专题2.3.2等腰三角形的性质定理（第2课时 “三线合一”）（一课一练））2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.3.2等腰三角形的性质定理（一课一练） （第2课时 三线合一） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 3．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 4．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 6．如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 7．如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 8．如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（  ） A．60 B．40 C．30 D．20 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是 ． 12．在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 13．如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 14．如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 15．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 16．如图，在中，，，为中线，，则 ． 17．如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则 ． 18．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，若，当周长取到最小值时， （用含的代数式表示）． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，已知，和的平分线相交于点D，．求和的度数． 20．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 21．如图，在等腰中，，于点，于点，，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，求的长． 22．把下面的求解过程补充完整． 如图，在中，于点．若，求的长． 解：如图，在线段上取一点E，使，连接，过点E作于F． ， （① ） ② （③ ） ，∴④ ． （⑤ ） （⑥ ）     ∴⑦ ，      又    （⑧ ） （⑨ ） ， ． 23．如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 24．已知在中，，且，作，使得． (1)如图①，若与互余，则____________（用含的式子表示）； (2)如图②，若与互补，过点作于点，过点作于点，试说明：； (3)若与相等，则与的面积满足什么关系？若与互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【学霸提优】2025-2026学年数学八年级上册同步练习浙教版 专题2.3.2等腰三角形的性质定理（一课一练） （第2课时 三线合一） 一、单选题（本大题共10个小题，每题3分，共30分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定） 1．等腰三角形底边长为6，面积是12，则顶角平分线长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题主要考查等腰三角形的三线合一的性质．根据等腰三角形的顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合求解即可． 【详解】解：如下图，根据题意，，是的平分线， 是边上的中线也是边上的高线， ，， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 3．如图，用尺规作图“已知底边a和底边上的高线h，作等腰三角形”，有下列作法：①作线段；②作线段的垂直平分线m，交于点D；③在直线m上截取，连接．这样作法的根据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．等腰三角形两底角相等 C．等腰三角形两腰相等 D．等腰三角形的对称性 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的作法及性质，理解题意是解题关键． 根据作图方法结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作等腰三角形作法的依据是等腰三角形三线合一， 故选：A． 4．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 5．如图，在中，，是的角平分线，点，是上的两点，连接，，，．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质． 根据等腰三角形三线合一可得，，证明，，可知阴影部分的面积是面积的一半，进而计算即可． 【详解】解：，是的角平分线， ，，， ∵，， ∴，， ∴阴影部分的面积是面积的一半 ，， 阴影部分的面积． 故选：B． 6．如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：A． 7．如图，在中，，且垂直平分，交于点．若的周长为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，线段的和差，解题的关键是根据性质找出相等的线段． 根据条件得出等腰三角形，依据等腰三角形的三线合一，得出相等线段，然后依据垂直平分线的性质找出相等的线段，利用线段的和差即可求出结果． 【详解】解：，且， 是等腰三角形，根据三线合一可得， ， 垂直平分， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，中，，，是边上的中线，平分交于点E，交于点F．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由三角形角平分线的定义可得，由三线合一可得，则，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ，是边上的中线， ， ， ， 故选：． 9．如图，用两个全等的等腰三角形设计成一个“蝴蝶”的平面图案．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质等，掌握轴对称的性质是解题的关键．由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，即可判断B，C，D，过作，可得，由对称性质得同理可证，即可判断A； 【详解】解：∵， ， 由对称得， ∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形， ， ， ∴，结论C正确，不符合题意； ， ，即，结论B正确，不符合题意； 由对称可知，，结论D错误，故符合题意； 过作， ， ， ， ， 同理可证， ∴，结论A正确，故不符合题意； 故选：D． 10．如图，在四边形中，，，于点E．若，，则的面积是（  ） A．60 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形．过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G，根据等腰三角形的性质求出，根据直角三角形的性质及角的和差求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，则，根据平行线间的距离处处相等求出，再根据的面积求解即可． 【详解】解：如图，过点C分别作，交的延长线于点F，作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是 ． 【答案】等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合 【分析】本题考查的是等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题关键，根据等腰三角形三线合一性质解决即可． 【详解】解：在中，，点是的中点， 平分，即为的平分线， ∴小珍这样做的依据是等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合， 故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合． 12．在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 【答案】 3 /32度 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得，从而解决问题． 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 13．如图，在中，，，是的角平分线，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，是的角平分线， ， 故答案为：7． 14．如图，分别以线段的端点，为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，，点在射线上．若，，则 °． 【答案】20 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，根据题意可知，垂直平分线段，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：根据题意可知，垂直平分线段， ， ， ， ， 故答案为：20． 15．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 16．如图，在中，，，为中线，，则 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解． 【详解】解：∵，，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：14． 17．如图，在等腰中，，平分，点是线段延长线上的一点，连接，点在的垂直平分线上．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由等腰三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵等腰中，，平分， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点M、N，点D是边的中点，点P是上任意一点，连接，若，当周长取到最小值时， （用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，连接，根据中垂线的性质，得到，进而得到，，得到当A、P、D在同一直线上时，最小，最小值为，根据三线合一和三角形的外角，得到，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接． ∵垂直平分， ∴， ∴，， 当A、P、D在同一直线上时，最小，最小值为． ∴周长最小值． ∵，点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．如图，在中，已知，和的平分线相交于点D，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据角平分线的定义求出，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 20．如图，在正方形网格中、其顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中利用格点连线画图完成下列问题（即要求通过构造图形解决问题，尺规作图或直接度量不得分）： (1)如图，点、均在格点上，找出线段的中点； (2)如图，点、、均在格点上，在上找出点，使得平分； (3)如图，点、、、均在格点上，在线段上找出一点，使得． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（）利用证明，得到即可； （）利用等腰三角形的性质解答即可； （）如图，由对顶角的性质可得，由可得，即得到，故点即为所求； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 21．如图，在等腰中，，于点，于点，，与相交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）先证明，再由由证明即可； （2）由全等三角形的性质及等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴． 22．把下面的求解过程补充完整． 如图，在中，于点．若，求的长． 解：如图，在线段上取一点E，使，连接，过点E作于F． ， （① ） ② （③ ） ，∴④ ． （⑤ ） （⑥ ）     ∴⑦ ，      又    （⑧ ） （⑨ ） ， ． 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；等边对等角；；平角定义；三角形内角和等于；；；全等三角形的性质． 【分析】本题考查三角形内角和定理以及线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，掌握线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键． 在线段上取一点E，使，连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得．然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得，从而可得，进而可得，证明 ，得到，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，在线段上取一点E，使，连接，过点E作于F． ， （①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ②（③等边对等角） ，∴④． （⑤平角定义） （⑥三角形内角和等于） ∴⑦， 又 （⑧） （⑨全等三角形的性质） ， ． 故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；；等边对等角；；平角定义；三角形内角和等于；；；全等三角形的性质． 23．如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质推出，，由三角形的外角性质得到，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数； （2）由（1）知，，得到，因此，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．已知在中，，且，作，使得． (1)如图①，若与互余，则____________（用含的式子表示）； (2)如图②，若与互补，过点作于点，过点作于点，试说明：； (3)若与相等，则与的面积满足什么关系？若与互补，则上述关系还成立吗？直接写出结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)若与相等，则与的面积相等． 若与互补，则与的面积相等 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，互余，互补的概念，关键是通过辅助线构造全等三角形． （1）由等腰三角形的性质，两角互余的概念，即可求解； （2）作于，由两角互补的概念，可以证明，即可解决问题； （3）若与相等，则与的面积相等． 作于，于，证明，得到，根据等底等高得出两三角形面积相等；若与互补，则与的面积相等，成立． 作于，交延长线于，证明，得到，根据等底等高得出两三角形面积相等． 【详解】（1）解：， ， 与互余， ， ， 故答案为：； （2）证明：作于， ，，， ，，，， ，， 与互补， ， ， ，， ， ； （3）解：若与相等，则与的面积相等．理由如下： 如图1，作于，于， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若与互补，则与的面积相等，成立． 理由如下： 如图2，作于，交延长线于， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $