精品解析：2023年云南省中考数学模拟测试卷

2023年云南省初中学业水平考试数学模拟测试卷 （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（　　　） A. B. C. D. 3. 如图，面积为1的等边三角形中， 分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 4. 如图，二次函数（ ）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在 与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线 ，有以下结论：① ；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三角形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在矩形中， ，分别以点A和C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表： 组别 一 二 三 四 劳动时间x/h 频数 10 20 12 8 根据表中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是50人 B. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组 C. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组 D. 若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若 ，则 的度数可能为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　） A. 1 B. C. D. 0 9. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ） A. B. C. D. 12. 关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＞﹣1 C. k＜1 D. k＜﹣1 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________． 14. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点 为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________． 15. 已知二元一次方程组，则 的值为______． 16. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于__________． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： （1）∠CAE=∠BAF； （2）CF·FQ=AF·BQ 19. 在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中． （1）种植B品种树苗有多少棵； （2）请你将图②的统计图补充完整； （3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高? 20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）m=　　　，n=　　　； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　； （4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名． 21. 如图，中， ，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）求证： 22. 如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． （1）求证：； （2）若 ，，求的半径． （2020·广西贵港） 24. 如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为． （1）求该抛物线的表达式： （2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标； （3）设动点在该抛物线上，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年云南省初中学业水平考试数学模拟测试卷 （全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分120分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不正确，不符合题意； B.，故该选项不正确，不符合题意； C.，故该选项正确，符合题意； D.，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 2. 下列运算中，正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式逐一判断即可． 【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，故错误； B． ，故错误； C．，故错误； D．，故正确． 故选D． 【点睛】此题考查的是整式的运算和二次根式的运算，掌握同类项的定义、单项式乘单项式法则和二次根式的乘法公式是解题关键． 3. 如图，面积为1的等边三角形中， 分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵ 分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 4. 如图，二次函数（ ）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在 与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线 ，有以下结论：① ；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三角形．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：①由开口可知：a＜0， ∴对称轴x=− ＞0， ∴b＞0， 由抛物线与y轴的交点可知：c＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1）， ∵＜， ∴y1＜y2，故②正确， ③∵−=2， ∴b=-4a， ∵x=-1，y=0， ∴a-b+c=0， ∴c=-5a， ∵2＜c＜3， ∴2＜-5a＜3， ∴，故③正确 ④根据抛物线的对称性可知，AB=6， ∴， 假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0）， 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-， ∴y=-(x-2)2+ ∵＞3 ∴不可以是等腰直角三形．故④错误． 所以正确的是②③，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型． 5. 如图，在矩形中， ，分别以点A和C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形可知 为直角三角形，根据勾股定理可得的长度，在中得到，又由题知为的垂直平分线，于是 ，于是在中，利用锐角三角函数即可求出的长． 【详解】解：设与的交点为 ， 四边形为矩形， ，， ， 为直角三角形， ，， ， ， 又由作图知为的垂直平分线， ，， 在中， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，锐角三角函数，垂直平分线，勾股定理，掌握定理以及性质是解题的关键． 6. 家务劳动是劳动教育的一个重要方面，教育部基础教育司发布通知要求家长引导孩子力所能及地做一些家务劳动．某校为了解七年级学生平均每周在家的劳动时间，随机抽取了部分七年级学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下频数分布表： 组别 一 二 三 四 劳动时间x/h 频数 10 20 12 8 根据表中的信息，下列说法正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是50人 B. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组 C. 本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在四组 D. 若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有100人 【答案】B 【解析】 【分析】依据样本容量、众数、中位数及样本估计总体的意义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A.本次调查的样本容量是50，原说法错误，故本选项不合题意； B.本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的中位数落在二组，说法正确，故本选项符合题意； C.无法判断本次调查七年级学生平均每周在家劳动时间的众数落在哪一组，原说法错误，故本选项不合题意； D.若七年级共有500名学生，估计平均每周在家劳动时间在四组的学生大约有（人），原说法错误，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了样本容量、众数、中位数及用样本估计总体，样本容量是指取样的总数；众数是指一组数据中出现次数最多的那个数，注意可以没有也可以只有一个或多个；中位数是指一组数据按从小到大（或从大到小）排列后，处于中间位置的数（或两个数的平均数）；理解这些概念的含义是正确做出判断的关键． 7. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若 ，则 的度数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由 为 的外角求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵ 为 的外角， ∴，只有D满足题意． 故选：D． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补． 8. 关于x的一元二次方程x2+（2a﹣3）x+a2+1＝0有两个实数根，则a的最大整数解是（　　） A. 1 B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 则a的最大整数值是0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式. 9. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可． 【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F， 则， 由旋转得， ∴∠， ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ ∴ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键． 10. 已知 ，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∴原式= ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 11. 如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接EF，先证明 再求解 可得 再求解 可得 为等腰直角三角形，求解 再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接EF， ∵正方形ABCD的面积为3， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 为等腰直角三角形， ∵分别为 的中点， 故选D 【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形的中位线的性质，求解 是解本题的关键． 12. 关于x，y的方程组的解为，若点P（a，b）总在直线y＝x上方，那么k的取值范围是（　　） A. k＞1 B. k＞﹣1 C. k＜1 D. k＜﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】将k看作常数，解方程组得到x，y的值，根据P在直线上方可得到b＞a，列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程组可得， ， ∵点P（a，b）总在直线y=x上方， ∴b＞a， ∴， 解得k＞-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，一次函数上点的坐标特征，解本题的关键是将k看作常数，根据点在一次函数上方列出不等式求解． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平方差公式，把原式化为，可得，即可求解． 【详解】解：a2﹣b2 +2b+9 故答案为：10 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，利用整体代入思想解答是解题的关键． 14. 三个顶点的坐标分别为，，，以原点 为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________． 【答案】（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）． 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或（3×（-），6×（-）），即（2，4）或（-2，-4）， 故答案为：（2，4）或（-2，-4）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 15. 已知二元一次方程组，则 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接由②-①即可得出答案． 【详解】原方程组为， 由②-①得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是学会观察，并用整体法求解． 16. 如图，的对角线AC、BD相交于点O，交AD于点E，若OA=1，的周长等于5，则的周长等于__________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据已知可得E为AD的中点，OE是△ABD的中位线，据此可求得AB，根据OA=1，的周长等于5，可求得具体的结果． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线， ∴O为BD和AC的中点， 又∵， ∴ ，，E为AD的中点， 又∵OA=1，的周长等于5， ∴AE+OE=4， ∴， ∴的周长=． 故答案为16． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理判定是解题的关键． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解． 18. 如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证： （1）∠CAE=∠BAF； （2）CF·FQ=AF·BQ 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可； （2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论． 【小问1详解】 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵CF=BE， ∴CE=BF， 在△ACE和△ABF中，， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠CAE=∠BAF； 【小问2详解】 证明：∵△ACE≌△ABF， ∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF， ∵AE²=AQ·AB，AC＝AB， ∴，即， ∴△ACE∽△AFQ， ∴∠AEC=∠AQF， ∴∠AEF=∠BQF， ∵AE＝AF， ∴∠AEF=∠AFE， ∴∠BQF=∠AFE， ∵∠B=∠C， ∴△CAF∽△BFQ， ∴，即CF·FQ=AF·BQ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 19. 在镇村两委及帮扶人大力扶持下，贫困户周大叔与某公司签订了农产品销售合同，并于今年在自家荒地种植了A，B，C，D四种不同品种的树苗共300棵，其中C品种果树苗的成活率为，几个品种果树树苗种植情况及其成活情况分别绘制在下列图①和图②两个尚不完整的统计图中． （1）种植B品种树苗有多少棵； （2）请你将图②的统计图补充完整； （3）通过计算说明，哪个品种的果树苗成活率最高? 【答案】（1）种植B品种树苗有棵； （2）补全图形如下： （3）C品种果树苗的成活率最高． 【解析】 【分析】（1）由总量乘以B品种树苗所占的百分比即可得到答案； （2）先计算出种树苗种植的数量，得到成活的数量，补全图形即可； （3）分别计算出 三种树苗的成活率，结合已知的种树苗的成活率，从而可得答案． 【详解】解：（1）由题意得：种植B品种树苗有： （棵）． （2）因为种树苗种植了 棵， 所以成活 棵， （3）种树苗的成活率为： 种树苗的成活率为： C品种果树苗的成活率为， 品种果树苗的成活率为 所以：C品种果树苗的成活率最高． 【点睛】本题考查的是从条形统计图与扇形统计图中获取有效的信息，同时考查了对信息的整理与计算，掌握以上知识是解题的关键． 20. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）m=　　　，n=　　　； （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是　　　； （4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有　　　名． 【答案】（1）50，10；（2）补全条形统计图见解析；（3）72°；（4）估计“总线”专业的毕业生有180名． 【解析】 【分析】(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可． (2)先算出硬件专业的毕业生人数,再补充统计图即可． (3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角． (4)用600与总线所占比相乘即可求出． 【详解】（1）由统计图可知，，n=10． （2）硬件专业的毕业生为人，则统计图为 （3）软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为． （4）该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为名． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取,关键在于通过图象获取有用信息． 21. 如图，中， ，，分别在边、上的点E与点F关于对称，连接、、、． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）求证： 【答案】（1）四边形为菱形，理由详见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可证明 ，再由可得到四边形是菱形； （2）根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：（1）四边形为菱形，理由如下 由可得，从而 设与相交于点O ∵点E与点F关于对称 ∴且 在 和中 ∴ ∴ ，又 ∴四边形为菱形， （2）∵，据（1）C ∴ 又∵ ∴ ∴ ． 【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理及直角三角形的性质． 22. 如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=； （2）图中阴影部分的面积为7． 【解析】 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； 【小问2详解】 解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 23. 如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接． （1）求证：； （2）若 ，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 为的切线， ， ， ， ． 又 ， ， ，即 ． （2）6 【解析】 【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明； （2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB， ∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4, ∴， ∴AB=12， ∴的半径是6. 方法二： 为的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 的半径为6． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角函数的应用等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键． （2020·广西贵港） 24. 如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为． （1）求该抛物线的表达式： （2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标； （3）设动点在该抛物线上，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）的值为或-5 【解析】 【分析】（1）将和，代入抛物线解析式即可； （2）过点作轴于点，而，轴，由相似三角形的判定与性质解题； （3）分类讨论，当点在轴上方时，或当点在轴下方时，设直线AP与直线L的交点为M，结合全等三角形的判定与性质解题即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过和， ∴，∴，， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，过点作轴于点，而，轴． ∴，则， ∵，，设， ∴ ， ， 又， ∴，即，， （舍去）， 从而， ∴点的坐标为． （3）①如图，当点在轴上方时，设直线与交于点， ∵，，∴是等腰直角三角形，，作轴于点，则，∴，，， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴直线的表达式为， 又∵ ∴，解得， （舍去）； ②如图，当点在轴下方时，设直线与交于点，作轴于点，则，同理可得：点的坐标为，∴直线的表达式为， 又，，解得， （舍去）； 综上所述，的值为或-5． 【点睛】本题考查待定系数法解抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $