精品解析：湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题

2023年上期长沙市一中高一期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是虚数单位，复数，则是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 3. 为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（       ） A. 5人 B. 6人 C. 7人 D. 8人 4. 用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为（ ）． A. 12 B. C. D. 3 5. 在中，，，，则最长边（ ） A. B. C. 或 D. 6. 要得到函数的图象，需（ ） A. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B. 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） C 将函数图象上所有点向左平移个单位． D. 将函数图象上所有点向左平移个单位 7. 如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则（ ） A. B. C. D. 8. 一个质地均匀正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与对立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 下列有关复数说法正确的是（ ） A. 若复数，则 B. 若，则是纯虚数 C. 若是复数，则一定有 D. 若，则 10. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 11. 函数（A，，是常数，，，）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数 12. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（ ） A. B. 平面 C. 与平面所成角是 D. 与所成角等于与所成的角 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在我市今年高三年级期中联合考试中，某校数学单科前10名的学生成绩依次是： 这10名同学数学成绩的分位数是___________. 14. 在中，内角的对边分别为a，b，c，若，则___________. 15. 将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____. 16. 已知正四面体的棱长为，且，，，四点都在球的球面上，则球的体积为________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（）的最小正周期为. （1）求的值； （2）求函数的单调递减区间. 18. 已知复数（是虚数单位，），且为纯虚数（是的共轭复数） （1）求实数及； （2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 19. 新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试．现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于90分）． （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率． 20. 已知向量，． （1）求的坐标以及与之间的夹角； （2）当时，求的取值范围． 21. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A的大小； （2）若A角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值． 22. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值