精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区第七中学中考前模拟预测数学试题

2025－2026学年九年级下学期中考模拟预测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 为监测内蒙古草原某牧草的株高长势，农技人员随机抽取5株牧草的高度（单位：）如下：3，13，10，6，3，下列结论不正确的是（ ） A. 平均数是7 B. 众数是3 C. 中位数是6 D. 方差是12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数、众数、中位数、方差的计算，按照定义分别计算各统计量，再判断选项即可． 【详解】解：先将数据从小到大排列为， 计算平均数：，故选项A正确； 求众数：出现次数最多，众数是，选项B正确； 求中位数：数据共个，中位数为排序后第个数，中位数是，选项C正确； 计算方差：，故选项D不正确． 3. 如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴可知，然后根据不等式的性质进行排除选项即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，，， ∴A选项不成立． 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴，， ∴． 6. 为保障内蒙古自治区“两会”的物资运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 乙车比甲车早1小时到达B地 B. A，B两地相距 C. 在时，两车行驶的路程不同 D. 甲车的平均速度为 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知， 乙车比甲车早1小时到达B地，故选项A说法正确，不符合题意； A、B两地相距，故选项B说法正确，不符合题意； 在8：30时，乙车追上甲车，所以两车行驶的路程相同，故选项C说法错误，符合题意； 甲车的速度为：，故选项D说法正确，不符合题意． 7. 如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，绕点逆时针旋转到，连接和，，，三点共线，垂直平分，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，，，证明是等边三角形，根据三线合一得到，证明是等边三角形，得到，即，根据三线合一得到，根据三角函数求出的值即可． 【详解】解：如图， 根据旋转的性质可知，，， ∵垂直平分， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角的比，列式求解即可得到答案，熟记扇形面积公式并正确理解是解决问题的关键． 【详解】解：一个扇形的半径长为，圆心角为， 这个扇形的面积为， 故答案为：． 10. 计算：________． 【答案】1 【解析】 【详解】解：． 11. 矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，求得，再求得小矩形的宽和长，据此计算即可求解． 【详解】解：设，由，得， ∵正方形的边长， ∴剩余小矩形的宽为， 长为， ∴剩余的小矩形的宽与长的比值为． 12. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有露出水面，那么此时水面高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用勾股定理得出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【详解】解：如图所示：作 于点 ， 由题意可得，，，, 故 ， 由题意可得：，， 故 ， , , 解得：, 所以此时水面高度为 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解不等式组和解方程 （1）解不等式组： （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，． 14. 随着移动支付的普及，人们的支付方式越来越多样化．某校在开展“生活中的数学”实践活动时，让小华和小丽模拟购物支付场景，两人需从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中各自随机选一种进行支付． （1）请用列表法或树状图法求小华和小丽恰好选择相同支付方式的概率； （2）若该校共有1500名学生，根据调查，全校约有的学生常用移动支付（微信、支付宝），估计该校不常用移动支付（银行卡、现金）的学生人数． 【答案】（1） （2）不常用移动支付的学生人数约为600人 【解析】 【分析】（1）设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X，列表求得所有可能的结果共16种，其中小华和小丽恰好选择相同支付方式的结果有4种，即可求得概率； （2）利用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：设微信为W、支付宝为Z、银行卡为Y、现金为X， W Z Y X W Z Y X 由列表可知，所有可能的结果共16种，每种情况可能性相同． 其中两人选择相同支付方式的结果有：，，，，共4种， （选择相同支付方式）； 【小问2详解】 解：已知全校有1500名学生，的学生常用移动支付， 则不常用移动支付的学生人数为（人）． ∴不常用移动支付的学生人数约为600人． 15. 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩的费用是1个地下充电桩费用的，且新建2个地上充电桩和3个地下充电桩共需1.3万元．每个地上充电桩占地面积为2平方米，每个地下充电桩占地面积为1平方米． （1）该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元？ （2）若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 【答案】（1）新建1个地下充电桩需要0.3万元，新建1个地上充电桩需要0.2万元 （2）共有两种建造方案； 方案一：地上充电桩17个，地下充电桩个； 方案二：地上充电桩18个，地下充电桩个 【解析】 【分析】（1）设新建1个地下充电桩需要x万元，则新建1个地上充电桩需要万元．根据等量关系：新建2个地上充电桩和3个地下充电桩共需1.3万元，建立一元一次方程并求解即可； （2）设新建地上充电桩a个，则地下充电桩为个，根据题中两个不等关系列出一元一次不等式组并求解即可． 【小问1详解】 解：设新建1个地下充电桩需要x万元，则新建1个地上充电桩需要万元． 由题意，得， 解得， 所以， 答：新建1个地下充电桩需要0.3万元，新建1个地上充电桩需要0.2万元； 【小问2详解】 解：设新建地上充电桩a个，则地下充电桩为个， 根据题意，得， 解得， 为整数， 或18， ∴或， ∴共有两种建造方案． 方案一：地上充电桩17个，地下充电桩个； 方案二：地上充电桩18个，地下充电桩个． 16. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，点F在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）证明：是直径， ． ， ， ， ， ，即， 是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，则有，即，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （3）由（2）可得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ∴， ∵，， ，， ，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ． 又， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ． 17. 已知二次函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为，1．直线m的解析式为． （1）求A，B两点坐标； （2）在抛物线上找一点C，使点C到直线m的距离最短，并求出最短距离； （3）点为x轴上的一个动点且为钝角，请写出t的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把和分别代入二次函数解析式进行求解即可； （2）平移直线与抛物线交于点，得到直线，则有，此时点到直线距离最短．过点作直线于点，作轴交于点，设直线与轴交于点，然后可得，，进而问题可求解； （3）过点，分别作，垂直轴于点，，由题意易得，，，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：把代入二次函数得：， 把代入二次函数得：， ∴，； 【小问2详解】 解：如图1，平移直线与抛物线交于点，得到直线，则有，此时点到直线距离最短．过点作直线于点，作轴交于点，设直线与轴交于点， 设直线的解析式为， 则， 得，整理得：， ∴，解得， 直线的解析式为． 联立，解得， ， 把代入，得， ∴， ， 把代入得：，把代入解得：， ∴直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， ∴， 又轴， ， ， 最短距离为； 【小问3详解】 解：如图2，过点，分别作，垂直轴于点，． 由（1）知，． ∴， 点为轴上的一个动点且为钝角， ，，，， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ，即， 解得或， ∴当为钝角时，． 18. 如图，在中，，，，．将沿方向平移得到，延长和交于点F．点P从点F出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．当点Q运动到点D时，P，Q两点运动停止．连接，，．设时间为t，回答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使是等腰三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，当时， （3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，，，，以点B为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，延长交y轴于点G，分别过点Q、E作，然后可得点，，进而根据两点间距离公式可进行求解； （2）由（1）可知：，，，然后根据两点间距离公式可进行求解． （3）由（2）可知：，，，则可分：①当时，②当时，③当时，进而分类进行求解即可 【小问1详解】 解：∵将沿方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由题意可知：， 以点B为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，延长交y轴于点G，分别过点Q、E作，如图所示： ∴轴，，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 同理可得：点P的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∴根据两点间距离公式可得， ， 当时，由勾股定理可得：， ∴，整理得：， 解得：（舍去）； 【小问2详解】 解：存在， 由（1）可知：，，， ∴根据两点间距离公式可得：，， 当时，根据勾股定理可得：， ∴， 整理得：， 解得：（负根舍去）； 【小问3详解】 解：存在，某一时刻t，使是等腰三角形，由（2）可知：，，，则可分： ①当时，则有， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； ②当时，则有， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； ③当时，则有， ∴，整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年九年级下学期中考模拟预测 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 为监测内蒙古草原某牧草的株高长势，农技人员随机抽取5株牧草的高度（单位：）如下：3，13，10，6，3，下列结论不正确的是（ ） A. 平均数是7 B. 众数是3 C. 中位数是6 D. 方差是12 3. 如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（ ） A. B. C. D. 4. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 6. 为保障内蒙古自治区“两会”的物资运输，甲、乙两辆物资运输车从A地出发前往B地．在整个行程中，运输车离开A地的路程与时刻之间的对应关系如图所示．下列结论错误的是（ ） A. 乙车比甲车早1小时到达B地 B. A，B两地相距 C. 在时，两车行驶的路程不同 D. 甲车的平均速度为 7. 如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. 如图，绕点逆时针旋转到，连接和，，，三点共线，垂直平分，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 已知一个扇形的半径长为，圆心角为，则这个扇形的面积为____． 10. 计算：________． 11. 矩形中，，且．在，上取点，，使，沿剪掉正方形后，剩余的小矩形的宽与长的比值为________． 12. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有露出水面，那么此时水面高度是________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解不等式组和解方程 （1）解不等式组： （2）解方程：． 14. 随着移动支付的普及，人们的支付方式越来越多样化．某校在开展“生活中的数学”实践活动时，让小华和小丽模拟购物支付场景，两人需从微信、支付宝、银行卡、现金四种支付方式中各自随机选一种进行支付． （1）请用列表法或树状图法求小华和小丽恰好选择相同支付方式的概率； （2）若该校共有1500名学生，根据调查，全校约有的学生常用移动支付（微信、支付宝），估计该校不常用移动支付（银行卡、现金）的学生人数． 15. 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩的费用是1个地下充电桩费用的，且新建2个地上充电桩和3个地下充电桩共需1.3万元．每个地上充电桩占地面积为2平方米，每个地下充电桩占地面积为1平方米． （1）该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元？ （2）若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 16. 如图，在中，，以为直径作，分别交，于点D，E，点F在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，求的长． 17. 已知二次函数的图象上有A，B两点，它们的横坐标分别为，1．直线m的解析式为． （1）求A，B两点坐标； （2）在抛物线上找一点C，使点C到直线m的距离最短，并求出最短距离； （3）点为x轴上的一个动点且为钝角，请写出t的取值范围． 18. 如图，在中，，，，．将沿方向平移得到，延长和交于点F．点P从点F出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．当点Q运动到点D时，P，Q两点运动停止．连接，，．设时间为t，回答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使是等腰三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $