第十章 概率 期末限时小卷（二）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦概率核心概念与实际应用，通过分层题型构建“概念辨析-情境迁移-综合应用”的逻辑训练体系，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选题|4题|古典概型、条件概率、事件关系判断|从基础概念（互斥/独立）到公式应用（有放回抽样概率计算）| |多选题|2题|互斥事件辨析、统计与概率结合|事件关系与实际数据的关联分析| |填空题|2题|互斥对立判断、贝叶斯公式|概念深化（互斥vs对立）与逆概率思维| |解答题|2题|频率分布直方图与概率、线性回归与期望|概率与统计（均值方差）、概率与函数（回归方程）的跨知识整合|

2026年高一数学必修第二册第十章概率限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第十章 概率。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片卡片的形状、大小和质地完全相同放入一个盒子中若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是． A. B. C. D. 2.某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的概率是，连续两天接纳顾客量超过万人次的概率是在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的条件下，随后一天接纳顾客量超过万人次的概率是     ． A. B. C. D. 3.若，，，则事件与的关系是    ． A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又相互独立 4.现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各个，先从两个箱子中各取出一个小球、，再将两个箱子的球混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“小球为红色”，则下列说法正确的是(     ) A. 发生的概率为 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 发生的概率为 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件是互斥事件的有(     ) A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 6.中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： 抽样中，投入高于万元的工作室占，投入低于万元的占； 投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； 投入高于万元的工作室中，有专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是(     ) A. 抽样中，投入万元的工作室有个 B. 抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个 C. 抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过个 D. 若从抽样工作室中随机抽取个，抽到投入高于万元且专注于传统技艺传承的概率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物学、信息技术这两门理科学科和思想政治、历史、地理这三门文科学科中再选择一门设事件为“选择生物学学科”，为“选择一门理科学科”，为“选择思想政治学科”，为“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： 和是互斥事件但不是对立事件 和是互斥事件也是对立事件 其中，正确结论的序号是           请把你认为正确的结论序号都写上 8.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率均为，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 高一年级有男生人，女生人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图． 根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； 已知所有女生的平均成绩为，请估计高一年级所有学生的平均成绩； 为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取名学生，再从这名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率． 10.本小题分 某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同视为技术水平不同的技工加工一批模具因技工的技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值单位：万元，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的经验回归方程为． 试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱若，则认为与的线性相关性很强若，则认为与的线性相关性不强 已知这批设备有，两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加若工序出现故障，则生产成本增加万元若工序出现故障，则生产成本增加万元若，两道工序都出现故障，则生产成本增加万元求这批设备增加的生产成本的数学期望． 参考数据：，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册第十章概率限时小卷（二） （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第十章 概率。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片卡片的形状、大小和质地完全相同放入一个盒子中若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是． A. B. C. D. 2.某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的概率是，连续两天接纳顾客量超过万人次的概率是在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的条件下，随后一天接纳顾客量超过万人次的概率是     ． A. B. C. D. 3.若，，，则事件与的关系是    ． A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又相互独立 4.现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各个，先从两个箱子中各取出一个小球、，再将两个箱子的球混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“小球为红色”，则下列说法正确的是(     ) A. 发生的概率为 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 发生的概率为 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件是互斥事件的有(     ) A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 6.中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： 抽样中，投入高于万元的工作室占，投入低于万元的占； 投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； 投入高于万元的工作室中，有专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是(     ) A. 抽样中，投入万元的工作室有个 B. 抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个 C. 抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过个 D. 若从抽样工作室中随机抽取个，抽到投入高于万元且专注于传统技艺传承的概率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物学、信息技术这两门理科学科和思想政治、历史、地理这三门文科学科中再选择一门设事件为“选择生物学学科”，为“选择一门理科学科”，为“选择思想政治学科”，为“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： 和是互斥事件但不是对立事件 和是互斥事件也是对立事件 其中，正确结论的序号是           请把你认为正确的结论序号都写上 8.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率均为，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 高一年级有男生人，女生人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图． 根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； 已知所有女生的平均成绩为，请估计高一年级所有学生的平均成绩； 为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取名学生，再从这名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率． 10.本小题分 某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同视为技术水平不同的技工加工一批模具因技工的技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值单位：万元，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的经验回归方程为． 试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱若，则认为与的线性相关性很强若，则认为与的线性相关性不强 已知这批设备有，两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加若工序出现故障，则生产成本增加万元若工序出现故障，则生产成本增加万元若，两道工序都出现故障，则生产成本增加万元求这批设备增加的生产成本的数学期望． 参考数据：，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一数学必修第二册第十章概率限时小卷（二） 全 解 全 析 （考试时间：40分钟 分值：66分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第二册第十章 概率。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片卡片的形状、大小和质地完全相同放入一个盒子中若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为，，，则样本点有，，，，，，，，，共个，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的样本点有，，共个，所以所求的概率． 2.某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的概率是，连续两天接纳顾客量超过万人次的概率是在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过万人次的条件下，随后一天接纳顾客量超过万人次的概率是    ． A. B. C. D. 【答案】D  3.若，，，则事件与的关系是    ． A. 事件与互斥 B. 事件与对立 C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又相互独立 【答案】C  【解析】， ， ， 事件与相互独立故选C． 4.现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各个，先从两个箱子中各取出一个小球、，再将两个箱子的球混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“小球为红色”，则下列说法正确的是(    ) A. 发生的概率为 B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 发生的概率为 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了古典概型，属于基础题． 求出古典概率判断； 利用互斥事件的定义判断； 利用相互独立事件的定义判断； 分两种情况讨论求出概率判断． 【解答】 解：根据题意，，两个相同的箱子均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各个， 项．，A错误； 项．事件与可以同时发生，它们不互斥，B错误； 项．，，与相互独立，C正确； 项．若先取出同色小球，都为白球时，混合后有个白球个红球，取出红球概率； 若取出的都为红球，混合后有个红球个白球，取出红球概率为， 若先取出异色小球，混合后有个白球个红球，取出红球概率为，D错误． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件是互斥事件的有(    ) A. “恰有一名男生”和“全是男生” B. “至少有一名男生”和“至少有一名女生” C. “至少有一名男生”和“全是男生” D. “至少有一名男生”和“全是女生” 【答案】AD  6.中国非遗文化传承成效显著，某文化部门随机抽取国内个非遗传承工作室的年度投入进行统计，已知以下数据： 抽样中，投入高于万元的工作室占，投入低于万元的占； 投入万元的工作室中，专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为； 投入高于万元的工作室中，有专注于传统技艺传承，剩下的专注于非遗文创开发． 下列说法正确的是(    ) A. 抽样中，投入万元的工作室有个 B. 抽样中，专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个 C. 抽样中，专注于非遗文创开发的工作室数量不超过个 D. 若从抽样工作室中随机抽取个，抽到投入高于万元且专注于传统技艺传承的概率为 【答案】BD  【解析】对于，由抽样中，投入高于万元的工作室占，投入低于万元的占，可得投入万元的工作室占比为，所以抽样中，投入万元的工作室有个，所以 A错误； 对于，由抽样中，投入万元的工作室有个，因为专注于传统技艺传承与非遗文创开发的数量比为，所以专注于传统技艺传承且投入万元的工作室有个，故 B正确； 对于，投入高于万元的工作室的数量为个，其中专注于非遗文创开发的工作室数量为个，投入万元的工作室且专注于非遗文创开发的工作室有个，所以专注于非遗文创开发的工作室总数至少为个，所以 C错误； 对于，投入高于万元且专注于传统技艺传承的工作室有个，所以抽到投入高于万元且专注于传统技艺传承的概率为，所以 D正确故选：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.据某省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物学、信息技术这两门理科学科和思想政治、历史、地理这三门文科学科中再选择一门设事件为“选择生物学学科”，为“选择一门理科学科”，为“选择思想政治学科”，为“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： 和是互斥事件但不是对立事件 和是互斥事件也是对立事件 其中，正确结论的序号是          请把你认为正确的结论序号都写上 【答案】  8.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率均为，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是          ． 【答案】  【解析】由题意设事件表示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件表示“迟到”，则，，，． ，小明迟到了，由贝叶斯公式得他自驾去上班的概率是． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 高一年级有男生人，女生人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图． 根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差； 已知所有女生的平均成绩为，请估计高一年级所有学生的平均成绩； 为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取名学生，再从这名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率． 【答案】解：， ， 所以全体男生的平均成绩为，方差为； 全体学生的平均数； 抽到的名学生中有名男生，设为，，，名女生，设为，， 事件：两名学生恰为一名男生和一名女生，则样本空间 ，，，，，，，，，， ，，，，，， 所以，， 所以．  10.本小题分 某企业计划新购买台设备，并将购买的设备分配给名年龄不同视为技术水平不同的技工加工一批模具因技工的技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同若用变量表示不同技工的年龄，变量为相应的效益值单位：万元，根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且关于的经验回归方程为． 试根据的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱若，则认为与的线性相关性很强若，则认为与的线性相关性不强 已知这批设备有，两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是，若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加若工序出现故障，则生产成本增加万元若工序出现故障，则生产成本增加万元若，两道工序都出现故障，则生产成本增加万元求这批设备增加的生产成本的数学期望． 参考数据：，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，． 【答案】 由题意得， 所以， 所以， 所以． 因为，所以与的线性相关性很强， 所以使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性很强． 设增加的生产成本为，则的所有可能取值为，，，， ， ， ， ， 所以万元， 所以这批设备增加的生产成本的数学期望为万元． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $