2025--2026学年人教版八年级数学下学期期末模拟卷（一）（长沙专用）

**基本信息** 以科技前沿（机器人满意度调查）、社会热点（两会物资运输）为情境，通过新定义（勾股四边形）、模型应用（数形结合）考查函数、几何、统计等核心知识，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、二次根式意义、统计量|第7题行程图像分析考查几何直观| |填空题|6/18|加权平均数、勾股定理、新定义（1级分离图形）|第16题新定义体现抽象能力| |解答题|9/72|模型应用（24题数形结合）、几何证明（21题平行四边形）、实际问题（22题超市进货）|25题勾股四边形探究考查推理能力与创新意识|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义逐个判断，即在一个变化过程中，对于自变量x的每一个确定的值，因变量y都有唯一的值与之对应，我们就说y是x的函数． 【详解】解：A、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意； B、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意； C、对于在某一范围内的每一个确定的值，不是唯一确定的值与它对应，故不是函数，不符合题意； D、对于在某一范围内的每一个确定的值，都有唯一确定的值与它对应，故是函数，符合题意． 2．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式被开方数的非负性列关于不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得． 3．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据分位数计算规则确定位置，即可得这组数据的第三四分位数． 【详解】解：∵原数据为，数据个数， ∴将数据从小到大排序得：， ∵计算第三四分位数位置：，为整数， ∴第三四分位数是第项和第项数据的平均数， 第项数据为，第项数据为， ∴这组数据的第三四分位数为． 4．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】C 【详解】解：在中，， ∴． 5．如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及中位线的性质求解即可． 【详解】解：为的中点，且， ． ． 由题意，得是的中位线， ． 6．已知一次函数的图象经过，则m的值为（     ） A．7 B．0 C．8 D．2 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将，代入函数解析式得， 整理得， 解得． 7．为保障内蒙古自治区“两会”的物资运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（     ） A．乙车比甲车早1小时到达B地 B．A，B两地相距 C．在时，两车行驶的路程不同 D．甲车的平均速度为 【答案】C 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知， 乙车比甲车早1小时到达B地，故选项A说法正确，不符合题意； A、B两地相距，故选项B说法正确，不符合题意； 在8：30时，乙车追上甲车，所以两车行驶的路程相同，故选项C说法错误，符合题意； 甲车的速度为：，故选项D说法正确，不符合题意． 8．现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 9．如果，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质由得出，进而判断出一次函数中与的符号，从而确定图象经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴一次函数的图象过一、二、四象限． 故选：C． 10．如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 【答案】B 【分析】设，则，根据题意以及正方形的性质分别求得，，进而求得四边形、的周长，即可求解． 【详解】解：依题意，，设，则， 是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，则 同理可得，， ∴四边形的周长 四边形的周长 故①正确，②错误 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】/ 【详解】根据二次根式有意义的条件，可得， 解得． 12．某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 【答案】甲 【分析】根据加权平均数的计算方法求出甲、乙两人的学期成绩，再比较两人成绩的大小即可得到结果． 【详解】解：甲的学期成绩为， 乙的学期成绩为， 因为，所以甲的学期成绩更高． 13．在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 【答案】 【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集． 【详解】解：根据题图可知，该一次函数的随的增大加而增大，且点的坐标为， 故当时，． 14．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 【答案】30 【分析】根据非负数的性质求出的三边长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，最后根据三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： ，，，且， ，，， 解得，，． ，， ， 根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，直角边为和， 的面积为． 15．如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 【答案】 【分析】作于点F，先根据折叠性质和角度关系求出，再利用直角三角形中角所对边等于斜边一半，求出的长度 【详解】解：作于点F， ， 由折叠得，，， 又四边形为矩形， ， ， ， ． 16．定义：若平面直角坐标系中两个点和满足或，则称和处于“1级分离状态”；如果图形上任意点和图形上任意点都是“1级分离状态”，则称图形和图形是“1级分离图形”；已知四个定点，若一条直线与四边形是“1级分离图形”，则 的取值范围为___________． 【答案】且 【分析】首先要准确理解“1级分离状态”的含义，即两个点的水平距离和垂直距离均大于1，在此基础上进一步理解“1级分离图形”的含义，然后通过寻找临界位置来确定 的取值范围． 【详解】对于直线，当时，， 直线经过定点． 如图1所示，根据定义，若和处于“1级分离状态”,则点应位于以点为中心，边长为2的正方形的外部区域. 由于直线与四边形是1级分离图形，根据定义可知，直线应满足距四边形上每一个点的水平距离和垂直距离均大于1，也就是把四边形在上下左右四个方向上向外各扩展一个单位长度，保证直线与拓展后的图形没有交点． 在四个顶点处扩展后的情形如图2所示，由此可知扩展后的区域为多边形,其中点的坐标为，点的坐标为． ∵直线经过定点， ∴可以把直线看作绕进行旋转． ① 若, 则直线与多边形的临界点为点，如图， 把代入，得 ， 解得． 应满足的取值范围是； ② 若, 则直线与多边形的临界点为点，如图， 把代入，得 ， 解得． 应满足的取值范围是． 综上，的取值范围为且． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： 当时，原式． 18．（6分）某公交车每月的支出费用为5000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． (1)请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是500，1000，1500，2000，2500，3000，3500，4000时y的值； (2)当每月乘客量至少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 【答案】(1) ，列表如下： x/人 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 y/元 0 1000 2000 3000 (2)当每月乘客量至少达到2500人时，该公交车才不会亏损 【分析】（1）根据题意即可列出函数关系式，再将的值分别代入函数关系式，可得对应的的值，填表即可； （2）根据题意可知，当时，该公交车才不会亏损，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； （2）解：根据题意可知，当时，该公交车才不会亏损， ∴， 解得， ∴当每月乘客量至少达到2500人时，该公交车才不会亏损． 19．（6分）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 【答案】树高为9米． 【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：由题意知，且米，米， 设米，则米， 在中：， 即， 解得， 故树高为米． 答：树高为9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键． 20．（8分）今年央视春晚节目《秧》别出心裁，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，并求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； (2)求出所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； (3)若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 【答案】(1)补全频数分布直方图见解析；6人 (2)分 (3)450人 【分析】（1）用“满意”的人数除以所占百分比可得调查抽取总数，进而求出“非常满意”等级的人数，并补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）利用“样本估计总体”进行求解即可． 【详解】（1）解：调查抽取的总人数为：人， 则“非常满意”的人数为：人， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由频数分布直方图可知，使用满意度的结果为“不满意”有2人，“比较满意”的有3人，“满意”有9人， 则中位数位于“满意”等级， 将评分“满意”等级的数据从小到大排列： 80，81，81，82，82，83，84，84，88， 则中位数为分； （3）解：人 答：这1000人中对本款机器人“满意”的人数为450人． 21．（8分）在平行四边形中，，，为中点，连接并延长交的延长线于点．连接． (1)求证：； (2)若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明： 四边形是平行四边形， ，，, ，． 点 为的中点， ． 在和中， ， ,, ∴， ∴， ∴. (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到角相等，再结合中点条件，通过证明三角形全等得出对应边相等，进而可得，，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． （2）先根据等腰三角形性质求出，结合勾股定理求出平行四边形的高，再利用平行四边形的面积等于底乘高即可求解关系，再判断三角形的形状，进而求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：过点作，垂足为． ， ∴，， ∴， 平行四边形的面积． 22．（9分）某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同． (1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？ (2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共800袋的总利润（利润售价进价）不少于5000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，则该超市有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变，超市要如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价为8元 (2)超市有11种进货方案 (3)①当时，应购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品590袋；②当时，11种进货方案获利都相同；③当时，应购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品600袋 【分析】（1）设甲种袋装食品的进价为m元，则乙种袋装食品的进价为元，根据“用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答； （2）设购进甲种袋装食品x袋，表示出乙种袋装食品袋，然后根据总利润不少于5000元且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋列出一元一次不等式组解答即可； （3）根据总利润两种袋装食品利润之和列出函数解析式，再分一次项系数大于0、等于0、小于0三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设甲种袋装食品的进价为m元，则乙种袋装食品的进价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种袋装食品的进价为10元，乙种袋装食品的进价为8元； （2）解：设购进甲种袋装食品x袋，则购进乙种袋装食品袋， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ∴， ∵x是正整数，， ∴该超市有11种进货方案； （3）解：设总利润为w元，则， ①当时，，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， （袋）， ∴此时应购进甲种袋装食品210袋，乙种袋装食品590袋； ②当时，，11种进货方案获利都相同； ③当时，，w随x的增大而减小， ∴当时，w有最大值， （袋）， ∴此时应购进甲种袋装食品200袋，乙种袋装食品600袋． 23．（9分）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形，理由如下： ∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（10分）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 25．（10分）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图1∶若四边形中，，， ，四边形 “勾股四边形”(填“是”或“不是”)，若是则写出勾股边 ，若不是填无． 性质探究： (2)如图2，，，，，． ①求证：无论θ取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求θ的值． 拓展应用： (3)如图3， 和都是等边三角形，连接，当四边形 是以、为勾股边的勾股四边形时，若 求的长． 【答案】(1)是；与 (2)①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ② (3)3 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴四边形 是“勾股四边形”，勾股边为与； （2）解：①略； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”， ，为勾股边， ∴勾股边的平方和不可能等于， ∴， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 2．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（     ）． A． B． C． D． 3．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 4．在中，，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．13 5．如图，中，，E，F分别为和的中点，是边上的高，连接，．若，则的长为（     ） A．5 B．6 C．10 D．12 6．已知一次函数的图象经过，则m的值为（     ） A．7 B．0 C．8 D．2 7．为保障内蒙古自治区“两会”的物资运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（     ） A．乙车比甲车早1小时到达B地 B．A，B两地相距 C．在时，两车行驶的路程不同 D．甲车的平均速度为 8．现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 9．如果，则一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图，已知边长为的正方形，点是边上的一点(不与点、重合)，过点作，交边与点，作点、关于的对称点、，联结、交于点、，现有以下两个命题：①四边形的周长是一个定值；②四边形的周长是一个定值； 下列说法中，正确的是(    ) A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．使代数式有意义的的取值范围是______． 12．某校八年级学生的数学学期成绩由平时成绩、期中考试成绩和期末考试成绩组成．甲、乙两名同学的各项成绩（百分制）和各项成绩占比如下表所示，那么从甲、乙两人的学期成绩看，__________的学期成绩更高（填“甲”或“乙”）． 成绩项目 平时成绩 期中考试成绩 期末考试成绩 在学期成绩中的占比 甲的成绩 90 85 90 乙的成绩 88 90 85 13．在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且经过点，那么当________时，． 14．已知的三边长分别为a、b、c，且，则的面积为___． 15．如图，矩形纸片的边上有一点，将纸片沿折叠，点落在点．若，，则点到的距离等于______． 16．定义：若平面直角坐标系中两个点和满足或，则称和处于“1级分离状态”；如果图形上任意点和图形上任意点都是“1级分离状态”，则称图形和图形是“1级分离图形”；已知四个定点，若一条直线与四边形是“1级分离图形”，则 的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）先化简，再求值：，其中． 18．（6分）某公交车每月的支出费用为5000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． (1)请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是500，1000，1500，2000，2500，3000，3500，4000时y的值； (2)当每月乘客量至少达到多少人时，该公交车才不会亏损？ 19．（6分）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？ 20．（8分）今年央视春晚节目《秧》别出心裁，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，随着科技的发展机器人在人们生活中应用广泛，某实践小组对某款聊天机器人的使用满意度进行了问卷调查，并对数据进行整理、描述和分析（测试满分为100分，所有问卷结果都在60分以上，评分分数用x表示，结果分为四个等级：“不满意”：，“比较满意”：，“满意”：，“非常满意”：），部分信息如下： 信息一： 信息二：评分“满意”等级的数据（单位：分）如下：80，81，81，82，82，83，84，84，88． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，并求所抽取的机器人使用满意度的结果为“非常满意”的人数； (2)求出所抽取的机器人使用满意度评分的中位数； (3)若有1000人购买了本款聊天机器人，请估计这1000人中对本款机器人“满意”的人数． 21．（8分）在平行四边形中，，，为中点，连接并延长交的延长线于点．连接． (1)求证：； (2)若，求平行四边形的面积． 22．（9分）某超市准备购进甲、乙两种袋装食品．其中甲种袋装食品的进价比乙种袋装食品的进价高2元，甲、乙两种袋装食品的售价分别为20元和13元，已知用2500元购进甲种袋装食品的数量与用2000元购进乙种袋装食品的数量相同． (1)求甲、乙两种袋装食品的进价分别为多少元？ (2)要使购进的甲、乙两种袋装食品共800袋的总利润（利润售价进价）不少于5000元，且购进甲种袋装食品的数量不超过210袋，则该超市有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，该超市准备对甲种袋装食品每袋优惠元出售，乙种袋装食品价格不变，超市要如何进货才能获得最大利润？ 23．（9分）如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 24．（10分）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 25．（10分）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图1∶若四边形中，，， ，四边形 “勾股四边形”(填“是”或“不是”)，若是则写出勾股边 ，若不是填无． 性质探究： (2)如图2，，，，，． ①求证：无论θ取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求θ的值． 拓展应用： (3)如图3， 和都是等边三角形，连接，当四边形 是以、为勾股边的勾股四边形时，若 求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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