快递驿站使用无人驾驶配送货物，配送总次数与时间（月）存在函数关系，1月到3月每月配送10次，4月到9月每月配送6次，10月到12月配送总次数与时间（月）满足，且取正整数． （1）用函数解析式表示1月到12月与的关系； （2）求第11个月的配送次数为多少次； （3）若全年（12个月）需完成至少150次配送，问能否达成目标． 【答案】（1） （2）第11个月配送次数为8次 （3）不能达成目标 【解析】 【分析】（1）分3种情况，进行讨论求解即可； （2）求出和时的函数值，作差即可； （3）求出时的函数值，进行判断即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，前3个月总配送次，剩余个月每月6次， 故； 当时，由题意，； 综上：． 【小问2详解】 解：当时，满足，（次）， 当时，满足，（次）， （次）， 答：第11个月配送次数为8次； 【小问3详解】 解：当时，满足， （次）， ， 答：不能达成目标． 16. 如图，为的直径，点为延长线上一点，点为圆上一点，连接，点在线段上，作交于点，交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积； （3）在（2）的条件下，连接，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵为半径， ∴是的切线； （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，平行线的性质，等边对等角，结合等量代换推出，即可得证； （2）根据，设，则，进而求出，的长，证明，求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （3）连接，垂径定理得到，得到垂直平分，进而得到，根据，得到，在中，求出的长即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，， 设，则， ∴，． 由（1）得， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得． 由（1）得， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，连接， ∵，点为圆心， ∴垂直平分，， ∴． 在中，， 由（1）得， ∴． ∴在中，， ∴， ∴， ∴． 17. 如图1，2是水槽水龙头的侧面简易示意图，矩形为水槽侧面，宽，深，排水口位于的中点．在水槽边正上方安装水管，水龙头，水管，．按水龙头的安装要求，水流需直接对准排水口确保水快速排入管道，水流的形状近似看作线段．（参考数据：，，） （1）如图1建立平面直角坐标系，求点和点的坐标； （2）为方便儿童洗手，在点加装喷水装置如图2，从点喷出的水流形状近似可以看作抛物线．已知当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，求出抛物线的表达式； （3）加装喷水装置后，打开水龙头时水流是否会淋到水槽外，请说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）解：会淋到水槽外． 理由如下： ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴当时，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴会淋到水槽外． 【解析】 【分析】（1）过点向作垂线交于点，解，求出的长，进而求出点和点的坐标即可； （2）求出顶点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）求出时的函数值，进行判断即可. 【小问1详解】 解：过点向作垂线交于点，如图， ∵， ∴． 在中，， ∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∵当水流与水槽边的距离为时，水流达到最高，最高高度为，， ∴抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线表达式为； 【小问3详解】 略 18. 在矩形中，，，点是射线上一点． （1）如图1，连接，，若，求的长； （2）如图2，连接，作关于的轴对称图形，得到（点，的对称点分别为，），若对称后，点在的延长线上． ①连接，判断四边形的形状，并说明理由； ②在（1）的条件下，连接，与交于点，求的长度． 【答案】（1） （2）四边形是菱形． 理由如下： 由对称的性质可知，，， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形求出的长，进而求出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）根据矩形的性质结合对称的性质证明，再由等角对等边可证得，等量代换证明，即可得证；证明，得到，进而得到，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ，，， ， 在中，， ， ， 在中，； 【小问2详解】 解：略； 如图，连接， 由对称的性质可知，，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ． ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $