精品解析：2023年云南省初中学业水平考试数学测试卷（四）

2023年初中学业水平考试数学测试卷（四） （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 据报道，北京2022年冬奥会标志性场馆“冰丝带”——国家速滑馆于2021年4月30日完成首次全冰面制冰，冰面面积约12000平方米，是目前亚洲最大的冰面．将12000用科学记数法表示应为（ ） A. 0.12×105 B. 1.2×105 C. 1.2×104 D. 12×103 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n， 为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：12000用科学记数法表示应为1.2×104． 故选：C 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握一般形式为 ，其中， 是正整数，解题的关键是确定 和 的值． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单项式乘法法则判断A，由积的乘方法则判断B，由单项式除法法则判断C，由积的乘方和幂的乘方法则可判断D． 【详解】解：A、2a•3a=6a2，故A错误，不符合题意； B、（-2a）3=-8a3，故B错误，不符合题意； C、6a÷2a=3，故C错误，不符合题意； D、（-a2）2=a4，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式乘法法则，积的乘方法则，单项式除法法则，幂的乘方法则． 3. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键． 关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 4. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】过E作EF∥AB CD,由平行线的质可得∠1=∠3,∠2=∠4, ∠3+∠4=∠1+∠2,根据三角形内角和可得: ∠3+∠4=60°,从而可得: ∠1+∠2=60°,由∠1=20°,可得: ∠2=40°. 【详解】如图,过E作EF∥AB, 则AB∥EF∥CD, ∴∠1=∠3,∠2=∠4, ∵∠3+∠4=60°, ∴∠1+∠2=60°, ∵∠1=20°, ∴∠2=40°, 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质. 5. 把多项式分解因式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照先提取公因式，再用完全平方公式继续分解的步骤计算，即可得到正确结果． 【详解】解：． 6. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x≠4 D. x≠﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得2x+4≠0，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意得：2x+4≠0， 解得：x≠-2， 故选B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分母不为0时分式有意义是解题的关键． 7. 一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】如图（见解析），在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，然后观察函数图象即可得． 【详解】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示： 观察函数图象可知，一次函数的图象不经过第四象限 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，依据题意，正确画出函数图象是解题关键． 8. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和求代数式的值，两个方程相减即可． 【详解】解：∵二元一次方程组， ∴， 故选：D． 9. 点A为双曲线y＝ (k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(　　) A. 2 B. ±2 C. D. ± 【答案】D 【解析】 【分析】分情况：点A在第一三象限或第二四象限，从而得出点B的坐标，再根据△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，求出点A坐标，即可得出k值． 【详解】解：当点A在第一象限时，过A作AC⊥OB于C，如图1， ∵OB=2， ∴B点的坐标是（2，0）； ∵∠AOC=60°，AO=BO=2， ∴OC=1，AC=AOsin60°=2sin60°= ∴A点的坐标是（1，）， ∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点， ∴k=； 当点A在第三象限时，同理得出k=； 当点A在第二象限时，过A作AC⊥OB于C，如图2， ∵OB=2， ∴B点的坐标是（-2，0）； ∵∠AOC=60°，AO=BO=2， ∴OC=1，AC=2sin60°=， ∴A点的坐标是（-1，）， ∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点， ∴k=-； 当点A在第四象限时，同理得出k=-； 故选D． 10. 已知在中，， ，，则的长（ ） A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17 【答案】D 【解析】 【分析】①过作交于，可求 ，，从而可求，，即可求解；②过作交的延长线于，由即可求解． 【详解】解：①如图，过作交于， ， ，， ，， ， ， ； ②如图，过作交的延长线于， ，， ； 综上所述：的长为7或17． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键． 11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=,易得∠ADC=, ∠CAD=,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果. 【详解】解:DE是AB的垂直平分线,AD=BD, ∠DAE=∠B=, ∠ADC=, ∠CAD=, AD为∠BAC的角平分线,. ∠C=,DE⊥AB, DE=CD=3, ∠B=, BD=2DE=6, BC=9, 所以B选项是正确的. 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键. 12. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G， 根据正六边形性质可知，， ∴， ∴S扇形=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 若，则的值是 ________ 【答案】 【解析】 【分析】和都是非负数，和为0，则和的值都是0． 【详解】解：由非负数的性质可得，， 即，， 解得，． 将，代入到中，可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是求代数式的值、非负数的性质，掌握非负数的性质是解决此题关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是___________． 【答案】（2，0） 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得OA=OC，结合勾股定理可得OA=OC=2，进而即可求解． 【详解】解：∵菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是， ∴OB=1，OA=OC， ∵， ∴OC=， ∴OA=2，即：A的坐标为：（2，0）， 故答案是：（2，0）． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理以及点的坐标，熟练掌握菱形的性质，是解题的关键． 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 【答案】4 【解析】 【详解】解：是中线， 同理可得： ， 由中线性质，可得AG=2GD，则 ， ∴阴影部分的面积为4； 故答案为：4. 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵母线长为，扇形的圆心角 ∴圆锥的底面圆周长 ∴圆锥的底面圆半径 故答案为：2． 【点睛】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解． 三、解答题（本大题共8小题，共56分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，先根据立方根，实数绝对值，零指数幂，负整数指数幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则，进行计算，化简后代值计算即可． 【详解】解：， 将代入得：原式． 19. 如图，已知平分．求证： 【答案】 证明：平分， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】首先根据角平分线的定义得到，再利用定理便可证明其全等． 【详解】略 20. “生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计相中“D．没有必要”所在扇形的心角度数为______； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对生活“垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． （4）小明和小华均是该校学生，请用表格或者树状图计算出他们都选“A．很有必要”的概率． 【答案】（1）见解析 （2） （3）750人 （4） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，扇形统计图与条形统计图． （1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数； （3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可估算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数； （4）据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出他们都选“A．很有必要”的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：A组学生有：（人）， C组学生有：（人）， 补全统计图如下： 【小问2详解】 扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：， 故答案为：； 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生大约有750人； 【小问4详解】 根据题意画图如下： 共有16种等可能的情况数，其中他们都选“A．很有必要”的有1种， 则他们都选“A．很有必要”的概率是． 21. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务． （1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　 　米； （2）求原计划每小时抢修道路多少米？ 【答案】（1）1200；（2）280． 【解析】 【分析】（1）按原计划完成总任务的时，列式计算即可； （2）设原计划每天修道路x米．根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10等量关系列出方程． 【详解】解：（1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路3600×=1200米， 故答案为1200米； （2）设原计划每小时抢修道路x米， 根据题意得：， 解得：x=280， 经检验：x=280是原方程的解． 答：原计划每小时抢修道路280米． 点评：本题考查了分式方程的应用．分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的等量关系为：工作时间=工作总量÷工效． 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E，O，F分别为的中点， ∴， ∴； （2） 当时，四边形是正方形． 理由如下： ∵点E，O，F分别为的中点， ∴，， 又，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，利用证明即可； （2）菱形的性质和中位线定理，得到，得到四边形是菱形，再根据，得到，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握菱形的性质． 23. 已知的两边与相切于点，，的半径为． （1）如图 1，点C 在点A，B 之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点C 在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形， 的度数应为多少？请说明理由； （3）若交 于点 D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)． 【答案】（1） （2）当时，四边形为菱形 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质和多边形内角和定理可得，然后结合已知求得，最后根据圆周角定理即可解答； （2）连接，先观察发现当时，四边形可能为菱形；然后利用，结合（1）的解答过程可得，再根据点C运动到的延长线上时最大，即经过圆心，进而推导出，得到，则，即可得到四边形为菱形； （3）由于的半径为r，则，可得、，进而求出，然后根据弧长公式求得的弧长，最后根据周长公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图①，连接，． ，为的切线， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：当时，四边形为菱形，理由如下： 如图2：连接， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵点C运动到的延长线上时最大， ∴经过圆心， ∵为的切线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 解：的半径为， ， ，， ，， ∴，， ， 阴影部分的周长． 24. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 【解析】 【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式； （2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标； （3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c， 解得：b=﹣4，c=3， ∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3； （2）令y=0，则x2﹣4x+3=0， 解得：x=1或x=3， ∴B（3，0）， ∴BC=3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1， ①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当PB=PC时，OP=OB=3， ∴P3（0，-3）； ③当BP=BC时， ∵OC=OB=3 ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）； （3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t， ∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1， 当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年初中学业水平考试数学测试卷（四） （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 据报道，北京2022年冬奥会标志性场馆“冰丝带”——国家速滑馆于2021年4月30日完成首次全冰面制冰，冰面面积约12000平方米，是目前亚洲最大的冰面．将12000用科学记数法表示应为（ ） A. 0.12×105 B. 1.2×105 C. 1.2×104 D. 12×103 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. （1，2） B. （﹣1，2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣2，1） 4. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 5. 把多项式分解因式，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≠2 B. x≠﹣2 C. x≠4 D. x≠﹣4 7. 一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 9. 点A为双曲线y＝ (k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(　　) A. 2 B. ±2 C. D. ± 10. 已知在中，， ，，则的长（ ） A. 7 B. 8 C. 8或17 D. 7或17 11. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.CD＝3，则BC的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 6 D. 3 12. 如图，正六边形的边长为2，以为圆心，的长为半径画弧，得，连接，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 若，则的值是 ________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是___________． 15. 如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是 ____________. 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共56分） 17. 计算：． 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，已知平分．求证： 20. “生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）扇形统计相中“D．没有必要”所在扇形的心角度数为______； （3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对生活“垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数． （4）小明和小华均是该校学生，请用表格或者树状图计算出他们都选“A．很有必要”的概率． 21. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务． （1）按原计划完成总任务的时，已抢修道路　 　米； （2）求原计划每小时抢修道路多少米？ 22. 已知：如图，在菱形中，点E，O，F分别为的中点，连接． （1）求证：； （2）当与满足什么位置关系时，四边形是正方形？请说明理由． 23. 已知的两边与相切于点，，的半径为． （1）如图 1，点C 在点A，B 之间的优弧上，，求的度数； （2）如图2，点C 在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形， 的度数应为多少？请说明理由； （3）若交 于点 D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示)． 24. 如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $