专题08 不等式与不等式组【七大题型】-【优题精选】备战2025-2026学年七年级数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组七大核心题型，以区域期末真题为载体，构建从性质理解到实际应用的完整知识链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的性质|4题|考查性质应用及参数取值|从概念到性质推导，奠定基础| |不等式的解集|4题|解集表示与参数范围分析|性质延伸，强化抽象能力| |实际问题抽象|4题|文字转不等式，建模应用|连接数学与现实，培养模型意识| |解一元一次不等式|6题|含参数方程与不等式综合|运算能力与推理意识结合| |不等式的应用|6题|方案设计与最值问题|实际情境中的逻辑推理| |解不等式组|6题|解集综合与新定义题型|性质与解集的综合运用| |不等式组的应用|6题|程序框图与派车方案等|多条件约束下的问题解决|

专题08 不等式与不等式组【七大题型】 【题型1 不等式的性质】 1．（2025•昌平区期末）如果a＞b，那么下列不等关系一定成立的是（　　） A．a+1＜b+1 B．﹣2a＞﹣2b C．ac＞bc D．＞ 2．（2025•海淀区期末）若m﹣n＜0，则下列各式中正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m﹣9＞n﹣9 C．m+n＜2n D． 3．（2025•顺义区期末）已知y＝﹣2x+1，若x＞3，则y的取值范围是　 　． 4．（2025•海淀区期末）已知x+y+z＝0，且x＞y＞z，若t＝，则t的取值范围是　 　． 【题型2 不等式的解集】 5．（2025•西城区期末）若a＜0，则关于x的不等式|a|x＞a的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＜1 D．x＞﹣1 6．（2025•延庆区期末）不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•海淀区期末）不等式（a﹣1）x＜1﹣a的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是　 　． 8．（2025•海淀区期末）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是　 　． 【题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式】 9．（2025•大兴区期末）某品牌电脑的成本价为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A．2 800x≥2400×5% B．2800x﹣2400≥2400×5% C．2 800×≥2400×5% D．2 800×﹣2400≥2400×5% 10．（2025•丰台区期末）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的x%，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A．4200•x%﹣600≥3000 B．4200•x%+600≥3000 C．4200（1﹣x%）﹣600≥3000 D．4200（1+x%）+600≥3000 11．（2025•西城区期末）用不等式表示“a与8的和不大于a的3倍”：　 　． 12．（2025•东城区期末）小红购买了2个白色的兔爷泥塑模型和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的母亲．小红涂色时间少于7小时，且涂色1个脸谱面具比1个兔爷模型时间少0.5小时，设涂色1个兔爷模型需x小时．依据题意所列的关于x的不等式为　 　，x的取值范围是　 　． 【题型4 解一元一次不等式】 13．（2025•海淀区期末）若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7，则整数m的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（2025•大兴区期末）在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝4．当x＞5时，若对于每一个x的值，关于x的不等式kx+m＜bx﹣3总成立，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2 D．m＜2 15．（2025•东城区期末）若关于x的方程k2x﹣k＝1﹣2x的解为负数，则k的取值范围是　 　． 16．（2025•东城区期末）若关于x的方程5x+2＝k+4x的解大于2且小于4，则k的整数值为　 　． 17．（2025•昌平区期末）解不等式：6x﹣16≥3x﹣7． 18．（2025•平谷区期末）解不等式5﹣2（2﹣x）≤3（x﹣1），并把解集在数轴上表示． 【题型5 一元一次不等式的应用】 19．（2025•西城区期末）在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 20．（2025•西城区期末）某街心花园运动操场如图所示（操场一圈超过100m但不足200米）．某同学从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑100m软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前500m的记录如图所示．小明共跑了1400m且恰好回到起点，那么他共跑了几圈？（　　） A．8圈 B．9圈 C．10圈 D．11圈 21．（2025•丰台区期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学π节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为　 　； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要　 　人报名参加“24点速算”． 22．（2025•西城区期末）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是　 元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为　 　小时． 23．（2025•海淀区期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 （1）求A、B两种材质的围棋每套的售价． （2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1400元的目标？请说明理由． 24．（2025•怀柔区期末）怀柔的慕田峪长城享有“万里长城，慕田峪独秀”的美誉，是北京新十六景之一．在某票务平台上，慕田峪长城有两条旅游线路： 路线A（西线）：缆车往返（14号敌楼上下）费用成人120元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，适合所有年龄段． 路线B（中线）：缆车上（14号敌楼）+滑道下（6号敌楼），总费用成人140元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，60周岁以上老人不可乘坐． 已知：某旅行团共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人．问： （1）旅行团中60周岁以上游客和60周岁以下游客的人数； （2）在满足（1）的条件下，若总预算为2440元，如何分配乘坐线路A和线路B的人数，使总费用不超预算？列举所有可能的方案． 【题型6 解一元一次不等式组】 25．（2025•海淀区期末）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 26．（2025•平谷区期末）定义[x]表示不小于实数x的最小整数，例如：[3.7]＝4．给出下列结论： ①[﹣1.2]＝﹣1； ②若[x]＝3，则2≤x＜3； ③若1.2≤x≤2，则[x]＝2； ④若[x]＝2，[y]＝4，则4＜[x+y]≤6． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2025•海淀区期末）在平面直角坐标系中，点A（2a+4，4﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是　 　． 28．（2025•大兴区期末）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是　 　． 29．（2025•东城区期末）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 30．（2025•海淀区期末）对给定的m＞n＞0，考虑如下5个数：﹣m，﹣n，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于[m，n]的“k阶不等式（组）”． 例如，给定m＝3，n＝2，考虑不等式3x+7＞≥0，解得：，因为﹣3，﹣2，0，2，3这五个数中有﹣2，0，2，3是该不等式的解，所以3x+7≥0为关于[3，2]的“4阶不等式”． （1）对m＝3，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有　 　（填写所有正确结论的序号）； ①5（x+1）＜2（x+4），②7x+20≥6，③． （2）已知m，n满足方程组，则有m＝　 　，n＝　 　（结果用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若关于x的不等式x≤t是关于[m，n]的“4阶不等式”，求t的取值范围． 【题型7 一元一次不等式组的应用】 31．（2025•东城区期末）如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（　　） A．280＜x≤350 B．280＜x≤400 C．330＜x≤350 D．330＜x≤400 32．（2025•通州区期末）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x的最小整数值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 33．（2025•通州区期末）某班级共有40名学生，现在需要投票评选出10名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票（n为正整数）．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为　 　． 34．（2025•东城区期末）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是　 　． 35．（2025•延庆区期末）某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． （1）一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ （2）该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 36．（2025•石景山区期末）我国在第七十五届联合国大会上宣布：中国力争2030年前二氧化碳排放达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和目标．为响应“双碳”战略目标，新石家园社区准备在小区空地种植胸径10厘米左右的核桃树和糖枫树，两种树木的单价和年均固碳量如下： 树种 单价（万元/棵） 年均固碳量（kgC/棵） 核桃树 0.4 12 糖枫树 0.25 8 （1）若小区物业准备投入42万元购买两种树木共120棵，那么核桃树和糖枫树各可以购买多少棵？ （2）若小区物业计划购买两种树的资金不超过30万元，要购买糖枫树的棵数是核桃树的，并且核桃树不少于46棵，有哪些购买方案？若还需实现年均最大固碳量，直接写出应选择哪种方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 不等式与不等式组【七大题型】 【题型1 不等式的性质】 1．（2025•昌平区期末）如果a＞b，那么下列不等关系一定成立的是（　　） A．a+1＜b+1 B．﹣2a＞﹣2b C．ac＞bc D．＞ 解：A、若a＞b，则a+1＞b+1，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若a＞b，则﹣2a＜﹣2b，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若a＞b，若c＞0，则ac＞bc，若c＜0，则ac＜bc，故本选项不符合题意； D、若a＞b，则，原变形成立，故本选项符合题意； 答案：D． 2．（2025•海淀区期末）若m﹣n＜0，则下列各式中正确的是（　　） A．m+n＞0 B．m﹣9＞n﹣9 C．m+n＜2n D． 解：A．由m﹣n＜0，不能推出m+n＞0，故本选项不符合题意； B．∵m﹣n＜0， ∴m＜n， ∴m﹣9＜n﹣9，故本选项不符合题意； C．∵m﹣n＜0， ∴m＜n， ∴m+n＜2n，故本选项符合题意； D．∵m﹣n＜0， ∴m＜n， ∴， ∴，故本选项不符合题意． 答案：C． 3．（2025•顺义区期末）已知y＝﹣2x+1，若x＞3，则y的取值范围是 y＜﹣5　． 解：∵x＞3， ∴两边同时乘以﹣2得﹣2x＜﹣6， 则两边同时加上1得﹣2x+1＜﹣5， 即y＜﹣5， 答案：y＜﹣5． 4．（2025•海淀区期末）已知x+y+z＝0，且x＞y＞z，若t＝，则t的取值范围是　 ． 解：由题意可得：z＜0，x＞0，x＝﹣（y+z）， ∵x＞y＞z，z＜0， ∴，即， 则， ∵， ∴﹣1﹣t＜t＜1， 解不等式组得， 答案：． 【题型2 不等式的解集】 5．（2025•西城区期末）若a＜0，则关于x的不等式|a|x＞a的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＜1 D．x＞﹣1 解：∵a＜0， ∴|a|＝﹣a， 不等式化为﹣ax＞a， 解得：x＞﹣1． 答案：D． 6．（2025•延庆区期末）不等式x﹣1≥0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 解：∵x﹣1≥0的解集为x≥1， ∴实心圆圈，且方向向右， 答案：D． 7．（2025•海淀区期末）不等式（a﹣1）x＜1﹣a的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是a＜1　． 解：∵（a﹣1）x＜1﹣a的解集是x＞﹣1，∴a﹣1＜0， ∴a＜1． 答案：a＜1． 8．（2025•海淀区期末）如图表示某个关于x的不等式的解集，若x＝m﹣2是该不等式的一个解，则m的取值范围是 m＜﹣5　． 解：由图形得：x＞3m+8， 因为x＝m﹣2是x＞3m+8的一个解， 所以m﹣2＞3m+8， 所以m＜﹣5， 答案：m＜﹣5． 【题型3 由实际问题抽象出一元一次不等式】 9．（2025•大兴区期末）某品牌电脑的成本价为2400元，售价为2800元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于5%，如果将这种品牌的电脑打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（　　） A．2 800x≥2400×5% B．2800x﹣2400≥2400×5% C．2 800×≥2400×5% D．2 800×﹣2400≥2400×5% 解：如果将这种品牌的电脑打x折销售，根据题意得2 800×﹣2400≥2400×5%， 答案：D． 10．（2025•丰台区期末）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电厂商共同举办“政企双补”活动．活动期间，购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的补贴外，还可获得一定比例的厂家补贴．设厂家给予的补贴为商品原价的x%，要想此冰箱的实际支付金额不低于3000元，则可列得的不等式为（　　） A．4200•x%﹣600≥3000 B．4200•x%+600≥3000 C．4200（1﹣x%）﹣600≥3000 D．4200（1+x%）+600≥3000 解：冰箱原价为4200元，政府补贴600元，厂家补贴为原价的x%，即4200•x%， 根据题意得：4200﹣600﹣4200•x%≥3000， 化简为：4200（1﹣x%）﹣600≥3000， 答案：C． 11．（2025•西城区期末）用不等式表示“a与8的和不大于a的3倍”：a+8≤3a　． 解：由题意得，a+8≤3a， 答案：a+8≤3a． 12．（2025•东城区期末）小红购买了2个白色的兔爷泥塑模型和1个白色的京剧脸谱面具，准备涂色后送给喜欢传统文化的母亲．小红涂色时间少于7小时，且涂色1个脸谱面具比1个兔爷模型时间少0.5小时，设涂色1个兔爷模型需x小时．依据题意所列的关于x的不等式为　2x+（x﹣0.5）＜7　，x的取值范围是　0.5＜x＜2.5　． 解：设设涂色1个兔爷模型需x小时，则涂色1个脸谱面具需（x﹣0.5）小时， 根据意得，2x+（x﹣0.5）＜7且x﹣0.5＞0， 解得0.5＜x＜2.5． 答案：2x+（x﹣0.5）＜7，0.5＜x＜2.5． 【题型4 解一元一次不等式】 13．（2025•海淀区期末）若关于x，y的方程组的解满足3x+2y＞7，则整数m的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：两方程相加得3x+2y＝2+4m， 由3x+2y＞7得2+4m＞7， 解得m＞， ∴整数m的最小值为2， 答案：B． 14．（2025•大兴区期末）在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝4．当x＞5时，若对于每一个x的值，关于x的不等式kx+m＜bx﹣3总成立，则m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m＞2 C．m≤2 D．m＜2 解：∵在等式y＝kx+b中，当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝4， ∴， 解得：， 已知关于x的不等式kx+m＜bx﹣3， 则x+m＜2x﹣3， 解得：x＞m+3， ∵当x＞5时，若对于每一个x的值，关于x的不等式kx+m＜bx﹣3总成立， ∴m+3≤5， 解得：m≤2， 答案：C． 15．（2025•东城区期末）若关于x的方程k2x﹣k＝1﹣2x的解为负数，则k的取值范围是k＜﹣1　． 解：k2x﹣k＝1﹣2x， k2x+2x＝1+k， （k2+2）x＝1+k， x＝， ∵关于x的方程k2x﹣k＝1﹣2x的解为负数， ∴＜0， ∴k2+2＞0， ∴1+k＜0， ∴k＜﹣1． 答案：k＜﹣1． 16．（2025•东城区期末）若关于x的方程5x+2＝k+4x的解大于2且小于4，则k的整数值为　5　． 解：解方程5x+2＝k+4x得：x＝k﹣2， 由题意知2＜k﹣2＜4， 解得4＜k＜6， 所以整数k的值为5， 答案：5． 17．（2025•昌平区期末）解不等式：6x﹣16≥3x﹣7． 解：移项，得 6x﹣3x≥16﹣7， 合并同类项，得 3x≥9， 系数化为1，得 x≥3． 18．（2025•平谷区期末）解不等式5﹣2（2﹣x）≤3（x﹣1），并把解集在数轴上表示． 解：∵5﹣2（2﹣x）≤3（x﹣1）， ∴5﹣4+2x≤3x﹣3， 2x﹣3x≤﹣3﹣5+4， ﹣x≤﹣4， 则x≥4， 解集表示在数轴上如下： 【题型5 一元一次不等式的应用】 19．（2025•西城区期末）在一次科技知识竞赛中，共有20道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对得10分，不选或错选倒扣5分，如果得分不低于90分才能得奖，那么要得奖至少应选对的题数是（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 解：设做对x道，则做错或不做的有（20﹣x）道，根据题意得： 10x﹣5×（20﹣x）≥90， 解得x≥12， ∵x为整数， ∴至少应选对13道题． 答案：A． 20．（2025•西城区期末）某街心花园运动操场如图所示（操场一圈超过100m但不足200米）．某同学从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑100m软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前500m的记录如图所示．小明共跑了1400m且恰好回到起点，那么他共跑了几圈？（　　） A．8圈 B．9圈 C．10圈 D．11圈 解：观察图形可得：小明恰好跑3圈时，路程超过了400m，但小于450m， 所以小明跑9圈时，路程超过1200m但小于1400m， 又因为一圈的路程比100m多， 所以小明共跑了1400m且恰好回到起点，那么他共跑了10圈． 答案：C． 21．（2025•丰台区期末）3月14日被命名为“国际数学日”，某校在当日举办了数学π节活动，分为“数独”和“24点速算”两项比赛．为鼓励学生积极参加，设置了班级参与奖，要求每名学生至少参加一项比赛，获得个人参与积分后再进行累加，记作班级参与积分，个人积分规则如表： 参加比赛的数量 每人获得的积分 参加两项 10分 只参加一项 4分 （1）七年级1班共32人，有8人参与了两项活动，则此班级获得的参与积分为　176分　； （2）在（1）的条件下，七年级2班学生经过测算，若报名22人参加“数独”，14人参加“24点速算”，可得积分156分．若仍是22人报名参加“数独”，2班积分想要超过1班积分，则至少需要　18　人报名参加“24点速算”． 解：（1）根据题意得：10×8+4×（32﹣8） ＝10×8+4×24 ＝80+96 ＝176（分）， ∴此班级获得的参与积分为176分． 答案：176分； （2）设七年级2班共x人， 根据题意得：4×22+4×14+（10﹣4﹣4）（22+14﹣x）＝156， 解得：x＝30， ∴七年级2班共30人． 设需要y人报名参加“24点速算”， 根据题意得：4×22+4y+2（22+y﹣30）＞176， 解得：y＞， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为18， ∴至少需要18人报名参加“24点速算”． 答案：18． 22．（2025•西城区期末）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时． 甲停车场收费标准是： 停车时长t（单位：小时） 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是　15　元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为　7　小时． 解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9， ∴小林需交的停车费是15元， 答案：15； （2）由题意可知，当停车时长超过9小时后，乙停车场比甲停车场更贵， 当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠， 则2t＜15， 解得：t＜7.5， ∵乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）， ∴t的最大值为7， 答案：7． 23．（2025•海淀区期末）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，如表是近两个月的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种材质 B种材质 第一个月 3套 5套 1800元 第二个月 4套 10套 3100元 （1）求A、B两种材质的围棋每套的售价． （2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？ （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1400元的目标？请说明理由． 解：（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，则B种材质的围棋每套的售价为元， 根据题意得：4x+10×＝3100， 解得：x＝250， ∴＝＝210（元）． 答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元； （2）设采购A种材质的围棋y套，则采购B种材质的围棋（30﹣y）套， 根据题意得：200y+170（30﹣y）≤5400， 解得：y≤10， ∴y的最大值为10． 答：A种材质的围棋最多能采购10套； （3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1400元的目标，理由如下： 假设能实现，根据题意得：（250﹣200）y+（210﹣170）（30﹣y）＝1400， 解得：y＝20， 又∵y≤10， ∴y＝20不符合题意， ∴假设不成立，即在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋不能实现利润为1400元的目标． 24．（2025•怀柔区期末）怀柔的慕田峪长城享有“万里长城，慕田峪独秀”的美誉，是北京新十六景之一．在某票务平台上，慕田峪长城有两条旅游线路： 路线A（西线）：缆车往返（14号敌楼上下）费用成人120元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，适合所有年龄段． 路线B（中线）：缆车上（14号敌楼）+滑道下（6号敌楼），总费用成人140元/人，1.2米以下儿童免票，超过1.2米与成人同价，60周岁以上老人不可乘坐． 已知：某旅行团共有游客20人，无未成年游客，其中60周岁以上游客比60周岁以下游客少4人．问： （1）旅行团中60周岁以上游客和60周岁以下游客的人数； （2）在满足（1）的条件下，若总预算为2440元，如何分配乘坐线路A和线路B的人数，使总费用不超预算？列举所有可能的方案． 解：（1）设旅行团中60岁以下游客x人，60岁以上游客y人， 列方程为： ①+②，得x＝12， 将x＝12代入①式，得y＝8， ∴方程组的解为 即旅行团中有60岁以下游客12人，60岁以上游客8人， 答：旅行团中有60岁以下游客12人，60岁以上游客8人； （2）设选路线B的游客为a人，则选路线A的游客为（20﹣a）， 由题意选择路线B的游客只能是60周岁以下的12名游客，因此 a 需满足 0≤a≤12， 则根据题意列一元一次不等式得，140a+120（20﹣a）≤2440， 化简，得20a≤40， ∴a≤2， ∴a可以取2、1、0三个值， ∴可以有三种方案： 方案一：选路线B的游客有2人，选路线A的游客有18人； 方案二：选路线B的游客有1人，选路线A的游客有19人； 方案三：选路线B的游客有0人，选路线A的游客有20人． 【题型6 解一元一次不等式组】 25．（2025•海淀区期末）若关于x的不等式组的解集为x＞3，那么a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜3 C．a≥3 D．a≤3 解： ∵解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x＞a， ∵关于x的不等式组的解集为x＞3， ∴a≤3， 答案：D． 26．（2025•平谷区期末）定义[x]表示不小于实数x的最小整数，例如：[3.7]＝4．给出下列结论： ①[﹣1.2]＝﹣1； ②若[x]＝3，则2≤x＜3； ③若1.2≤x≤2，则[x]＝2； ④若[x]＝2，[y]＝4，则4＜[x+y]≤6． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：根据题意可得①结论正确，符合题意； 若[x]＝3，根据[x]的意义，得2＜x≤3，故结论②错误，不符合题意； 若1.2≤x≤2，则[x]＝2，所以结论③正确，符合题意； 当[x]＝2，[y]＝4时， 有：1＜x≤2，3＜y≤4， ∴4＜x+y≤6， ∴[x+y]＝5或6，即4＜[x+y]≤6，所以结论④是正确，符合题意． 答案：C． 27．（2025•海淀区期末）在平面直角坐标系中，点A（2a+4，4﹣2a）在第四象限，则a的取值范围是a＞2． 解：∵点A（2a+4，4﹣2a）在第四象限， ∴， 解得：a＞2， 答案：a＞2． 28．（2025•大兴区期末）已知关于x的不等式组有解，则m的取值范围是 m＞1　． 解： 解①得：x＜m， 解②得：x≥1 ∵关于x的不等式组有解， ∴m＞1． 答案：m＞1． 29．（2025•东城区期末）解不等式组，并将解集表示在数轴上． 解： 解不等式①得：x 解不等式②得：x≤1， 则不等式组的解集为﹣x≤1， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 30．（2025•海淀区期末）对给定的m＞n＞0，考虑如下5个数：﹣m，﹣n，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于[m，n]的“k阶不等式（组）”． 例如，给定m＝3，n＝2，考虑不等式3x+7＞≥0，解得：，因为﹣3，﹣2，0，2，3这五个数中有﹣2，0，2，3是该不等式的解，所以3x+7≥0为关于[3，2]的“4阶不等式”． （1）对m＝3，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有　①③　（填写所有正确结论的序号）； ①5（x+1）＜2（x+4），②7x+20≥6，③． （2）已知m，n满足方程组，则有m＝　2t﹣1　，n＝　5﹣t （结果用含t的式子表示）； （3）在（2）的条件下，若关于x的不等式x≤t是关于[m，n]的“4阶不等式”，求t的取值范围． 解：（1）对于m＝3，，五个数为﹣3，﹣，0，，3， 对①5（x+1）＜2（x+4）求解，得x＜1，解集中有﹣3，﹣，0，符合条件， 对②7x+20≥6求解，得x≥﹣2，解集中有﹣，0，，3，共4个，不符合条件， 对③求解，得0≤x＜，解集中有0，，3，共3个，符合条件， 答案：①③； （2）解方程组 ①﹣②×2，得﹣5n＝5t﹣7﹣18， 解得n＝5﹣t， 把n＝5﹣t代入①，得m＝2t﹣1， 答案：2t﹣1，5﹣t； （3）5个数为﹣m＝1﹣2t，﹣n＝t﹣5，0，n＝5﹣t，m＝2t﹣1， ∵m＞n＞0， 即2t﹣1＞5﹣t＞0， 解得2＜t＜5， ∵关于x的不等式x≤t是关于[m，n]的“4阶不等式”，即5个数中有4个满足x≤t， ∵m＞n＞0， ∴m＝2t﹣1＞t，即t＞1， n＝5﹣t≤t，即t≥， ∴t的取值范围是t＜5． 【题型7 一元一次不等式组的应用】 31．（2025•东城区期末）如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x千克，则x的取值范围是（　　） A．280＜x≤350 B．280＜x≤400 C．330＜x≤350 D．330＜x≤400 解：根据题意得：， 解得：280＜x≤350． 答案：A． 32．（2025•通州区期末）运行程序如图所示，从“输入整数x”到“结果是否＞18”为一次程序操作，如果输入整数x后程序操作仅进行了两次就停止，那么x的最小整数值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 解：根据题意得：， 解得：＜x≤8， 又∵x为整数， ∴x的最小值是5． 答案：B． 33．（2025•通州区期末）某班级共有40名学生，现在需要投票评选出10名“优秀少先队员”．班内所有学生都具有评选资格．每位学生需给n名不同学生投票（n为正整数）．所有人的投票都被有效计入，最终要保证得票最多10名学生都获得不少于班级一半学生的选票，则n的最小值为　24　 ． 解：根据题意列一元一次不等式得，40n＞9×40+31×19， 整理得，4n＞949， 解得 又n是正整数， ∴n的最小值为24， 答案：24． 34．（2025•东城区期末）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 　287≤a＜299　 ． 解：由题意得： 解得：287≤a＜299， 答案：287≤a＜299． 35．（2025•延庆区期末）某科技物流公司承包了某智能仓库的货物运输任务，拟派出A，B两种型号的无人运输车运输货物．已知2辆A型无人运输车与3辆B型无人运输车一次共运输货物60箱，5辆A型无人运输车与6辆B型无人运输车一次共运输货物135箱． （1）一辆A型无人运输车和一辆B型无人运输车一次各运输货物多少箱？ （2）该科技物流公司决定派出A，B两种型号的无人运输车共20辆参与运输，若本次运输的货物总量不少于250箱，且B型无人运输车至少派出8辆，则有哪几种派车方案？请通过计算说明． 解：（1）设A型无人运输车一次运输货物x箱，B型无人运输车一次运输货物y箱． 由题意得：， 解方程组得：， ∴A型无人运输车一次运输货物15箱，B型无人运输车一次运输货物10箱； （2）设派出A型无人运输车m辆，B型无人运输车（20﹣m）辆， 根据题意得：， 解得：10≤m≤12． ∴m可取10，11，12， ∴有3种方案：①A型无人运输车10辆，B型无人运输车10辆；②A型无人运输车11辆，B型无人运输车9辆；③A型无人运输车12辆，B型无人运输车8辆． 36．（2025•石景山区期末）我国在第七十五届联合国大会上宣布：中国力争2030年前二氧化碳排放达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和目标．为响应“双碳”战略目标，新石家园社区准备在小区空地种植胸径10厘米左右的核桃树和糖枫树，两种树木的单价和年均固碳量如下： 树种 单价（万元/棵） 年均固碳量（kgC/棵） 核桃树 0.4 12 糖枫树 0.25 8 （1）若小区物业准备投入42万元购买两种树木共120棵，那么核桃树和糖枫树各可以购买多少棵？ （2）若小区物业计划购买两种树的资金不超过30万元，要购买糖枫树的棵数是核桃树的，并且核桃树不少于46棵，有哪些购买方案？若还需实现年均最大固碳量，直接写出应选择哪种方案？ 解：（1）设核桃树购买m棵，则糖枫树购买（120﹣m）棵， 根据题意得：0.4m+0.25（120﹣m）＝42， 解得m＝80， ∴120﹣m＝120﹣80＝40， ∴核桃树购买80棵，糖枫树购买40棵； （2）设核桃树购买x棵，年均固碳量Wkg，则糖枫树购买x棵， ∵资金不超过30万元，核桃树不少于46棵， ∴ 解得46≤x≤52， ∵x为整数，x也是整数， ∴x棵可取48，51， ∴有2种购买方案：核桃树购买48棵，糖枫树购买32棵或核桃树购买51棵，糖枫树购买34棵； 根据题意得：W＝12x+8×x＝x， ∵W随x的增大而增大， ∴当x＝51时，W取最大值×51＝884， ∴年均最大固碳量的方案是核桃树购买51棵，糖枫树购买34棵． 学科网（北京）股份有限公司 $