精品解析：上海杨浦区2025-2026学年下学期期末质量调研八年级数学试卷

2025学年第二学期期末质量调研八年级数学试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 2026.6 一、选择题（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1. 在平面直角坐标系中，点P(3，-2)关于x轴对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y）， 据此即可求得点（3，-2）关于x轴对称的点的坐标，进而得出所在象限． 【详解】解：∵点（3，-2）关于x轴对称， ∴对称的点的坐标是（3，2），故点（3，2）关于x轴对称的点在第一象限． 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是要熟练掌握对称点的坐标规律. 2. 下列关于的函数中，正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是正比例函数，根据正比例函数的定义逐一判断选项，即可得到答案. 【详解】解：A. 是一次函数，常数项，不是正比例函数； B .是一次函数，常数项，不是正比例函数； C .是反比例函数，不符合正比例函数形式，不是正比例函数； D .，符合的形式，其中，故该函数是正比例函数. 3. 已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判断反比例函数的象限分布，再结合每个象限内随的变化规律即可比较大小. 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点，的横坐标都小于， ∴，两点都在第三象限， ∵， ∴， 又∵点的横坐标， ∴点在第一象限，可得， 综上可得. 4. 如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】物体处于平衡状态被提起，说明提起的点是三角形的重心，即三条中线的交点，判断四个点中哪个点在中线上即可． 【详解】解：如图，由网格特点可得，点N是的中点，则是的中线， ∴的重心在上， ∴重心是点， 即在三角形硬纸片上选点C，在这个点处用细绳将其提起来，该三角形纸片处于平衡状态． 5. 已知四边形中，，，下列判断中正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果平分，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，结合已知条件，，逐个判断各选项即可. 【详解】解：A. 若，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误； B. 若，，则四边形是平行四边形，又，对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故B错误； C. 设交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确； D. 若，四边形可以是对角线互相垂直的等腰梯形，不一定是正方形，故D错误. 二、填空题（本大题共11题，每题3分，满分33分） 6. 直线的截距是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：当时，， ∴直线的截距为 7. 如果点在轴上，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上的点横坐标为，据此列方程求解的值. 【详解】解：点在轴上， 点的横坐标为，即， 解得. 8. 经过点且平行于轴的直线可记为直线________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上所有点纵坐标相等的性质，结合已知点的坐标即可得到结果. 【详解】解：直线经过点，点的纵坐标为， 该直线上所有点的纵坐标均为， 该直线可记为. 9. 在平面直角坐标系中，已知点，点，那么线段的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，若两点坐标为，，则两点间距离公式为，根据两点间距离公式求解即可. 【详解】解：∵，， ∴. 10. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得． 故这个多边形的边数是12． 故答案为：12． 11. 已知点是直线上一点，则的解集是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小． 【详解】解：， 随的增大而减小， 当时，． 12. 如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________（只需写一个）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，确定比例系数的取值范围，即可写出符合要求的反比例函数表达式. 【详解】解：设反比例函数的解析式为. ∵反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小， ∴. 取，可得这个反比例函数的表达式可以是. （答案不唯一） 13. 在平行四边形 中，如果，那么的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用平行四边形邻角互补，对角相等的性质，结合已知角度比例关系求解. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形对边平行， ∴，， ∵， 设，， 则， 解得， ∴， ∴． 14. 在矩形中，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、、，如果四边形是菱形，那么________度． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，先根据轴对称的性质得到，结合菱形性质得到，再由矩形性质得到，利用直角三角形的性质得出，可证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求出的度数. 【详解】解：如图，取中点，连接， 点关于直线的对称点为点， ， ， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形， ， ，即是直角三角形， 在中，是中点， ， 又， ， 是等边三角形， . 15. 函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】设点A的横坐标为m，根据轴可知点B、C的横坐标也为m，利用反比例函数解析式表示出线段和的长度，结合建立等式，化简即可求解． 【详解】解：设点A的横坐标为m，由图可知，  ∵轴，交x轴于点C ∴点B、C的横坐标均为m，且点C的坐标为 ， ∵点A在的图像上，且位于第二象限 ， ∴点A的纵坐标为，且 ， ∴． ∵点B在的图像上，且位于第三象限 ， ∴点B的纵坐标为，且， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 16. 如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长_______． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转变换易证，，，，由，得；设，由三角函数得，；在中，运用勾股定理求解得，所以． 【详解】如图，由旋转知，，，，为等边三角形， ∴， ，， ∴， ∵ ∴ 设，则， 中， ∴，解得（负值舍去）， 故答案为： 【点睛】本题主要考查旋转变换、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理及特殊角三角函数；能够灵活运用相关知识导出线段间的数量关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分52分） 17. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 【答案】（1）y＝x－4.（2）(－4，0)． 【解析】 【分析】（1）把点（2，-3）代入解析式即可求出k； （2）先得出函数图像向上平移6单位的函数关系式，再令y=0，即可求出与x轴交点的坐标. 【详解】解：(1)将x＝2，y＝－3代入y＝kx－4，得－3＝2k－4.∴k＝. ∴一次函数的表达式为y＝x－4. (2)将y＝x－4的图像向上平移6个单位长度得y＝x＋2. 当y＝0时，x＝－4. ∴平移后的图像与x轴交点的坐标为(－4，0)． 【点睛】此题主要考查一次函数的解析式的求法与在坐标轴方向上的平移. 18. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少? 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点对应的指标值 （2）当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、已知自变量求函数值等知识，读懂题意，求出反比例函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意，设出反比例函数表达式，将代入表达式求解即可得到表达式，将代入求得的表达式即可得到点对应的指标值； （2）由（1）中得到的表达式，将代入表达式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， 由图知反比例函数过点，则代入表达式得，解得， 反比例函数的表达式为； 当时，，故点对应的指标值； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12． 19. 如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点． （1）求的值； （2）如果，且，．求的长． 【答案】（1）； （2）的长为9 【解析】 【分析】（1）连接，设，由得；设，由得．结合中线平分三角形面积的性质，可推导出，可得，故． （2）由同高和面积比可得底边的比例，结合得．因，在中，由勾股定理得．同理，得，可得的值． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵、是的中线， ∴，， 设， ∵，且与同高， ∴， ∴， 设， ∵，且与同高， ∴， ∴， 同理可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∵与同高， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， 同理可得，，即， ∴， ∴． 20. 如图，已知：在中，，点、分别是边、的中点，点在边上，，连接、． 求证：四边形是矩形． 【答案】 证明：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】先由中位线定理结合点、分别是边、的中点，得，，再结合得出四边形是平行四边形，进而得，结合，可得，进而得到，得出四边形是平行四边形，最后由，即可得出四边形是矩形． 【详解】略． 21. 综合实践：神奇的密码 【问题背景】密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”．明文与密文之间的转换的关键是“密钥”．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字0~25后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（，，，均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即； ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在0到25之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若大于25，则不断减去26，直到结果落在0~25之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，，我们可以将明文中字母P（）转换成所对应的密文． 计算：．，． 对应字母X，∴明文中字母对应的密文是字母X． 【问题探究】请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，，则明文“”加密后的密文为_____； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为_____； （3）小杨截获了一段密文“”，它是由明文“”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“I”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“H”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”和“加密钥”的值； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，求密文“”解密获得的明文． 【答案】（1） （2） （3）， （4）或或或 【解析】 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定B对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）设明文对应的数是x，y，根据（3）中两个密钥，列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴19对应的字母是T， 所以明文中字母H对应的密文是字母T； 将明文中字母I（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是V， 所以明文中字母I对应的密文是字母V； 所以“”加密后的密文是“”． 【小问2详解】 解：∵明文B对应的数， ∴， ∵明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，M对应的数是12， ∴， 解得． 【小问3详解】 解：∵I对应的数是8，H对应的数是7，O对应的数是14，K对应的数是10， 又明文“”加密后密文“”， ∴，其中m，n都是为自然数，a，b都为正整数． ①当，时， ，解得，不合题意，舍去； ②当，时， ，解得，不合题意，舍去； ③当，时， ，解得，不合题意，舍去； ④当，时， ，解得，符合题意； 经验证，不存在其他符合题意的a，b，m，n的值． 综上所述，，． 【小问4详解】 解：设明文对应的数是x，y，（x，y均为整数，且，） ∵Y和C对应的数是24，2， ∴，，其中k，p都是为自然数， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去， 当时，不存在符合题意的x的值． 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，不合题意，舍去； 当时，不存在符合题意的y的值． ∵4对应的字母是E，17对应的字母是R，5对应的字母是F，18对应的字母是S， ∴密文“”解密获得的明文是“”或“”或“”或“”． 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； （3）如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 【答案】（1）点坐标为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质可得点坐标； （2）设沿轴向右平移距离为，则，，根据点、都落在双曲线上，列方程求出的值，进一步可求出的值； （3）联立直线解析式与反比例函数解析式可得点和点坐标，根据可求出的面积． 【小问1详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ，， 点坐标为； 【小问2详解】 解：设沿轴向右平移距离为， 则，， 点、都落在双曲线上， ， 解得， 点， ； 【小问3详解】 解：联立， 解得或， 点坐标为，点坐标为， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平移的性质，三角形的面积等，本题综合性较强，构造全等三角形是解题的关键． 23. 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中 ； （2）小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现是的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论； 【深入探究】 （3）小创小组继续探究，如图3，将沿直线折叠，点落到点处，得到．当点落在的边上时，如果正方形的边长为3，请直接写出的长． 【答案】（1）45； （2）证明：设正方形的边长为， 由折叠可知，是的中点， ∴， 由折叠可知，，，，，，， ∴，即点E，F，G在同一条直线上， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴，即， ∴是的三等分点； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由两次折叠可知，平分，平分，则可得，结合正方形，可得； （2）设正方形边长为，由对折得是中点，．由折叠得，，且，即E，F，G共线，故．设，在中由勾股定理得，解得，即，故是的三等分点； （3）根据正方形边长为3，设．由折叠性质得，，．分两种情况点落在上和点落在上时进行求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ∵四边形是正方形， ． ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∵正方形边长为， ∴， 由（2）同理可得，E，F，G共线，则， 设，则，， 在中， 解得， ∴， 由折叠可得，，，， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 又∵， ∴ 解得（负根舍去）， 当点落在边上时，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∴， ∴， ∴ 解得或（舍去）， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期期末质量调研八年级数学试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 2026.6 一、选择题（本大题共5题，每题3分，满分15分） 1. 在平面直角坐标系中，点P(3，-2)关于x轴对称的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列关于的函数中，正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点、、在反比例函数（）的图象上，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，有一块质地均匀的的长方形硬纸片上，沿实线剪下一个三角形，在三角形硬纸片上选一点，在这个点处用细绳将其提起来，如果该三角形纸片处于平衡状态，那么这一点是( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 已知四边形中，，，下列判断中正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是平行四边形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果平分，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 二、填空题（本大题共11题，每题3分，满分33分） 6. 直线的截距是________． 7. 如果点在轴上，那么的值是________． 8. 经过点且平行于轴的直线可记为直线________． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，点，那么线段的长是________． 10. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形的边数是 _______． 11. 已知点是直线上一点，则的解集是_____________． 12. 如果一个反比例函数的图像在它所在的每一个象限内，的值随的值增大而减小，那么这个反比例函数的表达式可以是________（只需写一个）． 13. 在平行四边形 中，如果，那么的度数是________． 14. 在矩形中，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接、、，如果四边形是菱形，那么________度． 15. 函数（）和（）的部分图像如图所示，点在的图像上，过点作轴交轴于点 ，交的图像于点，如果，那么的值是________． 16. 如图，已知在中，，将绕点B顺时针旋转，点分别落在点处，联结，如果，那么边的长_______． 三、解答题（本大题共7题，满分52分） 17. 已知一次函数y＝kx－4，当x＝2时，y＝－3. (1)求一次函数的表达式； (2)将该函数的图像向上平移6个单位长度，求平移后的图像与x轴交点的坐标． 18. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少? 19. 如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点． （1）求的值； （2）如果，且，．求的长． 20. 如图，已知：在中，，点、分别是边、的中点，点在边上，，连接、． 求证：四边形是矩形． 21. 综合实践：神奇的密码 【问题背景】密码是一种将可识别的信息（明文）转换为秘密信息（密文）的技术，这个过程称为“加密”；而密文是可以破解的，这个过程称为“解密”．明文与密文之间的转换的关键是“密钥”．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字0~25后进行数学变换从而获得密文．字母与数字的对应如下表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 【加密规则】 ①选择一个“乘密钥”和一个“加密钥”（，，，均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字乘，再加上，得到一个总和，即； ③对每个字母得到的总和逐个进行判断： 若在0到25之间，则就是该字母加密后的密文所对应的数字； 若大于25，则不断减去26，直到结果落在0~25之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文． 例如：设，，我们可以将明文中字母P（）转换成所对应的密文． 计算：．，． 对应字母X，∴明文中字母对应的密文是字母X． 【问题探究】请你根据以上材料，完成探究： （1）若密钥为，，则明文“”加密后的密文为_____； （2）在某次加密中，使用的“乘密钥”．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”的值为_____； （3）小杨截获了一段密文“”，它是由明文“”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“I”加密成“O”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）与由“H”加密成“K”所使用的密钥（“乘密钥”，“加密钥”）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”和“加密钥”的值； （4）利用（3）中求得的加密规则中的密钥和，求密文“”解密获得的明文． 22. 如图，已知在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在第二象限内，，且． （1）求点的坐标； （2）将沿轴向右平移，点、、的对应点分别是点、、，如果点、都落在双曲线上，求的值； （3）如果直线与第（2）小题中的双曲线有两个公共点和，求的值． 23. 【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动． 【操作探究】 （1）小创小组将正方形纸片（如图1）按照图2至图3的方式操作，那么图3中 ； （2）小智小组将正方形纸片（如图4）按照图5至图7的方式操作，经过测量，发现是的三等分点，请你帮助小智小组证明这个结论； 【深入探究】 （3）小创小组继续探究，如图3，将沿直线折叠，点落到点处，得到．当点落在的边上时，如果正方形的边长为3，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $