精品解析：2026年内蒙古自治区包头市第二十四中学中考模拟预测数学试题

包头市第二十四中学校三模试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分共24分．） 1. 如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（ ） A. 价 B. 价 C. 价 D. 价 2. 山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ） A. B. C. D. 5. 三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图， 是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线 交于点E，光线交 于点G．已知 是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在 和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上，与 相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 2026年米兰—科尔蒂纳丹佩冬残奥会于3月6日至3月15日举行．小婷准备从A．越野滑雪，B．冬季两项，C．高山滑雪，D．单板滑雪，E．轮椅冰壶这五个项目中选择两个项目进行了解，她用标有A，B，C，D，E的五张纸牌（除牌面字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌上，小婷从中随机一次性摸出两张，摸到标有A和E的纸牌的概率为______． 10. 如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 11. 如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点， 是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的最高可为______． 12. 如图，在 中，，，点D是 上一点，且，过点B作 的垂线分别交 ， 于点E和点F，则的长为______． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 14. 晋城翠绿茶是一种品质优良的绿茶，以其色泽翠绿、香气清雅、味道爽口等特点著称．某翠绿茶加工厂为提高分装效率，计划增购一台包装机，现有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：），设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量折线统计图 信息二：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量统计表 统计量 平均数 中位数 众数 A包装机 500.1 a 502 B包装机 500.4 500.5 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，________； （2）由统计图可知，________包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）； （3）若B包装机试用时共包装了600袋翠绿茶，估计其中质量为标准质量的有________袋； （4）综合以上信息，你认为哪台包装机包装翠绿茶的情况较好？请说明理由． 15. 我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多元，分别求出这两款车每千米的行驶费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其他费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 16. 如图， 是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线， 交于点C，连接，点D在上，过点D作，交 于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 17. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段 上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出 区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定 与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时 与的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 18. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在菱形纸片 中， ，，菱形纸片 沿对角线 剪开得到两个全等的三角形，将 绕点B顺时针旋转得到． （1）猜想验证：如图2，当点与点C重合时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探索：如图3，在旋转的过程中，当时，线段与线段 交于点O，求线段的长； （3）拓展延伸：在旋转的过程中，当直线与直线 垂直时，请直接写出线段的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第二十四中学校三模试题 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分共24分．） 1. 如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（ ） A. 价 B. 价 C. 价 D. 价 【答案】C 【解析】 【分析】根据题干给出的化合价与得失电子的关系推导即可． 【详解】解：如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出价． 2. 山西景点图标构建了“华夏古文明·山西好风光”的视觉符号体系．下列是我省四个旅游景区的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． 【详解】解：只有B选项文字上方的图案左右对折后两部分能够互相重合，是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：∵与不是同类项，不能合并，∴A计算错误． B选项：∵，∴B计算错误． C选项：∵，∴C计算错误． D选项：∵，∴D计算正确． 4. 五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 5. 三棱镜是一种截面呈三角形的光学仪器，具有独特的结构和光学性质．如图，是三棱镜的截面，一束平行光射向三棱镜，光线交 于点E，光线交 于点G．已知是等边三角形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点A作，则，，由 是等边三角形得，故． 【详解】解：如图，过点A作，则， ， ， 是等边三角形， ， ． 6. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中有所使用．如图1是一个圆形筒车的几何示意图，它按逆时针方向匀速旋转．设筒车的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m），在水面下则d为负数．若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间到下次盛水筒回到同一浮出水面位置，d与时间t（单位：s）之间的图象如图2所示，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2可得盛水筒到水面的最大距离，最小距离，设的半径为，圆心到水面的距离为，从而得，，即可解答； 【详解】解：从图2可得：盛水筒到水面的最大距离，最小距离， 设的半径为，圆心到水面的距离为， 当盛水筒在圆最高点时，到水面距离满足：， 当盛水筒在圆最低点时，到水面距离满足：， 整理得， 将两个等式相加，得，解得， 即的半径为． 7. 某城市的道路规划一段弧形转弯车道，交通运输部门在弯道内侧增设黄色隔离带．如图是抽象出来的几何示意图，米，，点C，点D分别在和上，米，则隔离带外侧的长比内侧的长多（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】利用弧长公式（n为弧对应的圆心角度数，r为弧所在圆的半径）来计算和的长，相减即可求解． 【详解】解：米， 米， 隔离带外侧的长比内侧的长多米． 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在小正方形的顶点上， 与 相交于点P，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由网格可知：，，，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由网格可知：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 9. 2026年米兰—科尔蒂纳丹佩冬残奥会于3月6日至3月15日举行．小婷准备从A．越野滑雪，B．冬季两项，C．高山滑雪，D．单板滑雪，E．轮椅冰壶这五个项目中选择两个项目进行了解，她用标有A，B，C，D，E的五张纸牌（除牌面字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌上，小婷从中随机一次性摸出两张，摸到标有A和E的纸牌的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图得到所有符合题意的等可能的结果数，再找到摸到标有A和E的纸牌的结果数，然后根据概率计算公式计算即可． 【详解】解：如图， 共有20种等可能的结果，其中摸到标有A和E的纸牌的结果有2种， ∴摸到标有A和E的纸牌的概率为． 10. 如图，点P是外一点，过P作的切线，切点分别为点A和点B，点C为圆上一点．若，则的度数为 °． 【答案】65 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质求出的度数，再利用同弧所对圆周角是圆心角的一半求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵是切线， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴． 11. 如图，物理课上同学们用如图的实验装置探究“拉力与斜面高度关系”，其中A，B是水平面上两个固定的点，是倾斜程度可以变化的斜面（斜面足够长）．同学们用弹簧测力计拉着适当大小的木块，沿斜面从B到C的方向做匀速直线运动，实验结果分别如图1，图2所示．由物理学知识可知，在弹簧的弹性限度内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（）的一次函数．若弹簧测力计的最大量程是，该实验装置高度h的最高可为______． 【答案】 【解析】 【分析】用待定系数法求出拉力F和h的函数解析式，再代入函数值，即可求解． 【详解】解：设拉力F和h的函数解析式为， 由题可得，，解得， ， ， F随h的增高而增大，则F取最大量程，h最高， 当时，，解得， 则该实验装置高度h的最高可为． 12. 如图，在中，，，点D是上一点，且，过点B作的垂线分别交， 于点E和点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点H，过点D作交 于点G，由题意可得，，，，，由勾股定理得，，，在中，利用等面积法得，由勾股定理得，，则，故是的中点，由可推得是的中点，因此是的中位线，故，由得，故，从而，设，则，，故，解得，，即． 【详解】解：如图，过点A作交于点H，过点D作交 于点G， ，，， ，，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 是的中点， 又， ， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 化简得，， 解得，，即． 三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13. 计算与化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先算，，，，再进行合并即可； （2）先通分，再算，再把两者相除即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 将代入：原式． 14. 晋城翠绿茶是一种品质优良的绿茶，以其色泽翠绿、香气清雅、味道爽口等特点著称．某翠绿茶加工厂为提高分装效率，计划增购一台包装机，现有A，B两台不同型号的包装机可供选择．试用时，从A，B两台包装机已包装好的产品中各随机抽取10袋测得每袋的实际质量（单位：），设定每袋的标准质量为，将所得数据进行收集整理，部分信息如下： 信息一：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量折线统计图 信息二：A，B两台包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量统计表 统计量 平均数 中位数 众数 A包装机 500.1 a 502 B包装机 500.4 500.5 b 请根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中________，________； （2）由统计图可知，________包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定（填“A”或“B”）； （3）若B包装机试用时共包装了600袋翠绿茶，估计其中质量为标准质量的有________袋； （4）综合以上信息，你认为哪台包装机包装翠绿茶的情况较好？请说明理由． 【答案】（1）500，501 （2）B （3）240 （4）①B型号包装机包装翠绿茶的情况较好， 理由如下： 从折线统计图可以看出，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量波动小于A型号包装机，则B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量更稳定， ∴B型号包装机包装的翠绿茶的情况较好； ②A型号包装机包装翠绿茶的情况较好，理由如下： 从平均数来看，A型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的实际质量的平均数为， ∵设定每袋的标准质量为， ∴A型号包装机包装的翠绿茶平均每袋的质量更接近标准质量， ∴A型号包装机包装翠绿茶的情况较好． 【解析】 【分析】（1）将A型号中的数据排列，然后即可求出中位数，B型号中的数据出现了5次且最多，即可求出众数； （2）由统计图可知，B型号包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定； （3）答案不唯一，视角不同，结果不同，从稳定角度看，B种更好，从平均数角度看，A型号更好． 【小问1详解】 解：A型号中的数据排列为：498，498，499，499，500，500，501，502，502，502， 故中位数； B型号中的数据出现了5次且最多，故众数； 【小问2详解】 解：从折线统计图的波动来看：A包装机的质量数据波动幅度更大，偏离标准质量的情况更多；B 包装机的质量数据波动幅度更小，整体更集中在附近．因此，B包装机包装的翠绿茶每袋的质量比较稳定． 【小问3详解】 解：由折线统计图可知，B型包装机抽取的10袋样品中，质量为标准质量的共有4袋． ∴600袋中质量为标准质量的袋数为：（袋） 答：估计其中质量为标准质量的有240袋． 【小问4详解】 略 15. 我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息： 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程： 千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程： 千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多元，分别求出这两款车每千米的行驶费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其他费用分别为元和元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其他费用） 【答案】（1）燃油车每千米行驶费用为元，新能源汽车每千米行驶费用为元 （2）每年行驶里程超过千米时，新能源汽车年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据题意得出 ，解方程求出 ，进而可得出答案； （2）设每年行驶里程为 千米，分别表示出燃油车和新能源汽车的年费用，根据买新能源汽车的年费用更低列不等式求出 的取值范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意列方程 ， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 燃油车每千米费用：（元） 新能源汽车每千米费用：（元） 答：燃油车每千米行驶费用为元，新能源汽车每千米行驶费用为元． 【小问2详解】 解：设每年行驶里程为 千米， 燃油车年费用：， 新能源汽车年费用：， ∵买新能源汽车的年费用更低， ∴， ， ， 解得：， 答：每年行驶里程超过千米时，新能源汽车年费用更低． 16. 如图， 是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线，交于点C，连接 ，点D在 上，过点D作，交于点F，作，垂足为点E．，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，， ， 在与中， ， ， ， 是的切线，点A为切点， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及解直角三角形． （1）通过证明三角形全等得到角相等，再结合切线的性质和等腰三角形的性质，证明半径与直线垂直，从而判定直线为圆的切线； （2）利用解直角三角形求出相关线段的长度，再通过证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质列出方程，求解圆的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，， ， ， ， ， 即的半径为． 17. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米， 的垂直平分线与抛物线交于点P，与 交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作 的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与 的长．为此，欣欣在图2中以 所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与 的长； （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值． 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米， 的长为2米 （3）矩形周长的最大值为米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键． （1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分 ，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可； （2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可； （3）由矩形周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵所在直线是 的垂直平分线，且， ∴． ∴点B的坐标为， ∵， ∴点P的坐标为， ∵点P是抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：． ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点D，E在抛物线 上， ∴设点E的坐标为， ∵，交y轴于点F， ∴，， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， 根据题息，得， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴． ∴， 答：的长为4米， 的长为2米． 【小问3详解】 解：如图矩形灯带为， ，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴， ∴，， 设直线 解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴直线 解析式为， 同理可得，直线的表达式， 设点、、、， 则矩形周长， 故矩形周长的最大值为米． 18. 综合与探究 问题情境：在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在菱形纸片 中， ，，菱形纸片 沿对角线 剪开得到两个全等的三角形，将绕点B顺时针旋转得到． （1）猜想验证：如图2，当点与点C重合时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）深入探索：如图3，在旋转的过程中，当时，线段与线段 交于点O，求线段的长； （3）拓展延伸：在旋转的过程中，当直线与直线垂直时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由四边形 是菱形和 得，又，故是等边三角形，故，由旋转性质和与重合得，，故四边形是菱形； （2）由题意得，在中，，，过点O作于点M，在中，，故，又 ，故，故，解得，在中，，故，故； （3）直线与直线垂直，旋转角有两种情况，分情况讨论，当时，，​​当时，． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：四边形 是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 由旋转性质得，，，， 当与重合时，， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在中，， 旋转角， ， 在中，，， 如图，过点O作于点M， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问3详解】 解：或，理由如下： 由题意得，旋转角是顺时针转的，， 如图，当，即时，过作交 于点M， 在中，， ， ， ， 在中，， 如图，当，即时，过作交 的延长线于点N， 在中，， ， ， ， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $