精品解析：上海市静安区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

上海市静安区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题 （完成时间：100分钟，满分：120分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 因为四边形具有不稳定性，所以当各边长确定时，下列选项中不能被确定的是（ ） A. 四边形的内角和 B. 四边形的外角和 C. 四边形的周长 D. 四边形的面积 【答案】D 【解析】 【分析】结合四边形不稳定性，根据内角和、外角和、周长、面积的概念判断各量是否确定即可． 【详解】解：∵任意四边形的内角和恒为，与形状无关，∴A可确定． ∵任意多边形的外角和恒为，∴B可确定． ∵四边形各边长确定，周长为各边长之和，因此周长固定，∴C可确定． ∵四边形具有不稳定性，各边长确定时，四边形的形状可以改变，高会发生变化，因此面积不能确定． 2. 第二象限的点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点P在第二象限，到x轴距离为3，到y轴距离为2， ∴点P的横坐标是，纵坐标是3， ∴点P的坐标为． 故选：A． 3. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. （是常数） 【答案】C 【解析】 【分析】正比例函数定义为：形如，其中是不为的常数的函数是正比例函数． 【详解】解：∵选项A中分母含有未知数，不符合定义，∴A错误； ∵选项B中常数项，不符合定义，∴B错误； ∵选项C中，其中，符合正比例函数定义，∴C正确； ∵选项D中，未说明，当时，不是正比例函数，不符合定义，∴D错误． 4. 已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 先由可判断与同号，再分两种情况讨论函数图象经过的象限，找出两种情况的公共象限即可判断． 【详解】解：∵， ∴与同号，分以下两种情况： ①当，时，则一次函数的图象经过第一、二、三象限； ②当，时，则一次函数的图象经过第二、三、四象限； 综上，该函数图象一定经过第二、三象限． 故选：B． 5. 如图，在正方形中，点、在对角线上（点、不重合），连接、、、，要使四边形是菱形，在下列条件中，可以添加的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得垂直平分，从而得到、，要使四边形是菱形，只需证明，结合选项进行判断即可． 【详解】解：四边形是正方形， 垂直平分， 、， 若添加，则， 四边形是菱形， 故选项A符合题意； 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， 恒成立，无法判定四边形是菱形， 故B不符合题意； 若无法推出， 故C不符合题意； 若只能确定点F的位置，无法确定点E的位置， 故D不符合题意． 6. 如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（本大题共12题，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为_____________度． 【答案】144° 【解析】 【分析】利用十边形的外角和是360度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出每个内角的度数． 【详解】∵一个十边形的每个外角都相等， ∴十边形的一个外角为360÷10=36°． ∴每个内角的度数为 180°-36°=144°． 故答案为：144°． 【点睛】此题考查多边形的外角性质及内角与外角的关系．解题关键在于掌握多边形的外角性质：多边形的外角和是360度．边形的内角与它的外角互为邻补角． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 点到原点的距离为． 9. 如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 【答案】## 【解析】 【详解】解：设所求一次函数的表达式为， 将点代入得：， 则这个一次函数的表达式为：． 10. 如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性即可判断的取值范围． 【详解】解：反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，即随的增大而增大， ． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交边于点．当时，________°． 【答案】30 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，由作图可知，根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴， ∴. 12. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中区域A、B分别表示其中的两种图形，那么区域A表示的图形具有而区域B表示的图形不一定具有的性质是________（写出一个即可）． 【答案】邻边相等（或对角线互相垂直） 【解析】 【详解】解：由平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系可知，矩形和菱形的公共部分是正方形，根据图示，右侧圆圈表示菱形，则左侧圆圈表示矩形，区域A是矩形和菱形的交集，表示正方形，即区域B表示矩形， 因此，区域A表示的图形具有而区域B表示的图形不一定具有的性质是邻边相等（或对角线互相垂直）． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 14. 在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互啮合齿轮每分钟转过的总齿数相等，建立与的等量关系，整理后即可得到关于的函数表达式． 【详解】解：大齿轮每分钟转过的总齿数为：， 小齿轮每分钟转过的总齿数为， 根据题意得：， 整理得， 由齿数的实际意义可知， 因此，关于的函数表达式为． 15. 已知等腰三角形的周长为，设腰与底边长分别为和，那么关于的函数表达式为________．（并写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形周长公式推导关于的函数表达式，再利用三角形三边关系，即边长为正，两边之和大于第三边，列不等式组求解自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：函数表达式为， ， ， 解得：， 因此，关于的函数表达式为：． 16. 如图，点、的坐标分别为、．现将线段平移至，点、的坐标分别为、，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察点A与的纵坐标变化，以及点B与的横坐标变化，确定平移的方向和距离，进而求出m和n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为，  纵坐标由0变为1，增加了1，说明向上平移了1个单位长度， 点B的坐标为，点的坐标为，  横坐标由0变为2，增加了2，说明向右平移了2个单位长度， 线段平移至的平移方式为：先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度， 、， ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标是，点、分别在边、上，连接、．点、分别是、的中点，连接，那么的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形中位线定理可得，根据垂线段最短可知当 时最短，此时最小，结合点坐标即可求解． 【详解】解：连接， 点、分别是、的中点， ， 当有最小值时，为最小值， 四边形 是平行四边形，点 A 在 x轴上，  点 F 在 x轴上运动，  点C的坐标为，  当轴时，的值最小，即最小值为2， 的最小值为． 18. 如图，点在正方形的边上（点与点、不重合），将沿所在直线翻折，得到．延长交于点，交的延长线于点．再将沿所在的直线翻折，得到．连接，如果点始终落在的内部（不含边界），，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为点始终落在的内部，所以我们可知，临界条件即时，恰好落在上，求出点从点开始运动到此时的取值范围即可． 【详解】解：当点恰好落在上时， 由折叠的性质可知：， 四边形是正方形， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点在点时，此时， 点在正方形的边上（点与点、不重合），点始终落在的内部（不含边界）， ． 三、解答题（本大题共6题，满分66分，如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤） 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为、、．已知与关于直线成轴对称． （1）在图中画出，并写出、、的坐标； （2）在第四象限内存在一点，使得四边形是平行四边形，在图中画出点的位置，并写出的坐标． 【答案】（1） 、、； （2） ． 【解析】 【分析】（1）作出、、关于直线对称的、、，连线即可； （2）确定点在第四象限，使得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设， 要使，且点在第四象限， ， 解得：， ． 20. 如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵，为的中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）1.4 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质得出，根据等边对等角得出，结合角平分线的定义得出，则，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）证明平行四边形是矩形，得出，，，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，从而得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 在中，， 在中， ， ∴， 解得． 21. 小静在使用一款国际天气查询的时，发现该支持摄氏温度与华氏温度的自由切换．为了了解换算规律，她记录了中几个特定温度值的对应关系，如表所示： 摄氏温度 … … 华氏温度 … 77 … （1）小静通过描点画图发现华氏温度是摄氏温度的一次函数，求关于的函数表达式； （2）如果小静查询到当地某日的气温为，求当日的摄氏温度； （3）小静认为存在华氏温度与摄氏温度相等的温度值，你同意吗？如果同意，请求出这个温度值；如果不同意，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）同意，这个温度值为，即 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格中已知的对应点坐标，求出一次函数的系数，得到函数表达式； （2）将已知的华氏温度代入所求解析式，解一元一次方程得到对应摄氏温度； （3）令，解方程判断是否存在实数解，若有解则说明存在该温度值． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将点、代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得：， 解得：，  答：当日的摄氏温度为； 【小问3详解】 解：同意小静的说法，过程如下： 若华氏温度与摄氏温度相等，则满足， 联立， 解得：， 因此，存在该温度值，即． 22. 如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别令、，得出，，根据的面积为得出，根据点在轴的正半轴上求出，即可得出一次函数的表达式； （2）过点作轴于，过点作，交延长线于，可得，，，根据旋转的性质得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，得出，，，，把代入，解方程可求出的值，进而可得出双曲线的表达式． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴，，， ∴，， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，过点作，交延长线于， ∵点，在双曲线上， ∴，，，， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点恰好落在直线上，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴， ∴该双曲线的表达式为． 23. 如图，已知，点在边上． （1）在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； （2）在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 【答案】（1）如图所示， 根据作图可知，，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形即为所求菱形； （2） ①，，； ②方法一：如图所示，连接对角线得到均是等腰三角形， 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 在中，，顶角的度数为；在中，，顶角的度数为； 方法二：如图所示，连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点E， ∴，， ∴是等腰三角形，顶角的度数为， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的邻边相等，对角线相互垂直平分，且每条对角线平分一组对角的性质作图，先作邻边相等，即以点A为圆心，以长为半径画弧交于点D，连接，得等腰三角形，再作线段的垂直平分线，即分别以点为圆心，以大于长为半径画弧交于点，作直线，由等腰三角形的性质得到的垂直平分线经过点A，则射线垂直平分，最后再作邻边相等，即以点B为圆心，以为半径画弧交于点C，连接即可； （2）①根据菱形的性质即可求解； ②根据菱形的性质，等腰三角形的定义作图即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①∵四边形是菱形，， ∴，，； ②略． 24. 综合与实践 我们知道，质量均匀分布、厚度可忽略的薄板，其重心位置仅与几何形状有关．通过物理实验可以发现，三角形的重心是三条中线的交点，矩形的重心恰好位于其对角线的交点处．若一个平面图形可被分割为若干规则图形，我们还可借助平面直角坐标系，通过研究各部分重心的坐标，进一步探寻整体重心的位置规律． 如图1所示，已知在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）任务一 ：确定矩形的重心 直接写出矩形的重心坐标：（ ， ）． （2）任务二：从矩形分割中发现规律 将矩形视为一块匀质薄板．下面我们对该矩形进行不同分割，观察各部分重心与整体重心之间的关系． 实验：分别将矩形分成左右或上下两个面积相等的矩形（如图2、3所示），不难得到这两个小矩形的重心坐标．发现：矩形的重心就是连接这两部分重心的线段的 ． 小丽提出疑问：“如果两部分面积不相等，刚才的结论还成立吗？” 小杰说：“我觉得不成立．根据物理知识，对于材质均匀、厚度相同的薄板，面积越大质量越大，而质量大的部分对整体重心位置的影响越大，所以整体重心会更偏向面积（质量）大的那部分，至于具体是怎样的规律，我还没得出．” 为了验证小杰的猜想，以及探究重心偏离中点的规律，他们做了第个实验． 实验2：将矩形作如下分割： 分割1：将矩形分成左右两个面积比为的矩形（如图4所示）． ①左侧矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； ②右侧矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； 分割2 将矩形分成上下两个面积比为的矩形（如图5所示）． ③上方矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； ④下方矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； 根据上述两种分割获得的数据，完成下面填空： ⑤分割1：重心的横坐标 ，重心的纵坐标 ； ⑥分割2：重心的横坐标 ，重心的纵坐标 ； 规律获得：一般地，当一个矩形被分成面积分别为、的两部分时，如果设这两部分的重心坐标分别为、，这个矩形的重心坐标为，那么： ， ．（用含、、、、、的代数式表示） （3）任务三 求简单组合图形的重心 将“”型角钢的横截面放置在平面直角坐标系中（如图所示），结合以上探究所得的规律，根据图中提供的信息确定角钢的横截面的重心坐标为（ ， ）． 【答案】（1）2；3 （2）实验1：中点；实验2：①；，3；②；，3；③；，；④；，；⑤，；，；⑥，；，；规律获得：， （3） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出的中点的坐标即可得到答案； （2）实验1：如图2所示，根据矩形和矩形的面积相等，可证明，则可求出，据此求出点M和点N的坐标，则可证明点G为的中点；如图3所示，根据矩形和矩形的面积相等，可证明，则可求出，据此求出点M和点N的坐标，则可证明点G为的中点 实验2：①如图4所示，根据矩形的面积与矩形的面积的比值为，得到，则，据此可求出的坐标； ②根据矩形的面积与矩形的面积的比值为，得到，根据中点坐标公式可得的坐标； ③如图5所示，根据矩形的面积与矩形的面积的比值为，得到，，据此可求出的坐标； ④根据矩形的面积与矩形的面积的比值为，得到，再根据中点坐标公式可求出的坐标； ⑤⑥根据①②③④可得答案； 规律获得：根据⑤⑥可得答案； （3）把阴影部分分为矩形和矩形，求出两个矩形的面积和对应的重心坐标，再根据规律获得中的结论计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴的中点的坐标为，即， ∵四边形是矩形， ∴矩形的重心G即为的中点， ∴点G的坐标为； 【小问2详解】 解：实验1：如图2所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴点E是的中点， ∴， ∴， ∴矩形的重心M的坐标为，即， 矩形的重心N的坐标为，即， ∴的中点坐标为，即， ∴点G为的中点； 如图3所示， ∵，． ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵矩形和矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∴矩形的重心M的坐标为，即， 矩形的重心N的坐标为，即， ∴的中点坐标为，即， ∴点G为的中点； 综上所述，矩形的重心就是连接这两部分重心的线段的中点； 实验2：①如图4所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形的面积与矩形的面积的比值为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的重心的坐标为，即； ②∵矩形的面积与矩形的面积的比值为， ∴， ∵，， ∴矩形的重心的坐标为，即； ③如图5所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形的面积与矩形的面积的比值为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的重心的坐标为，即； ④∵矩形的面积与矩形的面积的比值为， ∴， ∵，， ∴矩形的重心的坐标为，即； ⑤重心的横坐标，重心的纵坐标； ⑥重心的横坐标，重心的纵坐标； 规律获得：一般地，当一个矩形被分成面积分别为、的两部分时，如果设这两部分的重心坐标分别为、，这个矩形的重心坐标为，那么：，； 【小问3详解】 解：如图所示，把阴影部分分为矩形和矩形， 由题意得，，，，， ∴， ∴，， ∵矩形的重心的坐标为，即， 矩形的重心的坐标为，即， ∴角钢的横截面的重心坐标为，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市静安区2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题 （完成时间：100分钟，满分：120分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 因为四边形具有不稳定性，所以当各边长确定时，下列选项中不能被确定的是（ ） A. 四边形的内角和 B. 四边形的外角和 C. 四边形的周长 D. 四边形的面积 2. 第二象限的点P到x轴距离为3，到y轴距离为2，则P点坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 下列函数是正比例函数的是（ ） A. B. C. D. （是常数） 4. 已知一次函数，若，则该函数图象一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 5. 如图，在正方形中，点、在对角线上（点、不重合），连接、、、，要使四边形是菱形，在下列条件中，可以添加的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 一个十边形的每一个外角都相等，那么它的一个内角的度数为_____________度． 8. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为________． 9. 如果一次函数的图像可以由函数的图像平移得到，且该一次函数图像与轴的交点坐标为，那么这个一次函数的表达式为________． 10. 如果反比例函数在其图像所在的每个象限内均上升，那么的取值范围是________． 11. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交边于点．当时，________°． 12. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图所示，其中区域A、B分别表示其中的两种图形，那么区域A表示的图形具有而区域B表示的图形不一定具有的性质是________（写出一个即可）． 13. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 14. 在相互啮合的齿轮的传动中，大齿轮的齿数为，每分钟转圈，如果小齿轮的齿数为，每分钟转圈，那么关于的函数表达式为________． 15. 已知等腰三角形的周长为，设腰与底边长分别为和，那么关于的函数表达式为________．（并写出自变量的取值范围） 16. 如图，点、的坐标分别为、．现将线段平移至，点、的坐标分别为、，那么的值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标是，点、分别在边、上，连接、．点、分别是、的中点，连接，那么的最小值为________． 18. 如图，点在正方形的边上（点与点、不重合），将沿所在直线翻折，得到．延长交于点，交的延长线于点．再将沿所在的直线翻折，得到．连接，如果点始终落在的内部（不含边界），，那么的取值范围是________． 三、解答题（本大题共6题，满分66分，如无特别说明，本大题作答在答题纸上，须写出证明或计算的主要步骤） 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为、、．已知与关于直线成轴对称． （1）在图中画出，并写出、、的坐标； （2）在第四象限内存在一点，使得四边形是平行四边形，在图中画出点的位置，并写出的坐标． 20. 如图，已知：在四边形中，平分，，为的中点，过点作，交边于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，，求的长． 21. 小静在使用一款国际天气查询的时，发现该支持摄氏温度与华氏温度的自由切换．为了了解换算规律，她记录了中几个特定温度值的对应关系，如表所示： 摄氏温度 … … 华氏温度 … 77 … （1）小静通过描点画图发现华氏温度是摄氏温度的一次函数，求关于的函数表达式； （2）如果小静查询到当地某日的气温为，求当日的摄氏温度； （3）小静认为存在华氏温度与摄氏温度相等的温度值，你同意吗？如果同意，请求出这个温度值；如果不同意，请说明理由． 22. 如图，已知一次函数的图像与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为． （1）求一次函数的表达式； （2）已知点在双曲线上．连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点记作点，当点恰好落在直线上时，求该双曲线的表达式． 23. 如图，已知，点在边上． （1）在图中以为边长，求作菱形，使点落在射线上（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹）； （2）在所作的菱形中完成探究： ①直接写出这个菱形的其余三个内角的度数： °， °， °； ②请设计种分割方法，把这个菱形恰好分成四个等腰三角形，在图中画出分割线，并标出每个等腰三角形的顶角的度数． 24. 综合与实践 我们知道，质量均匀分布、厚度可忽略的薄板，其重心位置仅与几何形状有关．通过物理实验可以发现，三角形的重心是三条中线的交点，矩形的重心恰好位于其对角线的交点处．若一个平面图形可被分割为若干规则图形，我们还可借助平面直角坐标系，通过研究各部分重心的坐标，进一步探寻整体重心的位置规律． 如图1所示，已知在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别为，，． （1）任务一 ：确定矩形的重心 直接写出矩形的重心坐标：（ ， ）． （2）任务二：从矩形分割中发现规律 将矩形视为一块匀质薄板．下面我们对该矩形进行不同分割，观察各部分重心与整体重心之间的关系． 实验：分别将矩形分成左右或上下两个面积相等的矩形（如图2、3所示），不难得到这两个小矩形的重心坐标．发现：矩形的重心就是连接这两部分重心的线段的 ． 小丽提出疑问：“如果两部分面积不相等，刚才的结论还成立吗？” 小杰说：“我觉得不成立．根据物理知识，对于材质均匀、厚度相同的薄板，面积越大质量越大，而质量大的部分对整体重心位置的影响越大，所以整体重心会更偏向面积（质量）大的那部分，至于具体是怎样的规律，我还没得出．” 为了验证小杰的猜想，以及探究重心偏离中点的规律，他们做了第个实验． 实验2：将矩形作如下分割： 分割1：将矩形分成左右两个面积比为的矩形（如图4所示）． ①左侧矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； ②右侧矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； 分割2 将矩形分成上下两个面积比为的矩形（如图5所示）． ③上方矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； ④下方矩形的面积占整个矩形面积的 ，其重心坐标（ ， ）； 根据上述两种分割获得的数据，完成下面填空： ⑤分割1：重心的横坐标 ，重心的纵坐标 ； ⑥分割2：重心的横坐标 ，重心的纵坐标 ； 规律获得：一般地，当一个矩形被分成面积分别为、的两部分时，如果设这两部分的重心坐标分别为、，这个矩形的重心坐标为，那么： ， ．（用含、、、、、的代数式表示） （3）任务三 求简单组合图形的重心 将“”型角钢的横截面放置在平面直角坐标系中（如图所示），结合以上探究所得的规律，根据图中提供的信息确定角钢的横截面的重心坐标为（ ， ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $