2.7　探索勾股定理 同步练 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习针对勾股定理及逆定理新授课，采用基础-中档-综合三级分层，覆盖概念理解、运算应用到创新拓展，梯度衔接自然，适配课堂巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（概念、基本计算）|直接应用勾股定理求弦长，判断直角三角形边长，巩固核心公式| |中档|知识综合（应用、推理）|楼梯地毯长度计算（转化思想），等腰三角形中线与勾股定理结合，培养运算能力| |综合|拓展创新（跨情境、探究）|赵爽弦图面积关系（创新意识），航海问题（模型意识），网格中角度证明（几何直观）|

2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　A　) A.5 B.6 C.7 D.8 2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是(　A　) A. B. C. D. 3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为(　C　) A. D.2.5 【解析】 ∵长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，且∠OAB=90°， ∴OB=， ∴以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为。 4.(3分)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为x尺，所列方程为　x2＋22=(x＋0.5)2　。  5.(3分)如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为　17　m。  6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线。若AB=5，BC=6，则AD=　4　。  【解析】 ∵AB=AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°。 ∵AB=5，BC=6， ∴BD=CD=3。 在Rt△ABD中，根据勾股定理， 得AD==4。 7.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13，BC=12。求： (1)(4分)AC的长。 (2)(4分)CD的长。 解：(1)∵∠ACB=90°，AB=13，BC=12， ∴AC==5。 (2)∵S△ABC=AB·CD=BC·AC， ∴13·CD=12×5，∴CD=。 8.(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行。3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛。若B，C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？ 解：由题意得，∠CAE=40°，∠PAB=50°， ∴∠CAB=180°－40°－50°=90°。 ∵AB=16×3=48(海里)，BC=60海里， ∴AC==36(海里)， ∴乙船的速度是36÷3=12(海里/小时)。 9.如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为(　D　) A.24 B.36 C.40 D.44 【解析】 如答图，设直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c(b＞a)。 第9题答图 ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2＋b2=c2=24。 ∵小正方形的面积是4， ∴(b－a)2=a2＋b2－2ab=4， ∴ab=10， ∴图2中最大的正方形的面积为=c2＋4×ab=24＋2×10=44。 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4。以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F，则BF的长为(　B　) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】 由作图知，AF⊥BC。 ∵∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4， ∴∠C=60°，BC=2AC=8。 ∵AF⊥BC， ∴∠AFC=90°，∠FAC=90°－∠C=30°， ∴CF=AC=2， ∴BF=BC－CF=6。 11.(3分)一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7 m，当人从门外走到离该传感器4 m及4 m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高1.7 m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 　m。  【解析】 如答图，过点C作CQ⊥AB于点Q， 第11题答图 ∴BQ=CD=1.7 m。 ∴PQ=PB－QB=4.7－1.7=3(m)，而PC=4 m， 由勾股定理，得BD=CQ=(m)。 12.(8分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。 解：如答图，过点A作AD⊥BC于点D。 第12题答图 设BD=x，则CD=14－x。 由勾股定理，得AD2=AB2－BD2=AC2－CD2， ∴152－x2=132－(14－x)2，解得x=9，即BD=9， ∴AD==12， ∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84。 13.(8分)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上。求证：∠ABC=∠DFE。 证明：如答图取格点G，每个小正方形的边长均为1， 第13题答图 则在Rt△BCE和Rt△DGF中， BC=，DF=， ∴BC=DF。 同理可得，DE=AC=，EF=AB=。 在△ABC和△EFD中， ∵ ∴△ABC≌△EFD(SSS)， ∴∠ABC=∠DFE。 14.(8分)如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D。 (1)(4分)求证：CE=BD。 (2)(4分)若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理。 证明：(1)∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ACE＋∠BCD=90°。 ∵AE⊥EC， ∴∠CAE＋∠ACE=90°， ∴∠BCD=∠CAE。 ∵BD⊥CD， ∴∠CDB=90°=∠AEC， ∴△AEC≌△CDB(AAS)， ∴CE=BD。 (2)∵△AEC≌△CDB，△AEC的三边长分别为a，b，c， ∴BD=CE=a，CD=AE=b，CB=AC=c， ∴S梯形ABDE=(AE＋BD)·ED =(a＋b)(a＋b)。 又∵S梯形ABDE=S△AEC＋S△ABC＋S△BCD=ab＋c2＋ab， ∴(a＋b)(a＋b)=ab＋c2＋ab， 整理，得a2＋b2=c2。 15.(3分)[创新意识]如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a，DF=b，连结AE，BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则=　3　。  【解析】 ∵AF=a，DF=b， ∴ED=AF=a，EH=EF=DF－DE=b－a。 ∵△ADE与△BEH的面积相等， ∴DE·AF=EH·BH， ∴a2=(b－a)·b， ∴a2=b2－ab， ∴b2－a2=ab， ∴＋2=＋2=3。 第2课时　勾股定理的逆定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(　C　) A.6，8，11 B.15，9，17 C.1.5，2，2.5 D.2，4， 2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500 m，则该沙田的面积为(　A　) A.7.5 km2 B.15 km2 C.75 km2 D.750 km2 【解析】 将里换算为千米，则三角形沙田的三边长分别为2.5 km，6 km，6.5 km。 ∵2.52＋62=6.52， ∴这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5 km和6 km， ∴S=×6×2.5=7.5(km2)。 3. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，CD是AB边上的中线，则CD的长是(　D　) A.4 B.6 C.8 D.10 【解析】 在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20， ∴AC2＋BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。 又∵CD是斜边AB边上的中线， ∴CD=AB=10。 4.(3分)如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG为8，则△DGF的形状是　直角　三角形。  【解析】 ∵DG是EF边上的中线， ∴EG=EF=15， ∴EG2＋DG2=152＋82=289=172=DE2， ∴△DEG为直角三角形，且∠DGE=90°，∴∠DGF=90°， ∴△DGF是直角三角形。 5.(3分)清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数为　11，60，61　。  【解析】 通过观察可得这些勾股数的第一个数是连续的奇数，第2和第3个数相差1。 所以设下一组数为11，x，x＋1， 由勾股定理，得112＋x2=(x＋1)2， 解得x=60， 所以第5组勾股数为11，60，61。 6.(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角。 (1)(4分)a=5，b=7，c=9。 (2)(4分)a=2，b=，c=。 解：(1)∵a=5，b=7，c=9， ∴a2＋b2=74，c2=81， ∴a2＋b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形。 (2)∵a=2，b=，c=， ∴a2＋b2=7=c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C是直角。 7.(8分)方格纸中小正方形的顶点叫格点。A和B是格点，位置如图所示。 (1)(2分)在图1中确定格点C，使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC。 (2)(3分)在图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。 (3)(3分)在图2中，满足题(2)条件的格点D有几个？ 解：(1)画出△ABC如答图1所示(答案不唯一)。 　 第7题答图 (2)画出△ABD如答图2所示(答案不唯一)。 (3)如答图2，有4个。 8.(8分)如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC=AB，BC=3，D是线段AB上一点，满足BD=1.8，连结CD，CD=2.4。 (1)(4分)求证：CD⊥AB。 (2)(4分)求AC的长。 解：(1)∵BD2＋CD2=1.82＋2.42=32=BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴CD⊥AB。 (2)∵CD⊥AB， ∴△ADC是直角三角形， ∴AD2＋CD2=AC2， 即AD2＋2.42=AC2。 ∵AC=AB=AD＋BD=AD＋1.8， ∴AD2＋2.42=(AD＋1.8)2， 解得AD=0.7， ∴AC=1.8＋0.7=2.5。 9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=(m2－n2)，b=mn，c=(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　C　) A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 【解析】 ∵当m=3，n=1时， a=(m2－n2)=×(32－12)=4， b=mn=3×1=3， c=(m2＋n2)=×(32＋12)=5， ∴A不符合题意； ∵当m=5，n=1时， a=(m2－n2)=×(52－12)=12， b=mn=5×1=5， c=(m2＋n2)=×(52＋12)=13， ∴B不符合题意； ∵当m=7，n=1时， a=(m2－n2)=×(72－12)=24， b=mn=7×1=7， c=(m2＋n2)=×(72＋12)=25， ∴D不符合题意； ∵m，n是奇数，∴b是奇数， ∴没有符合条件的m，n，使a，b，c各为6，8，10， ∴C符合题意。 10.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°。试求： (1)(4分)∠BAD的度数。 (2)(4分)四边形ABCD的面积(结果保留根号)。 解：(1)如答图，连结AC。 第10题答图 ∵AB=BC=1，∠B=90°， ∴AC=。 又∵AD=1，DC=， ∴()2=12＋()2， 即CD2=AD2＋AC2， ∴∠DAC=90°。 ∵AB=BC=1， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∴∠BAD=90°＋45°=135°。 (2)由(1)可知△ABC和△ADC是直角三角形， ∴S四边形ABCD=S△ABC＋S△ADC =×1×1＋×1× =。 11.(8分)如图，点D在△ABC内部，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13。求： (1)(4分)BC的长。 (2)(4分)图中阴影部分的面积。 解：(1)∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3， ∴BC==5， ∴BC的长为5。 (2)∵AB=13，AC=12， ∴AC2＋BC2=122＋52=169=132=AB2， ∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°， ∴S阴影=S△ACB－S△BDC=×5×12－×4×3=24， ∴图中阴影部分的面积为24。 12.(8分)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？ 解：由题意，得OA=16×1.5=24(海里)，OB=12×1.5=18(海里)，AB=30海里， ∴OA2＋OB2=AB2， ∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°。 又∵∠AOD=40°， ∴∠BOD=∠AOB－∠AOD=50°。 答：另一艘轮船航行的方向是北偏西50°。 13.(8分)[推理能力]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=。求∠CPA的度数。 解：易知AC=AB，如答图，以AC为AB的对应边，向左作△AQC≌△APB，连结PQ， 第13题答图 ∴∠CAQ=∠BAP， ∴∠PAQ=∠BAC=90°。 易知QA=PA=1， ∴△APQ为等腰直角三角形，PQ2=PA2＋QA2=2，∴∠APQ=45°。 在△CPQ中，易知QC=PB=3， ∴PC2＋PQ2=7＋2=9=QC2， ∴∠QPC=90°， ∴∠CPA=∠QPC＋∠APQ=135°。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.7　探索勾股定理 第1课时　勾股定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 2.下列图形中，不能用来证明勾股定理的是( ) A. B. C. D. 3.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上。以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数为( ) A. D.2.5 4.(3分)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺。设AC的长度为x尺，所列方程为 。  5.(3分)如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺设地毯，则地毯的长度至少为 m。  6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线。若AB=5，BC=6，则AD= 。  7.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高线，且AB=13，BC=12。求： (1)(4分)AC的长。 (2)(4分)CD的长。 8.(8分)如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以16海里/小时的速度向南偏东50°方向航行，乙船向北偏东40°方向航行。3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛。若B，C两岛相距60海里，请问乙船的速度是多少？ 9.如图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为( ) A.24 B.36 C.40 D.44 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=4。以点A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点F，则BF的长为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 11.(3分)一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB=4.7 m，当人从门外走到离该传感器4 m及4 m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”。身高1.7 m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 m。  12.(8分)如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积。 13.(8分)如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DFE的顶点都在格点上。求证：∠ABC=∠DFE。 14.(8分)如图，将等腰直角三角尺按如图所示的方式放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥m于点E，BD⊥m于点D。 (1)(4分)求证：CE=BD。 (2)(4分)若设△AEC的三边长分别为a，b，c，利用此图证明勾股定理。 15.(3分)[创新意识]如图所示的图形是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形。设图中AF=a，DF=b，连结AE，BE。若△ADE与△BEH的面积相等，则= 。  第2课时　勾股定理的逆定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( ) A.6，8，11 B.15，9，17 C.1.5，2，2.5 D.2，4， 2.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500 m，则该沙田的面积为( ) A.7.5 km2 B.15 km2 C.75 km2 D.750 km2 3. 如图，在△ABC中，AC=12，BC=16，AB=20，CD是AB边上的中线，则CD的长是( ) A.4 B.6 C.8 D.10 4.(3分)如图，在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG为8，则△DGF的形状是 三角形。  5.(3分)清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”。法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献。由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第5组勾股数为 。  6.(8分)已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，判断下列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角。 (1)(4分)a=5，b=7，c=9。 (2)(4分)a=2，b=，c=。 7.(8分)方格纸中小正方形的顶点叫格点。A和B是格点，位置如图所示。 (1)(2分)在图1中确定格点C，使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC。 (2)(3分)在图2中确定格点D，使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD。 (3)(3分)在图2中，满足题(2)条件的格点D有几个？ 8.(8分)如图，△ABC是等腰三角形，其中 AC=AB，BC=3，D是线段AB上一点，满足BD=1.8，连结CD，CD=2.4。 (1)(4分)求证：CD⊥AB。 (2)(4分)求AC的长。 9.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式：a=(m2－n2)，b=mn，c=(m2＋n2)，其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数。下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) A.3，4，5 B.5，12，13 C.6，8，10 D.7，24，25 10.(8分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=，AD=1，且∠B=90°。试求： (1)(4分)∠BAD的度数。 (2)(4分)四边形ABCD的面积(结果保留根号)。 11.(8分)如图，点D在△ABC内部，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13。求： (1)(4分)BC的长。 (2)(4分)图中阴影部分的面积。 12.(8分)一艘轮船以16海里/时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行。已知它们离开港口1.5 h后相距30海里(即AB=30海里)，问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度？ 13.(8分)[推理能力]如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=。求∠CPA的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $