精品解析：2026年内蒙古自治区锡林郭勒盟三县多校中考数学考前模拟测试

2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校 九年级数学考前模拟测试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共有8小题，每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义以及根与系数的关系、根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，易错点容易忽略二次项系数不为0． 先根据一元二次方程的定义以及有实数根得到且，再由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得且． ∵方程的两个实数根之和为2， ∴，解得，此时方程有实数解， 故选：A． 2. 将图中的正方形剪开得到图，图中共有个正方形；将图中的一个正方形剪开得到图，图中共有个正方形；将图中的一个正方形剪开得到图，图中共有个正方形．．．按照这样的规律，图中共有正方形（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形的变化发现规律即可求解． 【详解】解：第个图中正方形有个， 第个图中正方形有个， 第个图中正方形有个， 第个图中正方形有个， …… ∴第个图中正方形有个， 当时，个． 3. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】利用图表信息结合面积及逐个运动阶段得到计算数据，逐个判断正误即可． 【详解】由矩形及点P运动过程可知： 时，点P位于点B处，， 则，， ，①正确； 时，点P位于点D处，， ，， ，故运动时间为10s，所以③正确； ， ， 时，点P位于点C处， ，所以②错误； 周长，所以④错误； 故①③正确，正确得有2个， 故选C． 【点睛】本题考查动点面积计算问题，能够在不同位置清晰计算面积及结合图表确认拐点位置是解题的关键． 4. ①如图一，，则； ②如图二，，则； ③如图三，，则； ④如图四，，则； 以上结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】对每个结论对应的图形，分别过拐点作与、平行的辅助线，然后根据平行线的传递性，结合平行线的性质分析角之间的和差或等量关系．如果推导得出的角的关系与结论一致，则该结论正确，最后汇总正确的结论，匹配对应的选项． 【详解】①： 过图一的拐点作，由得． ∴，， ∴， ∴①错误． ②： 过图二的拐点作，由得． ∴，， ∴， ∴②正确． ③： 过图三的拐点作，由得． ∴； ∴； 又， 变形得，代入得， ∴③正确． ④： 设交于点，由得； ∴， ∴， ∴④正确． 综上，正确结论为②③④． 5. 下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，是真命题； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，原命题是假命题； （3）27的立方根是3，原命题是假命题； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题； （6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； 故选：B． 6. 如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出． 【详解】解：连接，，， 正方形与等边内接于， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 故选：D 7. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将绕点顺时针旋转，连接，由半角模型，可证得，设，则，由勾股定理得 ，可得出，再用、、表示，以此判断各选项即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，连接， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设， 则， ∵， ∴， 化简可得， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴，故选项A错误； ∵， ， 仅时，，故选项B错误； ∵，， 故与不一定满足，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D正确． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数几何综合，菱形的性质及勾股定理．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，，利用勾股定理即可求得的长然后求得点坐标，继而求得直线的解析式，最后由抛物线经过点C，且顶点在直线上，求得答案 【详解】 四边形是菱形， 设直线的解析式为∶， ， 解得：， 直线的解析式为∶， 抛物线经过点， ， 顶点为∶， 顶点在直线上， ． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共有4小题，每题3分，共24分） 9. 空气质量指数（）的值取整数时，在范围内空气质量类别为优，在范围内空气质量类别为良，在范围内空气质量类别为轻度污染． 按照某区最近一段时间的画出的频数分布直方图如图所示．若在过去的一段时间内，空气质量类别为优和良的天数共124天，则这段时间大约为___________天． 【答案】155 【解析】 【分析】本题考查的是数据的分析，解题关键点是从统计图获取信息，设总时间为天，根据统计图结合优和良的天数共124天列方程解决即可． 【详解】解：设总时间为天， 则， 解得， 故答案为：155． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图，旋转的性质，等边三角形的性质以及坐标与图形等知识． 过作轴于点E，连接，根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段，即垂直平分线段，可得，根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上，再结合等边三角形的性质、旋转的性质即可作答． 【详解】解：过作轴于点E，如图，连接， 根据作图可知是等边三角形，过点M的直线垂直平分线段， 即垂直平分线段， ∴， ∴根据旋转可知点A的对应点在所在的直线上， ∵， ∴， ∴在等边中，，， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分线段，， ∴在等边中，， ∴， ∴根据旋转可得：， ∴， ∴， ∴点A的对应点的横坐标是， 故答案为：． 11. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是____________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为____________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了____________个黑球． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； （2）由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得， 则小明后来放进了25个黑球． 12. 如图，矩形中，，点E是上的一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是______ 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长．过点E作于点P，易证四边形和四边形为矩形，得出，，易证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点E作于点P， 在矩形中 ， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴， ∵G是的中点， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2）如图，即为所求作； 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形-旋转变换和轴对称变换，熟知旋转和轴对称的性质和网格特点是解答的关键． （1）根据旋转性质，得到对应的位置，然后顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质得到对应点的性质，然后顺次连接可得，然后根据点的位置写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 14. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离． 【答案】（1）， 理由如下： 由题意得， ∴， ∴， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据题意证明，从而得到，即可得到； （2）把代入即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ． ． 答：②号“E”的测量距离是． 15. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂直于边的延长线于点，CF垂直于边的延长线于点，且，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】由，，，则点在平分线上，故有，然后通过平行四边形的性质可得，所以，所以，再由等角对等边得出，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵，，， ∴点在平分线上， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 16. 繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示： （1）求出当和时，y与x的函数关系； （2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？ 【答案】（1）当时，函数解析式为，当时， （2）购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，不等组的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设当时，函数解析式为，当时，函数解析式为，利用待定系数法可求解； （2）设购进甲种道具a件，则购进乙种道具件，根据“甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件”求得，然后结合（1）及题意列出付款总金额w（元）与甲种道具a件的函数关系式，可进行求解． 【小问1详解】 解：设当时，函数解析式为，则把点代入得：， 解得：， ∴当时，函数解析式为， 当时，函数解析式为，则把点，代入得： ， 解得：， ∴当时，； 【小问2详解】 解：设购进甲种道具件，则购进乙种道具件， 由题知，，解得：． 当时， ； ∵， ∴随的增大而减小， 则当时，， 当时，． 即：当时，付款总金额最少，最少付款总金额为4990元． 此时乙种道具为（件）． 答：购进甲种道具85件，购进乙种道具35件，才能使延长歌舞团付款总金额最少． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算、二次跟根式的运算、分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）计算绝对值、特殊角三角函数值、化简二次根式、负整数指数幂后，进行加减运算即可． （2）先计算括号内加法、再计算除法后得到化简结果，再利用整体代入即可得到答案． 【详解】（1） （2） ∵ ∴， ∴原式 18. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中， ，，现将皮料折叠，点D的对应点记为P，折痕为（E，F是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】如图1，若点E，F分别位于边上，当点P与点A重合时，_________； （2）【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料的边上，点E在边上，点F在边上． ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）； ②若 ，求的长； （3）【拓展延伸】若E为动点，F为的中点，点P落在矩形的内部（不含边界），当最大时，的正切值为_________． 【答案】（1）3 （2）①如图，折痕即为所求；② （3） 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，由折叠可得，此时折痕为边中点的连线所在的直线，即可求解； （2）①由折叠可得折痕所在的直线即为对应点连线段的垂直平分线，故作出的垂直平分线即可； ②设，则，然后对运用勾股定理求解即可； （3）由折叠可得，，那么当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧，由切线长定理可得，再由正切的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点，分别位于边， 上，当点与点重合时， ∴点折叠到点，点折叠到点， ∴ ； 【小问2详解】 解：①略； ②如图，连接， 由题意可知所在直线为的垂直平分线， ∴. 当时，设，则 ∵矩形中， ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵为的中点， ∴ ， 由折叠可得， ∴当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， ∴当与半圆相切，即时，最大， ∵矩形中，，为半径， ∴是的切线， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度锡林郭勒盟三县多校 九年级数学考前模拟测试 考试时间：100分；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共有8小题，每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的和为2，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 将图中的正方形剪开得到图，图中共有个正方形；将图中的一个正方形剪开得到图，图中共有个正方形；将图中的一个正方形剪开得到图，图中共有个正方形．．．按照这样的规律，图中共有正方形（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 将矩形纸板剪掉一个小矩形后剩余部分如图1所示，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P运动的时间的关系如图2所示，根据图象获取了以下的信息： ①； ②； ③点从点运动到点需要； ④矩形纸板裁剪前后周长均为． 其中正确信息的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. ①如图一，，则； ②如图二，，则； ③如图三，，则； ④如图四，，则； 以上结论正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 5. 下列命题中，真命题有（　　） （1）平方根等于它本身的数只有0； （2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0； （3）27是3的立方根； （4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离； （5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行； （6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在轴上，，，抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共有4小题，每题3分，共24分） 9. 空气质量指数（）的值取整数时，在范围内空气质量类别为优，在范围内空气质量类别为良，在范围内空气质量类别为轻度污染． 按照某区最近一段时间的画出的频数分布直方图如图所示．若在过去的一段时间内，空气质量类别为优和良的天数共124天，则这段时间大约为___________天． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别以点O，A为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点B，然后按如图所示的尺规作图得到边上的点M．若以点M为旋转中心，将绕点M逆时针旋转，则点A的对应点的横坐标是________． 11. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是____________（精确到0.1），袋中黑球的个数约为____________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了____________个黑球． 12. 如图，矩形中，，点E是上的一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是______ 三、解答题（本大题共有6小题，共64分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的相对位置） 13. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，． （1）将绕着点按顺时针方向旋转得到，请画出． （2）将关于轴对称，得到，请画出，并直接写出点的坐标． 14. 视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘． 用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同． （1）探究图中与之间的关系，请说明理由； （2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离． 15. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，垂直于边的延长线于点，CF垂直于边的延长线于点，且，求证：四边形是菱形． 16. 繁花歌舞团准备采购甲、乙两种道具，某商场对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设繁花歌舞团购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示： （1）求出当和时，y与x的函数关系； （2）若繁花歌舞团计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使繁花歌舞团付款总金额w（元）最少？ 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中， ，，现将皮料折叠，点D的对应点记为P，折痕为（E，F是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】如图1，若点E，F分别位于边上，当点P与点A重合时，_________； （2）【深入探究】如图2，若点P落在矩形皮料的边上，点E在边上，点F在边上． ①利用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑）； ②若 ，求的长； （3）【拓展延伸】若E为动点，F为的中点，点P落在矩形的内部（不含边界），当最大时，的正切值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $