精品解析：内蒙古乌兰浩特市第五中学2022-2023学年八年级下学期第一次检测数学试题

乌兰浩特市第五中学教学质量监测试题 2023.02 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将自己的考号、姓名、学校、考场、座号填写在答题卡上，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上． 4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．本题12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算中，正确的是【 】． A. a3·a4=a12 B. (a3)4=a12 C. a+a4=a5 D. (a+b)(a－b)=a2+b2 2. 对称现象无处不在，请你观察下面4个汽车标致图案，是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，5，11 C. 8，7，15 D. 13，12，20 4. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为 A. 6.5×107 B. 6.5×10－6 C. 6.5×10－8 D. 6.5×10－7 5. 等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（　　） A. 5、5 B. 2、8 C. 5、5或2、8 D. 以上结果都不对 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 7. 分式中的、都扩大3倍，分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 不能确定 8. 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）． A. 8m B. 4m C. 2m D. 6m 9. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 10. 若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是 ( ) A. 1或5 B. 1 C. 7或－1 D. －1 11. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 5cm 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 计算的结果是_______________． 14. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是_____． 15. 若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝_____． 16. 对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是______． 17. 如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为________． 三、解答题（本题5个小题，共36分） 18. 分解因式： （1） （2） 19. 解分式方程： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中满足． 21. 已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点． （1）求证：EO＝BE； （2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB． 22. 如图，为的中线，为的中线． （1），求的度数； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少． 四、（本题8分） 23. 已知A（1，-1），B（ - 1，4），C（-3，1） （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC（每个小正方形的边长为1）； （2）作△ABC关于y轴对称的△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为D，E，F； （3）连接BE，BF，求△BEF的面积 五、（本题8分） 24. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 六、（本题8分） 25. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？ 七、（本题9分） 26. 综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰浩特市第五中学教学质量监测试题 2023.02 八年级数学 温馨提示： 1．本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前务必将自己的考号、姓名、学校、考场、座号填写在答题卡上，请用0.5毫米的黑色字迹签字笔直接答在答题卡上．在试卷上作答无效． 3．请将姓名与考号填写在本试卷相应位置上． 4．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 一、选择题（下列各题的四个选项中只有一个正确．本题12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列运算中，正确的是【 】． A. a3·a4=a12 B. (a3)4=a12 C. a+a4=a5 D. (a+b)(a－b)=a2+b2 【答案】B 【解析】 【详解】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可： A、a3•a4=a7，故本选项错误；B、（a3）4=a12，故本选项正确； C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a＋b）（a－b）=a2－b2，故本选项错误， 故选B． 2. 对称现象无处不在，请你观察下面4个汽车标致图案，是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：根据轴对称图形的概念，前3个是轴对称图形，第四个不是轴对称图形，属于轴对称图形有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 5，5，11 C. 8，7，15 D. 13，12，20 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案． 【详解】解： 所以为边不能组成三角形，故A不符合题意； 所以为边不能组成三角形，故B不符合题意； 所以为边不能组成三角形，故C不符合题意； 所以为边能组成三角形，故D符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 4. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占有面积0.00000065mm2，0.00000065用科学记数法表示为 A. 6.5×107 B. 6.5×10－6 C. 6.5×10－8 D. 6.5×10－7 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故答案为D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5. 等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（　　） A. 5、5 B. 2、8 C. 5、5或2、8 D. 以上结果都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据腰的情况分类讨论，再根据等腰三角形的周长求另两条边的长即可. 【详解】当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形； 当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形． 故另两条边的长是5、5或2、8． 故选C． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的定义和构成三角形的条件，根据等腰三角形腰的情况分类讨论和掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解决此题的关键. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个． A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置． 【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个， 综上所述，满足条件的点P有8个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便． 7. 分式中的、都扩大3倍，分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】把原分式中的x换成3x，把y换成3y进行计算，再与原分式比较即可． 【详解】解：把原分式中的x换成3x，把y换成3y， 则有，即扩大3倍， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是整体代入计算得出结果． 8. 如图是屋架设计图的一部分，其中∠A=30°，点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=16m，则DE的长为（ ）． A. 8m B. 4m C. 2m D. 6m 【答案】B 【解析】 【分析】先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半进行求解． 【详解】解：∵∠A=30°，AB=16m，∠ACB=90°， ∴BC=AB=×16=8m， ∵BC、DE垂直于横梁AC， ∴BC//DE， ∵点D是斜梁AB的中点， ∴AE=CE ∴DE=BC=×8=4m． 故选：B． 9. 若，则的值为（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将已知等式化为完全平方的平方，根据平方的非负性求得的值，进而求得代数式的值． 【详解】， ， ， ， 解得， ． 故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据非负数之和为零求得的值是解题的关键． 10. 若+(m－3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是 ( ) A. 1或5 B. 1 C. 7或－1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构a2±2ab+b2，即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：（m-3）a=±2a×2， 则m-3=±4， 解得：m=7或-1． 故选：C． 11. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系． 先弄清因客户要求工作提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前5天”找到等量关系，然后列出方程即可． 【详解】解：因客户的要求每天应该做件，所用的时间为：， 根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间减去新完成时间， 可以列出方程：． 故选：D． 12. 如图，已知正方形ABCD的边长是为10cm，△ABE为等边三角形（点E在正方形内），若P是AC上的一个动点，PD+PE的最小值是多少（　　） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】由于点B与D关于AC对称，与AC的交点即为P点，此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，从而得出结果. 【详解】设BE与AC交于点P'，连接BD， ∵点B与D关于AC对称， ∴P′D=P′B， ∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小， ∵AB=10， 又∵△ABE是等边三角形， ∴PD+PE=BE=AB=10cm. 故选C. 【点睛】本题考查的是正方形的性质和轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的重点，由正方形的性质得出点B即为点D关于AC的对称点是解答此题的关键. 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分） 13. 计算的结果是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则，是解题的关键． 14. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是_____． 【答案】11##十一 【解析】 【详解】试题解析：根据题意，得 （n-2）•180-360=1260， 解得：n=11． 那么这个多边形是十一边形． 考点：多边形内角与外角． 15. 若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝_____． 【答案】4． 【解析】 【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：∵m+n＝2，mn＝1， ∴m3n+mn3+2m2n2 ＝mn（m2+2mn+n2） ＝mn（m+n）2 ＝1×22 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 16. 对于实数，定义一种新运算“”：．例如，，则方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算法则的计算、分式方程的解法，根据题中的新运算法则列出分式方程，再根据分式方程的解法解答即可． 【详解】解： ∴方程为： 去分母得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 17. 如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线平分三角形的面积和全等三角形的面积相等，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的中线平分三角形的面积．遇到角平分线和垂线，常常构造等腰三角形来进行解题．通过构造等腰三角形证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（本题5个小题，共36分） 18. 分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先将原式变形为平方差的形式，用平方差公式分解后，再用完全平方公式分解彻底． 【小问1详解】 解：    ； 【小问2详解】 解：        ． 19. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后检验分母是否为零，进而得到原方程的解或判断方程无解，用到分式方程的基本解法，求解后必须检验． 【小问1详解】 解：方程的最简公分母为，  方程两边同乘得：，  展开得：， 合并同类项得：， 解得：，  检验：当时，，  因此原分式方程的解为． 【小问2详解】 解：原方程化为，  方程两边同乘得：，  解得：，  检验：当时，， 因此是原方程的根． 20. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先化简分式，再根据平方和绝对值的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，，  ， ， 解得， ∴原式． 21. 已知如图，ABC中，EFBC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O点． （1）求证：EO＝BE； （2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BOE＝∠CBO，再由角平分线的定义得到∠EBO＝∠CBO，则∠EBO＝∠BOE，从而可以得到EO＝BE； （2）由EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF，EO＝BE，则OF＝CF，故∠COF＝∠FCO，由EF∥BC， 可得∠COF＝∠BCO，故而∠BCO＝∠FCO，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵EF∥BC， ∴∠BOE＝∠CBO， ∵∠B的平分线交EF于O点， ∴∠EBO＝∠CBO， ∴∠EBO＝∠BOE， ∴EO＝BE． （2）∵EF＝BE+CF，且EF＝OE+OF， ∴OE+OF＝BE+CF， ∵EO＝BE， ∴OF＝CF， ∴∠COF＝∠FCO， ∵EF∥BC， ∴∠COF＝∠BCO， ∴∠BCO＝∠FCO， ∴OC平分∠ACB． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，角平分线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 22. 如图，为的中线，为的中线． （1），求的度数； （2）若的面积为40，，则中边上的高为多少． 【答案】（1） （2）中边上的高为 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和为与邻补角求出答案； （2）根据三角形中线的性质求出的面积，再根据三角形面积公式求出边上的高． 【小问1详解】 解：在中，， ， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵的面积为40，为的中线， ∴， 又∵为的中线， ∴， 设中边上的高为， 则， 解得， ∴中边上的高为． 四、（本题8分） 23. 已知A（1，-1），B（ - 1，4），C（-3，1） （1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出△ABC（每个小正方形的边长为1）； （2）作△ABC关于y轴对称的△DEF，其中点A，B，C的对应点分别为D，E，F； （3）连接BE，BF，求△BEF的面积 【答案】（1）如图，即为所求作的三角形， （2）如图，即为所求作的三角形， （3）3 【解析】 【分析】（1）根据A（1，-1），B（ - 1，4），C（-3，1）在坐标系内描出A，B，C，再顺次连接A，B，C即可； （2）分别确定A，B，C关于轴的对称点D，E，F，再顺次连接D，E，F即可； （3）利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案. 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）△BEF的面积 【点睛】本题考查的是坐标与图形，画关于轴对称的三角形，三角形面积的计算，掌握轴对称图形的性质是解题的关键. 五、（本题8分） 24. 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． （1）证明：； （2）如果，，求AE、BE的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接BD、CD， ∵且平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF； （2）AE=4，BE=1 【解析】 【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD=CD，再由角平分线性质得DE=CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论； （2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，则CF=AF-AC=AE-AC，又因为BE=AB-AE，由（1）知BE=CF，则AB-AE= AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵AD平分，于E，于F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF， ∴CF=AF-AC=AE-AC， 由（1）知：BE=CF， ∴AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3， ∴AE=4， ∴BE=AB-AE=5-4=1， 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 六、（本题8分） 25. 某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元． （1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？ 【答案】（1）该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元 （2）每件T恤衫的标价至少是80元 【解析】 【分析】（1）设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元，根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可； （2）设每件T恤衫的标价是元，根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式，求解即可． 【小问1详解】 设该商场购进第一批每件的进价为元，第二批T恤衫每件的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 所以，该商场购进第一批每件的进价为40元，第二批T恤衫每件的进价为44元； 【小问2详解】 两批T恤衫的数量为（件）， 设每件T恤衫的标价是元，由题意得： ， 解得 所以，每件T恤衫的标价至少是80元． 【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，列不等式解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． 七、（本题9分） 26. 综合与实践． 积累经验 （1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E，求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决，请写出证明过程： 类比应用 （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 拓展提升 （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，则点B的坐标为____________． 【答案】（1）证明：于点D，于点E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于点D，于点E可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得出结论； （2）过点作轴于点，于是可得，由，可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段的和差关系可得，进而可得出点B的坐标； （3）过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，且，进而可得，利用可证得，于是可得，，由，可得，，，进而可得点B的横坐标，点B的纵坐标，于是得解． 【详解】（1） 略 （2）解：如图，过点作轴于点， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点B的坐标为； （3）解：如图，过点作轴于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， 点B的横坐标， 点B的纵坐标， 点B的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，写出直角坐标系中点的坐标，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $