精品解析：山东省泰安市泰山区泰山实验中学2021-2022学年九年级上学期数学期中考试试题

2021~2022学年九年级第一学期期中测试数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的） 1. 已知点是反比例函数图象上的一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数图象上的点，先由已知点代入反比例函数求出的值，再逐一验证各选项点的坐标是否满足，即可． 【详解】解：将点代入，得，解得． ∴反比例函数为． 对于选项A：，故点不在函数图象上； 对于选项B：，故点在函数图象上； 对于选项C：，故点不在函数图象上； 对于选项D：，故点不在函数图象上； 故选B． 2. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小大．当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大． 分别把各点代入反比例函数求出、、，的值，再比较出其大小即可． 【详解】都在反比例函数的图象上， 故选：D． 3. 下列关于反比例函数的结论中正确的是（　　　） A. 图象过点（2，3） B. 图象在二、四象限内 C. 在每个象限内，y随x的增大而减小 D. 当x＞－1时，y＞6 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】解：A．∵，函数的图象不经过（2，3），∴A错误， B．∵k=-6＜0，即：函数的图象在二，四象限内，∴B正确， C．∵k=-6＜0，即：在每个象限内，随的增大而增大，∴C错误， D．∵当时，则或，∴D错误， 故选择：B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握比例系数k的意义与增减性，是解题的关键． 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以求得 OA和 AC的长，从而可以求得点 C的坐标，进而求得 k的 值，本题得以解决． 【详解】等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，CA⊥x轴，， ， ，， 点的坐标为， 点在函数的图象上， ， 故选． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键 是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出△ABC的面积，以及利用勾股定理求出，，利用面积法求出，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形． 6. 如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作BD垂直于AC于点D，根据计算可得，;根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意作BD垂直于AC于点D.可得AB= ， 所以可得 因此可得 故选B. 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可. 7. 等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出等腰三角形的腰长为13cm，作底边上的高，根据等腰三角形的性质得出底边一半的长度，最后由三角函数的定义即可得出答案． 【详解】 如图，是等腰三角形，过点A作，BC=10cm，AB=AC， 可得：， ∵AD是底边BC上的高， ∴， ∴ ∴， 即底角的正切值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理和三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”是解题的关键． 8. 一架米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度．即=cos40°，由此可以求出梯子底端到墙角的距离． 【详解】∵梯子本身和墙、地面构成一个直角三角形，且与地面的夹角为40度， ∴梯子底端到墙角的距离=梯子长度×cos40∘=5cos40∘. 故选B. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用. 9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将抛物线表达式化为顶点式，再根据二次函数平移规律，即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴该抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位得到的函数表达式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移规律“左加右减，上加下减”． 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项． 【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误； B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误； C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误； D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确， 故选D． 考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键． 11. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x==，再由图象中的数据可以得到当x=取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x＜时，y随x的增大而增大，当x＞时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=-1时，y=-3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可知， 二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x==时，取得最大值， ∴抛物线的开口向下，故①正确， 其图象的对称轴是直线x=，故②错误， 当x＜时，y随x的增大而增大，故③正确， 方程ax2+bx+c=0的一个根大于-1，小于0，则方程的另一个根大于2×=3，小于3+1=4，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确． 12. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以知道，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出x的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：设抛物线的解析式为，由题意得： ， ， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：（舍去），， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题时设抛物线的顶点式求解析式是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=_______． 【答案】7 【解析】 【详解】试题分析：根据点的坐标以及反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．∵反比例函数y=的图象经过点（2，3），∴k﹣1=2×3，解得：k=7． 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 14. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 【答案】 【解析】 【详解】延长BA与y轴交于点C,根据反比例函数k的几何意义可得: ,所以. 故答案为：． 15. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】分析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan∠BAC=，求出OB=1，那么BD=2． 详解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB． 在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°， ∴tan∠BAC=， ∴OB=1， ∴BD=2． 故答案为2． 点睛：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 16. 当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】把抛物线解析式从一般形式化为顶点式后直接解答即可． 【详解】 经过 ，火箭达到最大高度，最大高度为 1135 米； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，关键是用配方法得到二次函数的顶点式． 17. 已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数图象与x轴的交点再结合函数图象得出答案． 【详解】解：如图所示，图象与x轴交于（-1，0），（3，0）， 故当y＜0时，x的取值范围是：-1＜x＜3． 故答案为：-1＜x＜3． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确数形结合分析是解题关键． 18. 抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值与二次根式，计算负整数指数幂，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 21. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为48，求平移后的直线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由A点的纵坐标是3及点A在直线上，可求得点A的坐标，代入反比例函数解析式中即可求得k值，从而求得反比例函数解析式； （2）设直线向上平移后交y轴于点，则，由题意易得点A、B的横坐标，则即可求得p的值，从而可得到平移后直线的解析式． 【小问1详解】 ∵A在，A点的纵坐标是3， 则得：， 即． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 如图，若直线向上平移后交y轴于点，则OP=p． ∵AB∥CP， ∴ 又∵A、B两点关于原点对称， ∴点，则 ∵， ∴， 即． ∴， 解得：． ∴平移后的直线的函数表达式． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合问题，考查了求反比例函数的解析式及一次函数解析式，点在函数图象上的坐标特征，直线平移的解析式特征，关键是利用平行线把△ABC的面积转化为△ABP的面积，同时利用割补思想转化为△AOP与△BOP面积的和． 22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 【答案】该建筑物的高度约为138m． 【解析】 【分析】根据CE=xm，则由题意可知BE=xm，AE=（x+100）m，再利用解直角得出x的值，即可得出CD的长． 【详解】解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝ ∴，3x＝(x＋100) 解得x＝50＋50＝136.6 ∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m) 答：该建筑物的高度约为138m． 23. 二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． 【小问3详解】 解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出，，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图， 设的解析式为：， ∵,， 所以， 解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵， ∴ ， 解得：（舍） 或， ∴. 25. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） 【答案】米 【解析】 【详解】解：作于点F，于点G 在中 ∵， ∴， ∵山坡的坡度，， ∴， ， ∴， ∵ ∴ ∴ 答：这块宣传牌的高度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021~2022学年九年级第一学期期中测试数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择题102分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的） 1. 已知点是反比例函数图象上的一点，则下列各点在该函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则（） A. B. C. D. 3. 下列关于反比例函数的结论中正确的是（　　　） A. 图象过点（2，3） B. 图象在二、四象限内 C. 在每个象限内，y随x的增大而减小 D. 当x＞－1时，y＞6 4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，∠BAC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一艘船由港沿北偏东65°方向航行至港，然后再沿北偏西40°方向航行至港，港在港北偏东20°方向，则，两港之间的距离为（ ）. A. B. C. D. 7. 等腰三角形的底边长，周长，则底角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 一架米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 11. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 1 3 y 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线；③当时，函数值y随x的增大而增大；④方程有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，从某建筑物高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙，离地面，则水流落地点B离墙的距离是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 反比例函数y=的图象经过点（2，3），则k=_______． 14. 如图，点 A 在双曲线y＝上，点 B 在双曲线y＝上，且AB∥x轴，则△OAB 的面积等于________． 15. 如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是_____． 16. 当一枚火箭被竖直向上发射时，如果它的高度与时间之间的关系可以用公式表示，那么火箭到达最高点，经过的时间为 ________． 17. 已知，二次函数的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是________． 18. 抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 三、解答题（本大题共7小题，共78分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 21. 如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于关于原点对称的A，B两点，已知A点的纵坐标是3． （1）求反比例函数的表达式； （2）将直线向上平移后与反比例函数在第二象限内交于点C，如果的面积为48，求平移后的直线的函数表达式． 22. 如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m） 23. 二次函数的图象经过，，三点． （1）求这个函数的解析式； （2）求函数顶点的坐标； （3）当时，直接写出y的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点B的坐标为．抛物线经过A、B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使．求点P的坐标． 25. 如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度，米，米，求这块宣传牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米．参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $