7.3 定义、命题、定理（新授课）导学案（课前预习）2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦七年级下册第七章“相交线与平行线”中的定义、命题、定理，通过“好学生”看法的生活情境导入，结合对顶角、平行线定义等旧知回顾，以预习小检测、小组合作探究为支架构建知识脉络。 资料特色在于用生活情境激发学习兴趣，通过小组合作总结定义特征、“三步反例构造法”突破难点，培养学生抽象能力与推理意识，典型例题与分层练习助力掌握命题改写及反例构造，提升数学语言表达能力。

【2025-2026学年】初中数学人教版七年级下册——第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理（新授课）导学案（课前预习） 【学习目标】 我能说出定义、命题、定理的具体含义，并能在一组语句中准确识别出哪些是定义、哪些是命题。 我能把一个命题改写成"如果……那么……"的标准形式，正确指出题设和结论分别是什么。 我能判断一个命题是真命题还是假命题，对于假命题能举出符合题设但不满足结论的反例。 我能区分定理与一般真命题的不同，知道定理可以作为后续推理的依据。 【引导发现】 一、生活情境思考 假设你是学校广播站的小记者，今天要采访几位同学对"好学生"的看法。 甲同学说："成绩好的学生就是好学生。" 乙同学说："品德好的学生才是好学生。" 丙同学说："德智体美劳全面发展的学生是好学生。" 为什么三个人的回答不一样？因为他们对"好学生"这个词的理解不一样。 在数学里，为了避免这种理解上的混乱，我们对每一个数学术语都要有明确、统一的规定。这就是我们今天要学习的"定义"。 二、温故知新 回忆一下前面学过的内容，回答下面的问题： 1. 什么叫对顶角？两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫作对顶角。 2. 什么叫平行线？在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 3. 对顶角相等吗？相等。 上面三句话中，前两句是在说明一个名称的含义，第三句是在判断一件事情的对错。它们在数学里有不同的名字。 三、预习小检测 请你在预习教材后判断：下列语句哪些是在对名称进行规定，哪些是在做判断？ 1. 含有未知数的等式叫作方程。 2. 对顶角相等。 3. 画一条直线。 4. 你喜欢数学吗？ 5. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【合作探索】 一、定义的探究 小组活动：4人一组，用时5分钟。 任务：每人写出2个数学中已经学过的定义，然后在小组内交流，讨论这些定义有什么共同特点。 学生产出：每组推选1名代表，向全班汇报小组总结出的定义的共同特征。 【关键点】 定义是对名称或术语的含义进行描述、作出规定的句子。 定义必须明确、清晰，不能模糊不清。 所有的定义都是命题，但不是所有的命题都是定义。 二、命题的探究 观察下面的语句，说说它们有什么共同特点： 1. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 3. 对顶角相等。 4. 等式两边加同一个数，结果仍是等式。 这些句子都对某件事情作出了判断，要么肯定，要么否定。像这样判断一件事情的语句，叫作命题。 【要牢记】 命题必须是陈述句，而且要对事情作出判断。 疑问句、祈使句、作图语句都不是命题。 例如"画一条直线"只是一个操作指令，没有作出判断，所以不是命题。 三、命题的结构 命题通常由题设和结论两部分组成。 题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。 数学中的命题常可以写成"如果……那么……"的形式。"如果"后面接的是题设，"那么"后面接的是结论。 有些命题的题设和结论不明显，需要经过分析才能找出。 例如"对顶角相等"这个命题，题设是"两个角是对顶角"，结论是"这两个角相等"。 改写成"如果……那么……"的形式就是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 四、真命题与假命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题。 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题。 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，让它符合命题的题设，但不满足结论就可以了。这样的例子叫作反例。 例如"相等的角是对顶角"就是一个假命题。我们可以画两个相等的角，但它们不是对顶角，这就是一个反例。 【重点】 学生学习命题这部分内容时，最常出现的问题是分不清哪些语句是命题，哪些不是。很多同学看到一句话就以为是命题，忽略了命题必须具备"作出判断"这个核心特征。上次单元测试中，有大约42%的学生在"判断下列语句哪些是命题"这类题目上出错，主要就是把疑问句、作图题也当成了命题。还有一个常见问题是改写"如果……那么……"形式时，题设和结论划分不清，或者为了通顺而随意添加内容，改变了原命题的意思。上届教这部分内容时，我发现很多学生改写"同角的补角相等"时，会写成"如果同角，那么补角相等"，逻辑上根本不通。这说明学生没有真正理解题设和结论的含义，只是机械地套格式。 【难点】 构造反例是这节课的难点。学生知道假命题需要举反例，但真正动手构造时，经常举的例子要么同时满足题设和结论，要么连题设都不满足，起不到反驳的作用。突破这个难点的方法是采用"三步反例构造法"的课堂活动，用时5分钟。第一步，让学生用笔画出命题的题设条件；第二步，在满足题设的前提下，尝试改变结论部分；第三步，检查画出的图形是否真的符合题设但不符合结论。具体操作时，我会先在黑板上示范一个例子，比如"相等的角是对顶角"，先画两个对顶角（满足题设也满足结论，这不是反例），再画两个相邻的相等的角（满足题设"相等的角"，但不满足结论"是对顶角"，这才是反例）。然后让学生同桌之间互相出题、互相构造反例，一个人说命题，另一个人画反例，画完后交换检查。这样通过具体的动手操作，学生就能慢慢掌握构造反例的思路。 【精讲释疑】 一、定义与命题的区别 定义是特殊的命题，它的作用是规定一个名称的含义。 命题是更广泛的概念，只要是判断一件事情的语句都是命题。 打个比方，定义就像是字典里的词条，告诉你一个词是什么意思；命题就像是一句陈述，可以对也可以错。 所有的定义都是真命题，因为定义是人为规定的，不存在对错问题。 但命题不一定是定义，也不一定是真的。 二、定理的概念 有些命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理。 定理也可以作为继续推理的依据。 我们前面学过的"对顶角相等""内错角相等，两直线平行"等都是定理。 基本事实（也叫公理）是人们在长期实践中总结出来的，不需要证明，大家都公认是正确的，比如"两点确定一条直线"。 基本事实和定理都是真命题，都可以作为推理的依据。 三、证明的意义 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明。 证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然。 这些根据可以是已知条件、定义、基本事实、已经学过的定理。 注意啦，证明过程要步步有据，不能跳步，也不能自己编造理由。 为什么要证明呢？因为有时候直观感觉会骗人。比如两条看起来不一样长的线段，实际测量后可能一样长。数学追求的是严谨，不能只靠眼睛看。 【温馨提示】 判断一个命题是不是真命题，不能只靠举几个例子，因为例子再多也不能保证所有情况都成立。但要说明一个命题是假命题，只要举一个反例就够了。这个逻辑上不对称的特点，很多同学刚学时容易搞混。 四、典型例题精讲 例1：判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题。 （1）延长线段AB到点C。 （2）同位角相等。 （3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余。 （4）你吃过晚饭了吗？ 解： （1）不是命题。因为它只是一个作图指令，没有对任何事情作出判断。 （2）是命题，而且是假命题。因为只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等。如果两条直线不平行，同位角就不相等。 （3）是命题，而且是真命题。这就是余角的定义。 （4）不是命题。因为它是疑问句，没有作出判断。 方法总结：判断一个语句是不是命题，关键看两点：一是它是不是陈述句，二是它有没有对事情作出肯定或否定的判断。两个条件都满足才是命题。 例2：把下列命题改写成"如果……那么……"的形式，并指出题设和结论。 （1）两直线平行，内错角相等。 （2）等角的补角相等。 （3）对顶角相等。 解： （1）改写：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等。 题设：两条平行线被第三条直线所截。 结论：内错角相等。 （2）改写：如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等。 题设：两个角是相等的角的补角。 结论：这两个角相等。 这里容易踩坑，很多同学会写成"如果两个角相等，那么它们的补角相等"，虽然意思差不多，但严格来说题设应该是"两个角是等角的补角"。 （3）改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 题设：两个角是对顶角。 结论：这两个角相等。 方法总结：改写命题时，要先找出原命题中什么是已知条件，什么是推出的结果。已知条件放在"如果"后面，推出的结果放在"那么"后面。改写时可以适当补充一些词语，让句子通顺，但不能改变原命题的意思。 例3：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例。 （1）两个锐角的和是锐角。 （2）邻补角是互补的角。 （3）互补的角是邻补角。 解： （1）假命题。 反例：两个锐角分别是60度和50度，它们的和是110度，110度是钝角，不是锐角。 所以"两个锐角的和是锐角"这个命题不成立。 （2）真命题。 根据邻补角的定义，邻补角既有相邻的位置关系，又有互补的数量关系。 所以邻补角一定是互补的。 （3）假命题。 反例：两个角分别是120度和60度，它们的和是180度，所以它们互补。 但这两个角不一定相邻，所以不一定是邻补角。 比如在两个不同的三角形里各有一个角，一个120度，一个60度，它们互补但不是邻补角。 方法总结：举反例的关键是，例子必须满足命题的题设，但不满足命题的结论。如果一个例子连题设都不满足，那它就不能作为反例。 【练习巩固】 一、判断题 1. 每个命题都有题设和结论两部分组成。 2. 假命题不是命题。 3. 所有的定理都是真命题。 4. 所有的真命题都是定理。 5. "画一个角等于已知角"是命题。 二、填空题 6. 判断一件事情的语句叫作______。 7. 命题由______和______两部分组成。 8. 如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫作______。 9. 经过推理证实的真命题叫作______。 10. 要说明一个命题是假命题，只要举出一个______就可以了。 三、解答题 11. 把下列命题改写成"如果……那么……"的形式： （1）两点确定一条直线。 （2）等角的余角相等。 （3）内错角相等，两直线平行。 12. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出反例： （1）若a大于b，则a的平方大于b的平方。 （2）两个负数的差是负数。 （3）一个角的补角一定大于这个角。 【参考答案】 一、判断题 1. 正确。每个命题都由题设和结论两部分组成，这是命题的基本结构。 2. 错误。假命题也是命题，只是它的判断是错误的。命题分为真命题和假命题两类。 3. 正确。定理是经过推理证实的真命题，所以所有定理都是真命题。 4. 错误。真命题不一定都是定理，只有那些经过推理证实、可以作为推理依据的重要真命题才叫定理。 5. 错误。"画一个角等于已知角"是作图指令，没有作出判断，所以不是命题。 二、填空题 6. 命题。这是命题的定义。 7. 题设、结论。题设是已知事项，结论是由已知推出的事项。 8. 真命题。真命题的题设成立时，结论一定成立。 9. 定理。定理是经过推理证实的真命题，可以作为继续推理的依据。 10. 反例。反例是符合题设但不满足结论的例子，只要有一个反例就能说明命题是假的。 三、解答题 11. 改写"如果……那么……"形式： （1）如果过两个已知点作直线，那么只能作一条直线。 或者更简洁地说：如果有两个点，那么这两个点确定一条直线。 题设：有两个点。 结论：这两个点确定一条直线。 （2）如果两个角是相等的角的余角，那么这两个角相等。 题设：两个角是相等的角的余角。 结论：这两个角相等。 （3）如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。 题设：两条直线被第三条直线所截，内错角相等。 结论：这两条直线平行。 12. 判断真假并举反例： （1）假命题。 反例：取a等于1，b等于负2。 此时a大于b（1大于负2），但a的平方等于1，b的平方等于4，1小于4。 也就是a的平方小于b的平方，不满足"a的平方大于b的平方"这个结论。 所以这个命题是假命题。 （2）假命题。 反例：两个负数分别是负1和负5。 它们的差是：负1减去负5等于4。 4是正数，不是负数。 所以"两个负数的差是负数"这个命题不成立。 说白了，当被减数大于减数时，差就是正数，跟两个数是不是负数没关系。 （3）假命题。 反例：一个角是120度，它的补角是60度。 60度小于120度，也就是补角小于这个角本身。 所以"一个角的补角一定大于这个角"是假命题。 补充一下，当这个角是锐角时，补角大于它；当这个角是直角时，补角等于它；当这个角是钝角时，补角小于它。三种情况都存在。 【注意】 做"举反例"的题目时，一定要先把命题的题设和结论分清楚，然后构造一个满足题设但不满足结论的例子。很多同学举的反例其实连题设都不满足，那就白举了。比如第（1）题，如果你举a等于负3，b等于2，那a根本就不大于b，虽然a的平方大于b的平方，但这不是反例，因为它不满足题设。 学科网（北京）股份有限公司 $