2.4等腰三角形的判定定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，，，则的形状是（   ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图所示，中，，点在上，且，，图中等腰三角形的个数（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，且，则的长为（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，、分别平分、，过点D作直线平行于，分别交，于点E、F，若，，则线段的长是（    ） A．4 B．3 C．7 D．8 6．如图，在中，，E为上一点，连接，D为的中点，，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，在直线或射线取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的点P有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．7个 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下五个结论：①；②；③；④为等边三角形；⑤．其中正确的有（    ） A．①②④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 9．如图，线段与线段互相垂直平分，相交于点，若， ． 10．在中，，，的平分线与交于点，点在射线上运动．当时，的度数为 ． 11．如图，在中，，，，，，，分别是边和上的点，若和关于直线对称，交于点，则 °，的周长为 ． 12．如图所示，，，，、、在同一直线上，，，求 ． 13．如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是 ． 14．如图，点是等边内一点，是外的一点，，，，连接．当 时，是等腰三角形． 三、解答题 15．如图，是等腰三角形，，点D在的延长线上． (1)尺规作图：求作一点P，使得点P到的两边的距离相等，且（不写作法，只保留作图痕迹） (2)连接，请你判断．与的大小关系，并说明理由． 16．已知：如图，是的角平分线，交于点． (1)求证：； (2)当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 17．如图，在中，，过点C作于点D，在的延长线上取点E，连接，使． (1)请说明； (2)在上截取，使得，连接，探究之间数量关系，并说明理由． 18．如图，在等腰中，，点在的延长线上，，交于于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)若为等腰三角形，求度数． 19．在中，，点是的中点，过点作，且与延长线相交于点． (1)如图，连接，求证：是等腰三角形； (2)如图，当时，求证：； (3)如图，当时，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请给出证明． 20．已知在等腰纸片中，，， 将一块含角的足够大的直角三角尺 （，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动(点不与，重合)，三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，_____， ， ；点从到运动时，逐渐变 （“大”或“小”） (2)当等于何值时，？请说明理由； (3)在点的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请求出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的判定；求出即可判断出三角形的形状．解题的关键是求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 即为等腰三角形． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键； 根据题意可知，，，都是等腰三角形，根据三角形外角的性质求得的度数，进而可得和的度数，进而证明为等腰三角形，进而求解； 【详解】解：，，， ，，，都是等腰三角形， 则，，，， ， 则，， 在中，， 则， 则， ， 则， 即为等腰三角形， 综上一共有个等腰三角形； 故选：C 3．B 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质即可求解； 【详解】解：， 为等腰三角形， ， ； 故选：B 4．B 【分析】本题考查了作图和等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解，利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 5．C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定．由平行线的性质可求出，．根据角平分线的定义可得出，，从而得出，，进而得出，，最后即可求出的长． 【详解】解：， ，． 和分别平分和， ，， ，， ，， ． 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据等腰三角形的性质求出，由D为的中点，知，得，由直角三角形两锐角互余得，从而可得结论． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵D为的中点，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题以及垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．分情况画图判定即可． 【详解】解：①作线段的垂直平分线，交于点P，交直线于一点，此时，共2个点符合条件；如图， ②是以A为圆心，以长为半径作圆，交直线于两点（B和另一个点），交射线于一点，此时，共2个点符合条件；如图， ③以B为圆心，以长为半径作圆，交直线于两点，交射线于一点，共3个点，如图， ∵，，， ∴是等边三角形， ∴作线段的垂直平分线交直线的点，以A为圆心，长为半径作圆交直线的点，以及以B为圆心，长为半径作圆交直线与右侧的点，这三个点是同一个点． ∴符合条件的一共有：个点， 故选：C． 8．A 【分析】证明，则，可判断①的正误；证明，可得，可证为等边三角形，可判断④的正误；由，可得，可判断②的正误；由 ，不一定相等，可知，不一定成立，可判断③的正误；由题意知，，得到，可判断⑤的正误． 【详解】解：∵等边、等边， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形，④正确，故符合要求； ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∴， ∵不一定相等， ∴，不一定成立，③错误，故不符合要求； 由题意知， ， ∴，⑤正确，故符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 9． 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据线段的垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的等边对等角，三线合一求解即可． 【详解】解：线段与线段互相垂直平分， ， ， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质、三角形外角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据题意画出图象，推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图：    ∵，平分， ∴，且是线段的垂直平分线， ∴， 当时，有 ， 即为等边三角形， ∴， ∴； 同理可得为等边三角形，且平分， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或 ． 11． 72 7 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和等腰三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键． ①直接利用轴对称的性质得出，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出答案； ②直接利用轴对称的性质得出，再利用的周长计算即可． 【详解】解：①和关于直线对称， ， ， ， ； 故答案为：72； ②和关于直线对称， 所以， 的周长， ， ， ， 的周长． 故答案为：7． 12．/76度 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形，等腰三角形的性质与判定是解题的关键．先证明，得到，利用三角形的外角性质得到，最后利用等腰三角形的性质即可得出． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线定义，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．延长至点，使得，再连接，证明，得到，，结合，，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，再连接， 为边上的中线， ， 又 ， ， ，， ， ， ∵ ， ∴ ， ， ， 故答案为：． 14．或或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质，等腰三角形的定义等知识，先由全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，得到，据此分别求出三个内角的度数，再根据等腰三角形的定义讨论求解即可． 【详解】解：， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ． ， ∴， ∵， ， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 故答案为：或或． 15．(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意，只需作出的角平分线，的垂直平分线，它们的交点即为所求点P； （2）先根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，结合三角形的外角性质得到，再根据线段垂直平分线的性质，则，进而等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求作； （2）解：，理由如下： 因为 所以 由作图可知平分 所以 因为 所以 由作图可知为线段的垂直平分线，Q为垂足， 所以 所以 所以． 【点睛】本题考查尺规作基本图形、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，正确判断出作出的角平分线，的垂直平分线是解答的关键． 16．(1)见解析 (2)相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论； （2）利用平行线的性质可得，则，由线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ． ∵， ， ． （2）解：．理由： ， ． ∵， ，， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质；熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）先证明，，从而可得结论； （2）根据垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，，结合全等三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）（其它形式正确也可），理由如下： 因为，， 所以是线段的垂直平分线， 所以， 所以， 因为，， 所以， 在和中， ，，， 所以， 所以， 所以． 18．(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，分类讨论是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理，结合已知得到，再根据等边对等角和等量代换得到，然后根据等角对等边可得结论； 另解：利用三角形的外角性质可证得，再根据三角形的判定与性质可得结论； （2）先根据等腰三角形的性质得，在中，利用三角形的内角和定理可求解； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况，根据等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理和解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）证明：在与中， ，， ， ， ， ， ， ； 另解： 是的一个外角， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得， 又，， ， ， ， 在中，， 则， ； （3）解：①当时，， 设， 在中，， 在中，，又， ∵， 在中，， ， 由（1）可知， ， ，即； ②当时，， 设， ， ， ，是的外角， ， ， ， 即，解得，即； ③当时，此时与题意不符； 综上所述，的度数为或． 19．(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由点是的中点，，则点在的垂直平分线上，然后根据垂直平分线性质可得，然后通过等腰三角形定义即可求证； （）过作于点，由角平分线性质可得，然后证明，所以，从而有，然后通过线段和差即可求证； （）设，交于点，过作，连接，由垂直平分线性质可得，则，然后证明，所以，然后证明 ，最后通过线段和差即可求证． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：过作于点， ∵是等腰三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴平分， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，设，交于点，过作，连接， 由垂直平分线性质可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵，     ∴． 20．(1)，，，大； (2),理由见详解 (3)存在，或时 【分析】根据等腰三角形的性质可得：，根据三角形内角和定理可以求出当时，，当时，可以求出，在中，根据三角形的内角和定理可以求出，点从到运动时，的度数逐渐减小，根据三角形内角和定理可知逐渐变大； 根据全等三角形对应边相等，可知当时，； 如果是等腰三角形，需要分三种情况讨论，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理判断是否成立即可． 【详解】（1）解：在等腰纸片中，，， ， 在中，，， ； ，， ， 在中，，， ， 当点在点位置时，， 当点在点位置时，， 点从到运动时，的度数逐渐变小，， 在中，， 随着的逐渐减小而逐渐增大； 故答案为：，，，大； （2）解：当时，， 理由如下： ， ， ， ； （3）解：当或时，是等腰三角形． 当时，， ， 又， 则， 故不成立； 当时，， ， ， ， 在中，， 此时，， 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 当时，， ， 在中，， 此时，； 在点的滑动过程中，当时，是等腰三角形； 综上所述，在点的滑动过程中，当或时，是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $