2.5　逆命题和逆定理 同步练 2026-2027学年数学浙教版八年级上册

**基本信息** 聚焦逆命题与逆定理，分层设计从概念辨析到综合证明，梯度合理，强化推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|逆命题概念与真假判断|选择1-4辨析逆命题真假，填空6书写逆命题| |能力提升|逆定理应用与简单证明|解答7判断逆命题并举反例，8用线段垂直平分线性质证明| |综合应用|几何综合推理与定理证明|12结合等腰直角三角形证明垂直平分线，13探究等边三角形内点性质，发展创新意识|

2.5　逆命题和逆定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列命题的逆命题，属于真命题的是(　B　) A.若a=b，则|a|=|b| B.如果x=y，那么 C.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0 D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 2.下列命题和其逆命题都成立的是(　B　) ①全等三角形的对应边都相等； ②全等的两个三角形成轴对称； ③全等三角形的周长相等； ④能够完全重合的两个三角形全等。 A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是(　A　) A.a=－2 B.a=－1 C.a=1 D.a=2 4.给出下列说法： ①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理； ②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题； ③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。 其中正确的是(　B　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是(　D　) A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC B.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC C.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC D.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC 【解析】 若AB=AC，AD⊥BC，则D是BC的中点， ∴AP是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，∴A是真命题。 同理可得B是真命题。 若AB=AC，∠1=∠2，则AD⊥BC， 且D是BC的中点，∴AP是BC的垂直平分线， ∴PB=PC，C是真命题。 由PB=PC，∠1=∠2，AP=AP，既不能得到三角形全等(SSA)，也不能得到垂直平分线，故不一定能得到AB=AC(在题图中，作射线AC，以点P为圆心，PC为半径画弧，交射线AC于点C'，此时BP=C'P，即使∠1=∠2，AC'也显然大于AB)，D不一定是真命题。 6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题：　对应角都相等的两个三角形是全等三角形　。  【解析】 先写出命题的条件和结论，条件：如果两个三角形是全等三角形；结论：那么它们的对应角都相等。再写出逆命题的条件：如果两个三角形的对应角都相等；结论：那么它们是全等三角形。最后尝试将逆命题写成和命题相同的形式：对应角都相等的两个三角形是全等三角形。 7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。 (1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。 (2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。 (3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。 解：(1)如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线；真命题。 (2)等边三角形有一个角是60°；真命题。 (3)若x＋y=0，则x=y=0；假命题。 反例：当x=－1，y=1时，x＋y=0，但x≠0，y≠0。 8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题： 已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上。 ∵DB=DC， ∴点D在线段BC的垂直平分线上， ∴AD是线段BC的垂直平分线。 又∵点E在AD上，∴EB=EC。 9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是　两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形　。逆命题是　真　命题(填“真”或“假”)。  【解析】 若要证明两边上的高线长相等的三角形是等腰三角形时，需分这两边的夹角是锐角、直角和钝角三种情况，其中直角的情况直接能得到结论，锐角和钝角的情况须通过AAS证明三角形全等来得到结论。 10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。 求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。 证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点， ∴　PA　=　PB　(　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等　)。  同理可得，PB=　PC　。  ∴PA=　PC　，  ∴　点P在AC的垂直平分线上　(与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　垂直平分线　上)，  ∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。 11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。 (1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。 (2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。 解：(1)∠ABE=∠ACD。理由如下： ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD， ∴△ABE≌△ACD(SAS)， ∴∠ABE=∠ACD。 (2)∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB。 由(1)，得∠ABE=∠ACD， ∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC， ∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A，F的直线垂直平分线段BC。 12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。 证明：∵AF⊥CD，∠BAC=90°， ∴∠DAH＋∠ADH=90°，∠ACH＋∠ADH=90°， ∴∠DAH=∠DCA。 ∵∠BAC=90°，BE∥AC， ∴∠ABE=90°=∠CAD。 在△ABE与△CAD中， ∵ ∴△ABE≌△CAD(ASA)， ∴AD=BE。 又∵AD=BD，∴BD=BE。 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠EBF=∠ABE－∠ABC=45°=∠ABC， ∴DP=EP，∠BPD=∠BPE=90°， ∴BC垂直平分DE。 13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。 (2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。 解：(1)逆命题：P为等边三角形ABC内一点，若PA=PB=PC，则点P到三边的距离相等。 该逆命题成立。证明如下： 如答图1，延长AP，BP，CP，分别交BC，AC，AB于点E，F，D。 第13题答图1 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC。 又∵PB=PC， ∴AE垂直平分BC。 同理，BF垂直平分AC，CD垂直平分AB， ∴S△ABC=BC·AE=AC·BF=AB·CD。 又∵AB=AC=BC， ∴AE=BF=CD。 又∵PA=PB=PC， ∴PE=PF=PD， ∴点P到三边的距离相等。 (2)如答图2。设PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，垂足分别为D，F，E，h为△ABC的一条高线长。 第13题答图2 ∵AB=BC=AC，S△ABC=S△ABP＋S△PBC＋S△APC， ∴BC·h=AB·PD＋BC·PE＋AC·PF =(PD＋PE＋PF)·BC， ∴PD＋PE＋PF=h， ∴点P到各边的距离之和等于任意边上的高线长，为定值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5　逆命题和逆定理 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.下列命题的逆命题，属于真命题的是( ) A.若a=b，则|a|=|b| B.如果x=y，那么 C.如果|x|，|y|互为相反数，那么|x|－|y|=0 D.若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 2.下列命题和其逆命题都成立的是( ) ①全等三角形的对应边都相等； ②全等的两个三角形成轴对称； ③全等三角形的周长相等； ④能够完全重合的两个三角形全等。 A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 3.下列a的取值中，可以用来证明命题“若a＞1，则a2＞1”的逆命题是假命题的反例是( ) A.a=－2 B.a=－1 C.a=1 D.a=2 4.给出下列说法： ①“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”互为逆定理； ②命题“如果两个角相等，那么它们都是直角”的逆命题为假命题； ③命题“如果－a=5，那么a=－5”的逆命题为“如果a=－5，那么－a=5”。 其中正确的是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上(不与点A，D重合)，连结PB，PC。下列命题中，不一定是真命题的是( ) A.若AB=AC，AD⊥BC，则PB=PC B.若PB=PC，AD⊥BC，则AB=AC C.若AB=AC，∠1=∠2，则PB=PC D.若PB=PC，∠1=∠2，则AB=AC 6.(3分)写出命题“全等三角形的对应角都相等”的逆命题： 。  7.(9分)写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。若是假命题，请举反例说明。 (1)(3分)垂直于同一条直线的两条直线平行。 (2)(3分)有一个角是60°的三角形为等边三角形。 (3)(3分)若x=y=0，则x＋y=0。 8.(8分)利用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理证明以下命题： 已知：如图，AB=AC，DB=DC，点E在AD上。求证：EB=EC。 9.(3分)命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”的逆命题是 。逆命题是 命题(填“真”或“假”)。  10.(7分)证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，垂足分别为E，F，两线相交于点P。 求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，并且点P到点A，B，C的距离相等。 证明：∵P是AB边垂直平分线上的一点， ∴ = ( )。  同理可得，PB= 。  ∴PA= ，  ∴ (与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上)，  ∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且点P到A，B，C的距离相等。 11.(8分)如图，已知在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE，连结BE，CD，两者相交于点F。 (1)(4分)判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由。 (2)(4分)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC。 12.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是AB的中点，连结CD，过点A作CD的垂线，交CD于点H，交BC于点F，BE∥AC，交AF的延长线于点E，连结DE，交BC于点P。求证：BC垂直平分DE。 13.(10分)[推理能力](1)(5分)已知命题：“P为等边三角形ABC内一点，若点P到三边的距离相等，则PA=PB=PC。”写出它的逆命题，判断其逆命题是否成立。若成立，请给出证明。 (2)(5分)进一步证明：等边三角形ABC内一点P到各边的距离之和为定值。 学科网（北京）股份有限公司 $