2.3　等腰三角形的性质定理 同步练 2026-2027学年数学浙教版八年级上册

**基本信息** 本同步练习针对等腰三角形性质定理分两课时设计，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层递进，覆盖性质直接应用到模型构建，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一性质计算与作图（如选择1-3、填空4-6）|直接应用性质，夯实概念理解| |综合应用|性质综合与证明（如解答8-9、12-13）|衔接课堂例题，强化推理能力| |创新拓展|新定义与模型应用（如填空10-11、解答14）|融入数学文化与动态问题，发展应用意识|

2.3　等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为( ) A.70° B.100° C.110° D.140° 2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是( ) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °。  5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC= °。  6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角 。  7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。 8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。 9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。 10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为 。  11.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为 °。  12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。 (1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。 (2)(4分)若AB=5 cm，BC=3 cm，求△PBC的周长。 13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。 (1)(4分)求证：AD=BE。 (2)(4分)求∠APE的度数。 14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。 (1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。 (2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。 第2课时　等腰三角形的性质定理2 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为( ) A.20° B.35° C.40° D.70° 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为( ) A.3 B.4 C.7 D.9 4.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为 °。  5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为 °。  6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。 7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。 (1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。 (2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。 8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。 (1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。 (2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。 9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE= 。  11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。 12.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，求∠BDE的度数。 13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E是BA延长线上一点，AE=AF，F是AC上一点，连结EF并延长，交BC于点G。 (1)(4分)若∠ABC=50°，求∠AEF的度数。 (2)(4分)求证：AD∥EG。 14.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为( ) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3　等腰三角形的性质定理 第1课时　等腰三角形的性质定理1及等边三角形的性质 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，则∠ACD的度数为(　C　) A.70° B.100° C.110° D.140° 2.如图，AB=AC=AD。若AD∥BC，∠C=80°，则∠D的度数为(　B　) A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】 ∵AB=AC=AD， ∴∠ABC=∠C，∠D=∠ABD。 ∵AD∥BC， ∴∠D=∠CBD， ∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=∠C=40°。 3.如图，∠ABC=∠DCB，给出下列条件：①AB=DC，②OB=OC，③∠A=∠D，④∠ACB=∠DBC，从中添加一个条件后，能证明△ABC≌△DCB的是(　D　) A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④ 【解析】 由AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(SAS)，①符合题意。 由OB=OC，得∠OBC=∠OCB，又因为∠ABC=∠DCB，所以∠ABO=∠DCO。 又因为∠AOB=∠DOC，OB=OC，所以△ABO≌△DCO(ASA)， 所以AB=DC，同①得△ABC≌△DCB，②符合题意。 由∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(AAS)，③符合题意。 由∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，得△ABC≌△DCB(ASA)，④符合题意。 综上所述，能证明△ABC≌△DCB的是①②③④。 4.(3分)若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为　100　°。  5.(3分)如图，在△ABC中，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，交BC于点D，连结AD。若∠ABD=55°，则∠ADC=　125　°。  6.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D。写出图中相等的角　∠A=∠ABD=∠DBC，∠ABC=∠C=∠BDC　。  【解析】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C。 ∵∠A＋∠ABC＋∠C=180°，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°。 ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD=36°=∠A， ∴∠BDC=180°－∠C－∠CBD=180°－72°－36°=72°， ∴∠BDC=∠C=∠ABC。 7.(8分)如图，已知线段a和∠1，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=a，∠B=∠1(保留作图痕迹，不写作法)。 解：如答图，△ABC即为所作。 第7题答图 8.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E在直线BC上，DB=EC。求证：∠D=∠E。 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACE=120°。 在△ABD和△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴∠D=∠E。 9.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC。若∠BAE=30°，求∠ADC的度数。 解：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF。 在△ABE和△ACF中， ∵ ∴△ABE≌△ACF(SAS)， ∴∠CAF=∠BAE=30°。 ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°。 10.(3分)定义：等腰三角形的顶角与其中一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”。若在等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k为  或　。  【解析】 分两种情况讨论：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数均为=50°， 此时特征值k=； ②当∠A为底角时，顶角的度数为180°－80°－80°=20°， 此时特征值k=。 综上所述，这个等腰三角形的特征值k为或。 11.(3分)【数学文化】“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角。图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点P的两条线段PA，PB，可以绕点P转动，点C固定，点D，E分别可以在PA，PB的槽中滑动，且CE=DE=CP。若∠DEB=87°，则∠APB的度数为　29　°。  【解析】 如答图标所示注角。 第11题答图 因为PC=CE=DE， 所以∠1=∠P，∠2=∠3， 所以∠2=2∠P， 所以∠DEB=∠3＋∠P=2∠P＋∠P=3∠P， 所以3∠P=87°，所以∠P=29°， 即∠APB=29°。 12.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点P。 (1)(4分)若∠A=35°，求∠BPC的度数。 (2)(4分)若AB=5 cm，BC=3 cm，求△PBC的周长。 解：(1)∵AB的垂直平分线交AC于点P， ∴AP=BP， ∴∠A=∠ABP=35°， ∴∠BPC=∠A＋∠ABP=35°＋35°=70°。 (2)△PBC的周长=BP＋PC＋BC =AP＋PC＋BC =AC＋BC =AB＋BC =5＋3=8(cm)。 13.(8分)如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，其中BD=CE，连结AD，BE，两者相交于点P。 (1)(4分)求证：AD=BE。 (2)(4分)求∠APE的度数。 解：(1)∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠C=60°。 在△ABD和△BCE中， ∵ ∴△ABD≌△BCE(SAS)， ∴AD=BE。 (2)∵△ABD≌△BCE， ∴∠BAD=∠CBE。 又∵∠ABP＋∠CBE=∠ABD=60°， ∴∠ABP＋∠BAD=60°， ∴∠APE=∠ABP＋∠BAD=60°。 14.(10分)[应用意识]如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，并称这条线段为这个三角形的等腰分割线。如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线。 (1)(5分)如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E。求证：AE是△ABC的一条等腰分割线。 (2)(5分)如图3，在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请你用两种不同的方法完成△ABC的等腰分割，并在图中标注底角的度数。 解：(1)∵ED垂直平分AC， ∴AE=CE， ∴∠C=∠CAE，△ACE为等腰三角形， ∴∠AEB=∠C＋∠CAE=2∠C。 又∵∠B=2∠C， ∴∠AEB=∠B， ∴AE=AB， ∴△AEB为等腰三角形， ∴AE是△ABC的一条等腰分割线。 (2)分情况讨论： ①当AC是△ACD的底时， 此时∠DAC=∠C=40°，∠BAD=∠BDA=∠DAC＋∠C=80°，如答图1； 第14题答图1 ②当AC是△ACD的腰时， 此时∠ADC=∠C=40°，∠BAD=∠B=20°，如答图2。 第14题答图2 第2课时　等腰三角形的性质定理2 分值：71分 　　　　　　 　　　　　　　　　　　 选择题每小题3分 1.如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，给出下列结论：①CD平分∠ACB；②CD=AB；③∠A=∠B；④AD=BD。其中正确的是(　C　) A.②③ B.①④ C.①③④ D.②③④ 2.如图，AD，CE均为△ABC的角平分线。若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数为(　B　) A.20° B.35° C.40° D.70° 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连结DE，AE，AE恰好垂直于DE，延长DE，交AB的延长线于点F。若AB=5，CD=2，则AD的长为(　C　) A.3 B.4 C.7 D.9 【解析】 ∵E为BC的中点， ∴BE=EC。 ∵AB∥CD， ∴∠F=∠CDE。 在△BEF与△CED中， ∵ ∴△BEF≌CED(AAS)， ∴EF=DE，BF=CD=2， ∴AF=AB＋BF=7。 ∵AE⊥DE，EF=DE， ∴AF=AD=7。 4.(3分)如图，已知线段AB，使用直尺和圆规作得直线l，交AB于点D，点C在直线l上，若∠ACB=110°，则∠ACD的度数为　55　°。  5.(3分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上。若∠EBC=45°，则∠ACE的度数为　15　°。  【解析】 ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴∠ACB=60°，BD=CD， ∴AD是BC的垂直平分线。 又∵点E在线段AD上， ∴BE=CE， ∴∠ECB=∠EBC=45°， ∴∠ACE=∠ACB－∠ECB=15°。 6.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且AE=AD。若∠BAD=50°，求∠CDE的度数。 解：∵AB=AC，AD为BC边上的中线， ∴∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD=50°。 又∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED==65°， ∴∠CDE=∠ADC－∠ADE=25°。 7.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在BD上，连结AD，AE，AE=BE。 (1)(4分)若∠B=40°，求∠DAE的度数。 (2)(4分)若CA=CE，求∠B的度数。 解：(1)∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠C=∠B=40°，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAC=180°－40°－40°=100°， ∴∠BAD=∠BAC=50°。 ∵AE=BE， ∴∠BAE=∠B=40°， ∴∠DAE=∠BAD－∠BAE=10°。 (2)∵CA=CE，∴∠CAE=∠CEA。 由(1)得，∠B=∠BAE，∠B=∠C， ∴∠CAE=∠CEA=∠B＋∠BAE=2∠B。 ∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°， ∴∠BAE＋∠CAE＋∠B＋∠C =5∠B=180°， ∴∠B=36°。 8.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，AD为△ABC的角平分线。以点A圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别相交于点E，F，连结DE，DF。 (1)(4分)求证：△ADE≌△ADF。 (2)(4分)若∠BAC=80°，求∠BDE的度数。 解：(1)∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD。 由作图知AE=AF。 在△ADE和△ADF中， ∵ ∴△ADE≌△ADF(SAS)。 (2)∵∠BAC=80°，AD为△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠BAC=40°。 由作图知AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∴∠ADE=×(180°－40°)=70°。 ∵AB=AC，AD为△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠BDE=90°－∠ADE=20°。 9.如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC上一动点，E为△ABC外一点，AD=AE，∠DAE=60°，连结CE。若AB=4，当四边形ADCE的周长取最小值时，BD的长为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°。 又∵∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE。 在△ABD和△ACE中， ∵ ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE。 ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC=AB=4， ∴四边形ADCE的周长=CE＋DC＋AD＋AE=BD＋DC＋2AD=4＋2AD。 当AD⊥BC时，AD的值最小，此时四边形ADCE的周长取最小值。 又∵AB=AC，∴BD=BC=2。 10.(3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BF⊥AC于点F，交AD于点E。若AF=BF，BD=2，则AE=　4　。  【解析】 ∵BF⊥AC， ∴∠BFC=∠AFE=90°， ∴∠CBF＋∠C=180°－∠BFC=90°。 ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴BC=2BD=4，AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠EAF＋∠C=180°－∠ADC=90°， ∴∠EAF=∠CBF。 在△AEF和△BCF中， ∵ ∴△AEF≌△BCF(ASA)， ∴AE=BC=4。 11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用直尺和圆规作一个等腰三角形，使它的顶角等于∠α，底边上的高线等于a。 解：如答图，△ABC即为所作。 第11题答图 12.(8分)如图，在等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线上一点，CE=CD，求∠BDE的度数。 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，BA=BC。 又∵D为AC边的中点， ∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°。 ∵CE=CD，∴∠CDE=∠E。 又∵∠CDE＋∠E=∠ACB， ∴∠CDE=∠ACB=30°， ∴∠BDE=∠BDC＋∠CDE=90°＋30°=120°。 13.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E是BA延长线上一点，AE=AF，F是AC上一点，连结EF并延长，交BC于点G。 (1)(4分)若∠ABC=50°，求∠AEF的度数。 (2)(4分)求证：AD∥EG。 解：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°， ∴∠EAF=∠B＋∠C=100°。 又∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=(180°－∠EAF)=40°。 (2)∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC。 ∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE。 又∵∠AEF＋∠AFE=∠BAC， ∴∠AEF=∠BAC， ∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EG。 14.[模型观念]如图，在等边三角形ABC中，AD，CE是△ABC的两条中线，AD=5。若P是AD上一动点，则PB＋PE的最小值为(　B　) A.2.5 B.5 C.7.5 D.10 【解析】 如答图，连结PC。 第14题答图 ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC。 又∵AD为△ABC的中线， ∴AD⊥BC，BD=CD=BC。 ∵点P在AD上，∴PB=PC， ∴PB＋PE=PC＋PE≥CE， ∴当C，P，E三点共线时，PC＋PE的值最小，此时PC＋PE=CE，即PB＋PE=CE。 ∵CE为△ABC的中线，AC=BC， ∴CE⊥AB。 易知S△ABC=AB·CE=BC·AD。 又∵AB=BC，∴CE=AD=5， ∴PB＋PE的最小值为5。 学科网（北京）股份有限公司 $