精品解析：福建省师范大学附属中学、福州一中、三中2024-2025学年高二下学期期末联考数学试题

绝密★启用前 福州市福州三中 福州一中 福建省师范大学附属中学名校高二下学期适应性联考 数学 命题学校：福建省师范大学附属中学 审题人：林坦 2025.6 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．答题结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中，“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，曲线与，相邻三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的偶函数在上单调递增，且，若关于的不等式的解集为，求的最小值（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C双曲线 C. 若，则C的离心率为 D. 若，，则C上的点到焦点的最短距离为 11. 已知函数，是其导函数，若存在且，满足，则（ ） A. 与大小关系可通过单调性判断 B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为幂函数，且，则________． 13. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则________． 14. 已知方程有且仅有四个不相等的正实数根，且其中两根之和等于另外两根之积，实数a、b满足，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若AD为BC边上的中线，且，求的面积． 16. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，，，M为中点．底面为等腰三角形，，O为BC的中点． （1）证明：平面平面AOM； （2）若二面角大小为，求三棱锥的体积． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 19. 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． （1）设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． （2）设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． （3）切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 福州市福州三中 福州一中 福建省师范大学附属中学名校高二下学期适应性联考 数学 命题学校：福建省师范大学附属中学 审题人：林坦 2025.6 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．答题结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，得到，，利用交集概念求出答案. 详解】，即，解得，故， ， 所以. 故选：B 2. 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 【详解】， ， 故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 故选：A 3. 在中，“”是“”（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据化简即可判断. 【详解】在中，， 所以， 所以“”不能推出“”， “”也不能推出“”. 故选：D 4. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的投影向量公式，即可求解. 【详解】设与夹角为，求在上的投影向量公式为：， 所以根据题意，即， 将代入可得：，而，所以. 故选：. 5. 已知，曲线与，相邻的三个交点构成一个等腰直角三角形，求的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程求出三个连续交点，通过数形结合可知只需要满足，从而可求出. 【详解】如图： 先由与相交可得方程：， 因为， 所以，即， 不妨取，可得三个交点的横坐标分别为，，， 所以. 因为为等腰直角三角形，所以斜边边上的中线长为. 又，，， 设为的中点，则， ，， 由 故选：A 6. 已知函数在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别考虑函数在每一段上的单调性，结合端点函数值列出不等式求解即得. 【详解】当时，， 其对称轴为，依题意，，即，此时 当时，显然在上单调递减，且. 综上可得. 故选：A. 7. 设抛物线，焦点F，直线l过点且斜率为，与C交于，两点，满足．若Q为抛物线上一点，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出直线方程，联立抛物线方程得韦达定理，通过抛物线定义将条件转化为，联立韦达定理求解，再利用余弦定理得垂直关系，根据斜率关系设出直线，进而联立抛物线方程求出坐标，再利用数量积求，最后利用同角三角函数关系可求出正弦值. 【详解】由抛物线的方程，则其焦点， 直线l过点且斜率为，其方程为， 联立直线与抛物线方程消得，设交点， 则，, 由抛物线定义可得，代入条件， 得，结合解得，满足， 可得； 设，设，由， 则由余弦定理得， 故，则， 则，即， 联立直线与抛物线方程消得， 则，解得， 即，又， 则， 则， 所以， 则. 故选：C. 8. 定义域为的偶函数在上单调递增，且，若关于的不等式的解集为，求的最小值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数性质分析的符号，整理不等式可得的解集为，进而可得，再根据基本不等式运算求解即可. 【详解】因为定义域为的偶函数在上单调递增，则在上单调递减， 且，则， 可知当时，；当时，； 则当时，； 当时，； 当时，； 由可得， 因为 ， 由题意可知关于的不等式的解集为， 显然不恒为0， 可知当时，； 当时，； 当时，； 可知一次函数的零点为2，且图象是由左向右下降的， 则，即， 又因为， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项分布的方差计算公式，求二项分布方差；根据第百分位数的概念求几个数的第60百分位数；根据互斥事件的概率关系，求出互斥事件的和事件概率；根据平均数和方差的性质，求出新的平均数和方差；逐一判断各选项正误. 【详解】由题意可知，则，所以A错误； 数据2，3，4，5，6共5个数，第60百分位数是第3个数和4个数的平均数，是，所以B错误； 事件A与B互斥，则，所以C正确； 根据平均数和方差的性质，样本数据，，…，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为，所以D正确； 故选：CD. 10. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是双曲线 C. 若，则C的离心率为 D. 若，，则C上的点到焦点的最短距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，C是圆心为原点，半径为的圆；B选项，根据双曲线方程的特征进行判断；C选项，为焦点在轴上的椭圆，并求出离心率；D选项，C上的点到焦点的最短距离为. 【详解】A选项，时，，故C是圆心为原点，半径为的圆，A正确； B选项，若，当时，为焦点在轴上的双曲线， 当时，为焦点在轴上的双曲线，故B正确； C选项，若，则为焦点在轴上的椭圆， C的离心率为，C错误； D选项，若，，则为焦点在轴上的椭圆， 且焦点为，C上的点到焦点的最短距离为，D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，是其导函数，若存在且，满足，则（ ） A. 与大小关系可通过单调性判断 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知为幂函数，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数,根据求出幂函数解析式，再求出代入所求即可. 【详解】设幂函数,因为, 即, 所以, 即, 所以, 所以, 故答案为：. 13. 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，记事件A为“这3个数中含1但不含5”，则________． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算方法，求出事件概率. 【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，共有种不同取法； 符合“这3个数中含1但不含5”有三种取法， 则； 故答案为：. 14. 已知方程有且仅有四个不相等的正实数根，且其中两根之和等于另外两根之积，实数a、b满足，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【详解】答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:285327969 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）若AD为BC边上的中线，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化和余弦定理解三角形，求出角A即可； （2）根据余弦定理，求出中线长度和三角形边长之间的关系，根据基本不等式，求出中线长度的范围，再依据正弦面积公式，求出三角形面积的范围； 【小问1详解】 由正弦定理得，又由余弦定理， 代入得， 即． 因为，所以，即，故，即． 【小问2详解】 由正弦定理得，又由余弦定理， 代入得， 即． 所以，即， 故，即．由（1），所以为正三角形， 在中，设边长， 因为，所以 16. 如图，在三棱台中侧面为等腰梯形，，，M为中点．底面为等腰三角形，，O为BC的中点． （1）证明：平面平面AOM； （2）若二面角的大小为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理，先证明线面垂直，进而说明面面垂直； （2）根据二面角的平面角的定义，求出几何体的各边长，根据三棱锥的体积计算方法，求出几何体体积； 【小问1详解】 底面为等腰三角形，O为BC中点，故． 侧面等腰梯形，M为中点，O为BC中点，连接OM，则， 因为，面AOM，面AOM， 所以平面AOM，又平面ABC，故平面平面AOM． 【小问2详解】 由（1）知，，平面平面， 则为二面角的平面角，可得, 在中，由勾股定理得， 棱台侧面如图所示， ，，，由勾股定理得， 由，所以， 如图所示，过作， 因为平面AOM，平面AOM，所以， 可知，面，所以平面， 所以为三棱锥的高，在中可得， 所以三棱锥的体积. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若，求直线l的方程； （3）设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）椭圆C的标准方程为； （2）直线l的方程为； （3）点N不定直线上 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【小问1详解】 根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． 【小问3详解】 由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若在区间上不单调． ①求a的取值范围； ②证明：． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，，求出函数定义域，利用导函数的符号确定函数的单调区间即可； （2）①由在区间上不单调，可得在上有正有负，即在内有解，即得参数的范围；②先求得，利用①的结论及可推得，计算证明，即得，再由即可证得. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为． 求导得．由，可得或；由，可得， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①对求导得：，． 因为在区间上不单调，所以在上有正有负， 即在内有解．由于，所以，即a的取值范围是． ②由， 由①知，，， 则． 因为，故． 又，则，故得． 19. 联欢晚会上，有一个抽奖游戏．主持人从编号为1，2，3，⋯，n，的n个外观相同的箱子中随机选择两个不同的箱子分别放入一件奖品（共两件奖品），再将箱子关闭．主持人知道奖品在哪些箱子里．游戏规则如下： ①抽奖人首先选择一个箱子（记作k号箱）． ②主持人会从剩下的个箱子中打开一个空箱子（即没有奖品的箱子），且该箱子不是抽奖人选择的k号箱．如果有多个空箱子可选，主持人会随机选择一个打开． ③此时，抽奖人可以选择是否更换自己的选择． （1）设，，且主持人打开了3号箱．现在给你一次重新选择的机会： ①策略一：若你仍然选择1号箱，中奖的条件是什么？中奖概率是多少？ ②策略二：若你改选其他箱子（只能改选一次），应该选择哪个箱子？中奖概率是多少？试通过条件概率分析并说明哪种策略更优． （2）设，，且主持人打开了5号箱．定义随机变量X为另一个未被打开且未被选择的箱子中奖的箱子的最小编号（若另一个奖品在已打开的箱子中，则．求X的分布列及期望． （3）切比雪夫不等式指出：对于任意随机变量和，有，设，，主持人打开的箱子号码为随机变量Y．已知Y的方差．验证Y是否满足切比雪夫不等式对于的情况． 【答案】（1）①中奖条件是1号箱有奖，；②选择2或4号箱均可，中奖概率为.策略1更优. （2）分布列见解析；期望为 （3）Y满足切比雪夫不等式对于的情况 【解析】 【分析】（1）利用古典概型计算策略1的概率，结合列举法求对应事件的概率. （2）明确的取值，利用列举法求出对应值的概率，可得的分布列，再根据期望公式求期望. （3）先求，代入公式，计算验证即可. 【小问1详解】 分析，主持人打开3号箱的情况 策略一：仍然选择1号箱 已知，两个奖品放在两个箱子里，抽奖人先选1号箱，主持人打开3号箱（空箱）。 若仍然选择1号箱，中奖条件是奖品在1号箱中。 最初主持人从4个箱子选2个放奖品，总共有种放法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)。 因为主持人打开了3号箱（空箱），所以奖品不可能在(1,3)，(2,3)，(3,4)中，剩下可能的放法为(1,2)，(1,4)，(2,4)，共3种。 其中奖品在1号箱的情况有(1,2)，(1,4)，共2种。所以仍然选择1号箱中奖概率。 策略二：改选其他箱子 剩下未被选（1号）和未被打开（3号已打开 ）的箱子是2号和4号。 由上面分析，奖品分布剩下(1,2)，(1,4)，(2,4)这3种情况。 若改选，要中奖则奖品不能在1号箱，即奖品在(2,4)时中奖，此时应选2号或4号箱（因为(2,4)表示奖品在2和4号箱 ）。 奖品在(2,4)这1种情况满足改选后中奖，所以改选后中奖概率（选2号或4号其中一个，这里以整体看改选后的中奖情况 ）。 对比，，策略一更优 【小问2详解】 分析，，主持人打开5号箱的情况 首先，，抽奖人选2号箱，主持人打开5号箱（空箱）． 最初放奖品的总情况有种：，，，，，，，，，． 因为主持人打开5号箱（空箱），所以排除，，，，剩下6种情况：，，，，，． 求X的分布列 X为另一个未被打开且未被选择（2号被选，5号被打开）的箱子中中奖的箱子的最小编号， 若奖品在已打开箱子（这里已打开5号，若奖品有5号才会，但已排除含5号的情况，所以X取值为1，3，4． 当时：奖品分布为，，，共3种情况，概率． 当时：奖品分布为，（此时最小编号是3），共2种情况，概率． 当时：奖品分布为，共1种情况，概率． X的分布列： X 1 3 4 P ． 【小问3详解】 验证，时Y是否满足切比雪夫不等式 首先，，抽奖人选1号箱，主持人从2，3，4，5，6号箱中打开一个空箱，Y表示打开的箱子号码． 先求：Y可能取值为2，3，4，5，6．计算． 切比雪夫不等式要求验证，这里，， 则． 计算，即，． 因为，所以Y满足切比雪夫不等式对于的情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $