精品解析：云南省昆明市呈贡区第三中学2022-2023学年九年级下学期学业水平考试数学试卷（仿真卷）1

2023云南省（新）初中学业水平考试（仿真卷） 数学试卷 （全卷三个大题，共24个小题，满分：100分，考试时间：120分钟） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 一组数据的方差是则该组数据的和为（ ） A. 37 B. 73 C. 10 D. 21 4. 若二次根式（b为常数且）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知点与点关于y轴对称，则抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是( ) A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 7. 已知a是方程一个根，则代数式的值为（ ） A. –2 B. 2 C. −4 D. −4或–10 8. 如图，已知D、E分别是中、边上的点，且，的周长2，则的周长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 9. 在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 10. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 11. 如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ） A. B. C. D. 12. 如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角．甲、乙二人给出了找点的思路，以及的值，下面判断正确的是( ) 甲：如图2，在矩形中取一点，使得，即为所求，此时米； 乙：如图3，在矩形中取一点，使得，且，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则，均满足题意，此时或． A. 甲的思路不对，但是的值对 B. 乙的思路对，的值都对且完整 C. 甲、乙求出的的值合在一起才完整 D. 甲的思路对，但是的值不对 二、填空题（共4题，每天2分） 13. 因式分解：______． 14. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 _____象限． 15. 如图，平行四边形中，交于点O，，以A为圆心，长为半径作弧，交于点G，分别以O，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线交于点E，交于点F，，则______． 16. 把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为_____. 三、解答题（共56分，8个小题） 17. 计算：． 18. 已知：． （1）求值； （2）求证：； （3）若，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 19. 2015年是中国抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战争胜利70周年．某校为纪念中国抗日战争胜利70周年，对全校学生进行了“抗日战争知多少”知识测验．然后随机抽取了部分学生的成绩，整理并制作如图所示的图表． 分数段 频数 频率 30 0.1 90 m n 0.4 60 0.2 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中： _____， _____； （2）补全频数分布直方图； （3）如果某校有2000名学生，比赛成绩80分以上为优秀，那么你估计此次测验成绩的优秀人数大约是_____人． 20. 2023年春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为，《无名》表示为，《流浪地球2》表示为，《熊出没·伴我“熊心”》表示为． （1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为________； （2）请用列表法或树状图法中的一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 21. 如图，四边形是平行四边形，连接，过点作交的延长线于点，连接，与交于点． （1）求证：是中点； （2）若，，求长． 22. 如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 23. 已知抛物线与轴交于、两点（点位于点的左侧），设是抛物线与轴交点的横坐标，抛物线与轴交于点． （1）点是抛物线上的一个动点，若，求所有满足条件的的面积之和； （2）求代数式值． 24. 已知等腰三角形，，，． （1）如图1，当时， ①探究与之间的数量关系； ②探究，与之间的关系（用含α的式子表示）． （2）如图2，当时，探究，与之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023云南省（新）初中学业水平考试（仿真卷） 数学试卷 （全卷三个大题，共24个小题，满分：100分，考试时间：120分钟） 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法逐项分析判断即可 【详解】解：A. ，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法，掌握以上运算法则是解题的关键． 3. 一组数据的方差是则该组数据的和为（ ） A. 37 B. 73 C. 10 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】样本方差，其中是这个样本的容量，是样本的平均数．利用此公式直接求解． 【详解】解：一组数据的方差， 数据的个数为7个，平均数为3， 该组数据的总和是：． 故选：D． 【点睛】本题主要考查方差、平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式及公式中的字母所表示的意义． 4. 若二次根式（b为常数且）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：且， ∵， ∴原不等式组的解集为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，求不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 5. 已知点与点关于y轴对称，则抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点A，B关于y轴对称可得a，b的值，从而可得抛物线解析式，进而求解． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得，， ∴把，代入得抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握坐标系内关于y轴对称点的特征是解题的关键． 6. 老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是( ) A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可判断方案Ⅰ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断方案Ⅱ． 【详解】由方案Ⅰ可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ可行； 由方案Ⅱ可得， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴方案Ⅱ可行； 综上所述，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 已知a是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. –2 B. 2 C. −4 D. −4或–10 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，将a代入已知方程，即可求值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴把a代入得：， ， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值的应用，用整体思想把看成一个整体是解题的关键． 8. 如图，已知D、E分别是中、边上的点，且，的周长2，则的周长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由，可证，得出周长的比等于相似比，即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， ， 的周长2， 的周长为6． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 9. 在矩形中，过的中点作，交于E，交于F，连接、．若，，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形是菱形，再求出，然后判断出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得，根据矩形的对边相等可得，然后求出，从而得解． 【详解】解：四边形是矩形 ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出是等边三角形． 10. 在正方形网格中，以格点O为圆心画圆，使该圆经过格点A，B，并在点A，B的右侧圆弧上取一点C，连接AC，BC，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，求特殊角正弦值，掌握以上知识是解题的关键． 11. 如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得到；再解分式方程，根据分式方程有非负整数解得到且，进而确定符合题意的m的值即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， 综上所述，且， ∴符合题意的m的值可以为， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，正确解分式方程和解不等式组确定m的取值范围，进而确定m的值是解题的关键． 12. 如图1，某校学生礼堂的平面示意图为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角．甲、乙二人给出了找点的思路，以及的值，下面判断正确的是( ) 甲：如图2，在矩形中取一点，使得，即为所求，此时米； 乙：如图3，在矩形中取一点，使得，且，以为圆心，长为半径画弧，交于点，，则，均满足题意，此时或． A. 甲的思路不对，但是的值对 B. 乙的思路对，的值都对且完整 C. 甲、乙求出的的值合在一起才完整 D. 甲的思路对，但是的值不对 【答案】B 【解析】 【分析】以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，过作于，交于，利用等腰直角三角形的性质求出，的长，则以为圆心，为半径的圆与相交，从而上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，即，，过作于，作于，连接，利用勾股定理求出的长，从而解决问题． 【详解】解：以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，过作于，交于， ∴四边形和四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴以为圆心，为半径的圆与相交， ∴上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，即，， ∴， 过作于，作于，连接， ∴四边形，四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴（米）， （米）， ∴的长度为米或米， ∴乙的思路对，的值都对且完整． 故选：B． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查矩形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，将四边形的综合题转化为圆的综合题是解题的关键． 二、填空题（共4题，每天2分） 13 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 14. 在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，则点在第 _____象限． 【答案】一 【解析】 【分析】因为在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大，所以，所以点在第一象限． 【详解】解：∵在正比例函数中，y的值随着x值的增大而增大， ∴， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，平行四边形中，交于点O，，以A为圆心，长为半径作弧，交于点G，分别以O，G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，作射线交于点E，交于点F，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 由作图过程可得垂直平分，所以，则，再根据平行四边形的性质得到，由于，所以，然后利用勾股定理可先计算出，再计算出，进而完成解答． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 16. 把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，若，，则的面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全等的矩形的对角线相等得出，根据勾股定理得出，进而证明是等腰直角三角形，根据三角形的面积进行计算即可求解． 【详解】在中，， 四边形，为全等的矩形， ，，， 在和中， ， ， ，， 点、、共线， ， ， 是等腰直角三角形， 的面积为, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质以及等腰直角三角形的判定，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 三、解答题（共56分，8个小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 已知：． （1）求的值； （2）求证：； （3）若，以下结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 【答案】（1） （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）将变形为，再把整理为，最后整体代入计算即可； （2）把变形为，然后两边同时平方即可得到结论； （3）把变形为，代入可得 ，进一步可得结论． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 ，证明如下： ∵由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵由（2）知， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式以及分式的运算，熟练掌握相关的运算法则是解答本题的关键 19. 2015年是中国抗日战争胜利70周年暨世界反法西斯战争胜利70周年．某校为纪念中国抗日战争胜利70周年，对全校学生进行了“抗日战争知多少”知识测验．然后随机抽取了部分学生的成绩，整理并制作如图所示的图表． 分数段 频数 频率 30 0.1 90 m n 0.4 60 0.2 请你根据图表中提供的信息，解答下列问题： （1）在频数分布表中： _____， _____； （2）补全频数分布直方图； （3）如果某校有2000名学生，比赛成绩80分以上为优秀，那么你估计此次测验成绩的优秀人数大约是_____人． 【答案】（1），120； （2）见解析； （3）1200． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图、频数分布表、画直方图、用样本估计整体等知识点，利用统计图获取信息成为解题的关键． （1）根据第一组的频数是30,频率是0．1，求得总人数，用1减去其它组的频率即可求得m，然后根据频率的定义即可求得n的值； （2）根据（1）即可补全频数分布直方图即可； （3）利用总人数2000乘以对应的频率即可求解． 【小问1详解】 解：测试的总人数是：（人）， ，． 故答案是：，120． 【小问2详解】 解：如图所示： ； 【小问3详解】 解：（人）． 20. 2023年的春节档电影竞争激烈，多部贺岁片上影，点燃新春，浓浓的年味让人们感受到了久违的热闹景象．小亮和小丽分别从《满江红》《无名》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊心”》四部电影中随机选择一部观看，将《满江红》表示为，《无名》表示为，《流浪地球2》表示为，《熊出没·伴我“熊心”》表示为． （1）小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，则他选中《满江红》的概率为________； （2）请用列表法或树状图法中一种方法，求小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小亮从这4部电影中，随机选择1部观看，共有4种不同的选法， 故选中《满江红》的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∵共有16种等可能的结果，其中小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的情况有4种，分别是、、、， ∴小亮和小丽恰好选择观看同一部电影的概率：， 即（小亮和小丽恰好选择观看同一部电影）． 【点睛】本题考查了树状图法与列表法求概率．正确的列出树状图是解题的关键． 21. 如图，四边形是平行四边形，连接，过点作交的延长线于点，连接，与交于点． （1）求证：是的中点； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，进而即可得到结论； （2）先证明平行四边形是矩形，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，即是的中点． 小问2详解】 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形，． 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法是解题的关键． 22. 如图，为的直径，C为上一点，D为延长线上一点，． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，则，再根据等边对等角和已知条件证明，推出，由此即可证明为的切线； （2）先解，得到 ，，证明，得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（不合题意的值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 已知抛物线与轴交于、两点（点位于点的左侧），设是抛物线与轴交点的横坐标，抛物线与轴交于点． （1）点是抛物线上的一个动点，若，求所有满足条件的的面积之和； （2）求代数式值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先令，求得点的坐标，易得，再令，进而确定点坐标，即可求得；再令和，结合一元二次方程的根的判别式，可得满足的点共有4个，即可获得答案； （2）由题意可知，显然，则有，进而可得，，然后将代数式整理并整体代入即可获得答案． 【小问1详解】 解：令，得，解得， 所以，， 所以， 令，得，所以，所以， 令，得，整理可得， ∵， ∴该方程有两不相等的实数根，即在轴上方满足的点有2个； 令，得，整理可得， ∵， ∴该方程有两不相等的实数根，即在轴下方满足的点有2个； 所以满足的点共有4个，所以所有满足条件的的面积和为； 【小问2详解】 由题意知，，显然，则有， ∴，， 则 ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点问题、二次函数与一元二次方程综合应用、坐标与图形、代数式求值等知识，理解题意，并灵活运用相关知识是解题关键． 24. 已知等腰三角形，，，． （1）如图1，当时， ①探究与之间的数量关系； ②探究，与之间的关系（用含α的式子表示）． （2）如图2，当时，探究，与之间的数量关系（用含k，α的式子表示）． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、三角形相似等综合知识，解题的关键是构造三角形相似． （1）①作交于H，推导，，从而，从而求得；②由①，推出，，作于I，，进一步求得． （2）由（1）的同样的方法，由特殊推出一般，方法不变． 【小问1详解】 ①作交于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A、G、E、F共圆， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②由上得，，， ∴， 作于I， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 作交CG的延长线于H，作于I， 由（1）得，， ∴点A、G、F、E四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $