第2章　特殊三角形 同步练 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习以“特殊三角形”章末复习为核心，通过基础巩固、中档推理、综合应用三层设计，实现从单一知识点到跨模块综合的递进式巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|轴对称识别、等腰/直角三角形性质|选择题（1-3,7-8）直接考查概念，如第1题卡通图轴对称判断| |中档|性质简单应用、基础推理|解答题（4(1),5,6(1)）分步引导，如第5题等边三角形性质与平行线结合证明| |综合|多知识点融合、复杂推理|解答题（4(2),12）跨模块应用，如第12题结合直角三角形中点、全等判定与垂直关系证明|

第2章　特殊三角形 　章末复习 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 轴对称与轴对称图形 1.下列常见的卡通表情包中，属于轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案。如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD，且它们关于直线l对称，E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF。下列推断错误的是( ) A.OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB C.OE=OF D.∠BOC＋∠AOD=180° 　等腰三角形的判定与性质 3.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( ) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 4.(8分)在课本“目标与评定”中，有这样一道思考题：如图的钢架中，∠A=20°，焊上等长的钢条来加固钢架。若AP1=P1P2，问这样的钢条至多需要多少根？ (1)(3分)请将如下解答过程补充完整： 解：由题意可知，P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=…。 ∵∠A=20°，AP1=P1P2， ∴∠AP2P1= °，  ∴∠P2P1P3=∠P1P3P2=40°。 同理可得∠P3P2P4=∠P2P4P3=60°， ∠P4P3P5=∠P4P5P3= °，  ∴∠P5P4B=100°＞90°， ∴对于射线P4B上任意一点P6(点P4除外)，P4P5＜P5P6， ∴这样的钢条至多需要 根。  (2)(5分)继续探究：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要多少根？ 5.(8分)如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE。求证：AE⊥BC。 6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE。 (1)(4分)求证：△DEF是等腰三角形。 (2)(4分)当∠A=40°时，求∠DEF的度数。 　直角三角形的判定与性质 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC。若DE=，则AC的长是( ) A.4 B.6 C.2 D.3 9.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED。求证： (1)(4分)△MED为等腰三角形。 (2)(4分)∠EMD=2∠DAC。 　勾股定理及其逆定理 10.如图1，以Rt△ABC的各边为边长分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3。若已知S1=1，S2=2，S3=3，则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为( ) 图1　 　图2 A.5 B.5.5 C.5.8 D.6 11.(8分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE。已知∠A=50°，∠ACE=30°。 (1)(4分)求证：CE=CM。 (2)(4分)若AB=4，求线段FC的长。 　直角三角形全等的判定 12.(8分)如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，连结CD，CE，DE，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G。若CF=EG，求证：△CED是等腰直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章　特殊三角形 　章末复习 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 轴对称与轴对称图形 1.下列常见的卡通表情包中，属于轴对称图形的是(　A　) A. B. C. D. 2.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案。如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，OA=OB，OC=OD，且它们关于直线l对称，E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF。下列推断错误的是(　B　) A.OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB C.OE=OF D.∠BOC＋∠AOD=180° 【解析】 ∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称， ∴△OAB≌△ODC， ∴∠AOB=∠COD。 ∵E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，∠COF=∠DOF=∠COD， ∴∠AOE=∠BOE=∠COF=∠DOF。 ∵OE⊥OF， ∴∠BOE＋∠BOF=90°， ∴∠DOF＋∠BOF=90°， ∴OB⊥OD，故A正确； ∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定， ∴无法证明∠BOC与∠AOB之间的数量关系，故B错误； ∵△OAB≌△ODC，E，F分别是底边AB，CD的中点， ∴OE=OF，故C正确； ∵OB⊥OD， ∴∠BOC＋∠COD=90°。① ∵OE⊥OF， ∴∠COF＋∠EOC=90°。 ∵∠COF=∠AOE， ∴∠AOE＋∠EOC=90°， ∴OC⊥OA， ∴∠AOB＋∠BOC=90°。② ①＋②得，∠BOC＋∠COD＋∠AOB＋∠BOC=180°， ∴∠BOC＋∠AOD=180°，故D正确。 　等腰三角形的判定与性质 3.在如图的房屋人字梁架中，AB=AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是(　B　) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 4.(8分)在课本“目标与评定”中，有这样一道思考题：如图的钢架中，∠A=20°，焊上等长的钢条来加固钢架。若AP1=P1P2，问这样的钢条至多需要多少根？ (1)(3分)请将如下解答过程补充完整： 解：由题意可知，P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=…。 ∵∠A=20°，AP1=P1P2， ∴∠AP2P1=　20　°，  ∴∠P2P1P3=∠P1P3P2=40°。 同理可得∠P3P2P4=∠P2P4P3=60°， ∠P4P3P5=∠P4P5P3=　80　°，  ∴∠P5P4B=100°＞90°， ∴对于射线P4B上任意一点P6(点P4除外)，P4P5＜P5P6， ∴这样的钢条至多需要　4　根。  (2)(5分)继续探究：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要多少根？ 解：(2)如答图。 第4题答图 ∵∠A=∠P1P2A=15°， ∴∠P2P3P1=∠P2P1P3=30°， ∴∠P3P4P2=∠P3P2P4=45°， ∴∠P4P5P3=∠P4P3P5=60°， ∴∠P5P6P4=∠P5P4P6=75°， ∴∠P6P5C=90°， 易知P6P7＞P5P6，此时就不能再焊了。 答：当∠A=15°时，这样的钢条至多需要5根。 5.(8分)如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE∥AB，交BC于点E，连结AE。求证：AE⊥BC。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=AB，∠ABC=∠C=60°。 ∵BD平分∠ABC， ∴DC=AC。 ∵DE∥AB， ∴∠DEC=∠ABC=60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴EC=DC=AC=BC， ∴AE⊥BC。 6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE。 (1)(4分)求证：△DEF是等腰三角形。 (2)(4分)当∠A=40°时，求∠DEF的度数。 证明：(1)∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB。 在△DBE和△ECF中， ∵ ∴△DBE≌△ECF(SAS)， ∴DE=EF， ∴△DEF是等腰三角形。 (2)∵△DBE≌△ECF， ∴∠BDE=∠CEF，∠BED=∠CFE。 ∵∠A＋∠B＋∠C=180°， ∴∠B=×(180°－40°)=70°， ∴∠BDE＋∠BED=110°， ∴∠CEF＋∠BED=110°， ∴∠DEF=70°。 　直角三角形的判定与性质 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　C　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC。若DE=，则AC的长是(　B　) A.4 B.6 C.2 D.3 【解析】 ∵∠A=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=×(180°－120°)=30°。 ∵ED⊥AC， ∴∠CDE=90°，EC=2DE=2， ∴CD==3。 ∵D是AC的中点， ∴AC=2DC=6。 9.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，M为AB边的中点，连结ME，MD，ED。求证： (1)(4分)△MED为等腰三角形。 (2)(4分)∠EMD=2∠DAC。 证明：(1)∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴ME=AB，MD=AB， ∴ME=MD， ∴△MED为等腰三角形。 (2)∵ME=AB=MA， ∴∠MAE=∠MEA， ∴∠BME=∠MAE＋∠MEA=2∠MAE。 同理，∠BMD=2∠MAD， ∴∠EMD=∠BME－∠BMD=2∠MAE－2∠MAD=2∠DAC。 　勾股定理及其逆定理 10.如图1，以Rt△ABC的各边为边长分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3。若已知S1=1，S2=2，S3=3，则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为(　D　) 图1　 　图2 A.5 B.5.5 C.5.8 D.6 【解析】 设直角三角形的斜边长为a，较长的直角边长为c，较短的直角边长为b，由勾股定理，得a2=c2＋b2， ∴a2－c2－b2=0， ∴S阴影=a2－c2－(b2－S四边形DEFG)=a2－c2－b2＋S四边形DEFG=S四边形DEFG， ∴S四边形DEFG=S1＋S2＋S3=1＋2＋3=6。 11.(8分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连结CM，CE。已知∠A=50°，∠ACE=30°。 (1)(4分)求证：CE=CM。 (2)(4分)若AB=4，求线段FC的长。 解：(1)∵∠ACB=90°，M为AB的中点， ∴MA=MC， ∴∠MCA=∠A=50°， ∴∠CMA=180°－∠A－∠MCA=80°。 又∵∠CEM=∠A＋∠ACE=50°＋30°=80°， ∴∠CME=∠CEM，∴CE=CM。 (2)由题意，得CE=CM=AB=2。 ∵EF⊥AC，∠ACE=30°， ∴EF=CE=1， ∴FC=。 　直角三角形全等的判定 12.(8分)如图，△ABC和△ABD均为直角三角形，∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，连结CD，CE，DE，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G。若CF=EG，求证：△CED是等腰直角三角形。 证明：在Rt△ABC中， ∵E为斜边AB的中点， ∴CE=AB。 同理，DE=AB， ∴CE=DE。 ∵CF⊥AB，DG⊥AB， ∴∠CFE=∠EGD=90°。 在Rt△CFE和Rt△EGD中， ∵ ∴Rt△CFE≌Rt△EGD(HL)， ∴∠CEF=∠EDG。 易知∠DEG＋∠EDG=90°， ∴∠CEF＋∠DEG=90°， ∴∠CED=180°－∠CEF－∠DEG=90°。 又∵CE=DE， ∴△CED是等腰直角三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $