3.2 函数的单调性与最值 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义判断、单调区间、参数求解、比较大小、解不等式、值域最值、参数与恒成立问题的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识体系，突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以题型为载体，提炼定义法、导数法等解题策略，如利用单调性求参数时强调定义域与分段函数端点关系，培养学生数学思维与逻辑推理能力。设置分层练习，配合即时方法总结，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

§3.2 函数的单调性与最值·复习讲义 目录 题型1：函数单调性的判断与证明 3 题型2：求函数的单调区间 6 题型3：利用单调性求参数 10 题型4：利用单调性比较大小 12 题型5：利用单调性解不等式 15 题型6：求函数的值域与最值 19 题型7：已知函数的值域求参数 23 题型8：恒成立与有解问题 27 1. 函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 (2) 单调区间的定义 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． (3) 函数单调性的两个等价结论： 设，则： ①（或）在上单调递增； ②（或）在上单调递减. 2. 函数的最值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 题型1：函数单调性的判断与证明 方法提炼 判断函数单调性的方法 (1) 定义法证明或判断函数单调性的步骤 (2) 性质法 ①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数=增函数，减函数－增函数=减函数. ②函数在公共定义域内与的单调性相反． ③复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 【例1.1.】 （2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 【例1.2.】 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用幂函数、二次函数单调性判断AB；利用指数函数单调性判断CD． 【详解】对于A，函数在上单调递减，故A错误； 对于B，函数在上单调递减，故B错误； 对于C，当时，，由指数函数单调性得，在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上单调递减，故D错误． 故选：C． 【例1.3.】 （多选）下列函数中，满足“对任意不相等的、，使得”成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.75 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、研究对数函数的单调性 【分析】根据题意，等价于函数在上单调递减，只需逐一判断各选项函数在的单调性即可. 【详解】对任意不相等的、，使得， 不妨设，则，即， 所以等价于函数在上单调递减， 对于A选项，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 故函数在上单调递减，A符合要求； 对于B选项，因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数，B不符合要求； 对于C选项，函数在上为增函数，C不符合要求； 对于D选项，函数在上为减函数，D符合要求. 【例1.4.】 已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)； (2)在区间上递增，证明见解析. 【难度】0.94 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由，将自变量代入求值即可； （2）设，应用作差法比较证明单调性. 【详解】（1）由题设，则，故； （2）在区间上递增，证明如下： 令，则， 又，则，且， 所以，即在区间上递增. 题型2：求函数的单调区间 方法提炼 确定函数单调性的方法： (1) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解. (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. 【例2.1.】 函数的单调增区间为________． 【答案】（或） 【难度】0.94 【知识点】复合函数的单调性 【分析】换元得，则，分别判断这两个函数的单调性，利用复合函数同增异减的法则判断函数的单调增区间即可. 【详解】由，得函数的定义域为． 令，则. 因为函数在上为增函数，函数在上为增函数. 所以函数的单调增区间为． 故答案为：（或） 【例2.2.】 函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象、分段函数的单调性 【分析】写出函数分段形式的解析式，再画出函数的图象，数形结合可知单调区间. 【详解】. 画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为. 故选：B. 【例2.3.】 函数的单调递增区间为______________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性 【分析】首先求出定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，最后根据三角函数整体法求单调区间. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取， 即， 解这个不等式，得，即， 根据复合函数同增异减，所以的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得 ，即 ， 解得 ，所以所求递增区间为. 故答案为： 【例2.4.】 设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间. 【详解】由， 由定义域可知：， 结合二次函数的对称轴， 可知：在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以函数的单调递减区间为. 故选：D 【例2.5.】 已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，易知在上单调递增，所以在上单调递减， 对于，令，解得， 令，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 因为在上单调递减，所以的单调递增区间对应的单调递减区间， 所以的单调递增区间是. 故选：A. 题型3：利用单调性求参数 方法提炼 利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确 定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数. 同时注意函数定义 域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 【例3.1.】 已知函数为上的减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据分段函数的单调性得到，解得答案. 【详解】函数为上的减函数，则，解得. 故答案为：. 【例3.2.】 已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性 【分析】令，根据函数在上是减函数，利用复合函数的单调性，分，讨论求解. 【详解】令， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是减函数，且成立， 则，无解， 当时，因为函数在上是减函数， 所以函数在上是增函数，且成立， 则，解得， 综上：实数的取值范围是 故答案为： 【例3.3.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】从解析式中分离常数，利用反比例函数的性质求解. 【详解】， 由反比例函数性质知当，即时，在单调递增， 又在单调递增，所以，所以. 综上，即实数的取值范围是 故答案为：. 【例3.4.】 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性求参数值、与二次函数相关的复合函数问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 题型4：利用单调性比较大小 方法提炼 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小. 【例4.1.】 定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【详解】由可得在上单调递增，故 【例4.2.】 设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 【例4.3.】 已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 【例4.4.】 已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、比较函数值的大小关系 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 【例4.5.】 已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 题型5：利用单调性解不等式 方法提炼 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： (1) 根据已知不等式构造的不等关系式； (2) 结合函数单调性的定义，将符号脱掉，转化为自变量间的大小关系； (3) 运算求解，应注意函数的定义域. 【例5.1.】 已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性，即可得，求解即可． 【详解】因为函数为定义在上的增函数，且， 所以，解得． 故选：A． 【例5.2.】 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 【例5.3.】 设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、复合函数的单调性、分段函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】判断函数的单调性，根据单调性和定义域求解不等式即可. 【详解】令，则. 因为是减函数，是增函数，所以函数在上单调递减； 因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，，所以函数在上单调递减。 因为，所以，所以，解得． 故选：A. 【例5.4.】 设函数，则满足的的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解分段函数不等式、根据图像判断函数单调性 【分析】令，结合图象分析函数，的单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示， 可知函数在定义域内单调递增， 令，可知函数在定义域内单调递增， 且， 不等式等价于，可得， 所以的取值范围是. 【例5.5.】 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件构造新函数，判断新函数的单调性，由新函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 令， 因为对，且，有， 所以有，所以函数是上的增函数， 由， 故选：C 【例5.6.】 已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】令，， 则对任意的，且， 有， 由， 则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有，则， 则， 故有，即，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为． 故答案为： 题型6：求函数的值域与最值 方法提炼 求函数最值（值域）的方法 (1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值. (2) 配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域. (3) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (4) 换元法：将已知函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替(用换元法时一定要注意新元的取值范围)，使解析式化归为熟悉的函数，再进行值域的求解.换元法分为三角换元法与代数换元法. (5) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (6) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (7) 分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化后便于分析. (8) 几何法：分析代数式的结构，转化成斜率、截距、距离等几何意义求解. (9) 有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求 值域，注意的取值范围必须为实数集R. 【例6.1.】 已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出. 【详解】，令，则， 则， 且，则 因，则，则， 又，则，即， 则在上单调递增， 则的最大值为. 故选：C 【例6.2.】 函数的最大值与最小值的和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】令，可得，可知关于的方程有解，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得的取值范围，即可得解. 【详解】设，则有， 当时，代入原式，解得． 当时，， 由，解得，于是的最大值为，最小值为， 所以函数的最大值与最小值的和为． 故选：B. 【例6.3.】 定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】画出，，的图像，观察图像可知， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的最大值在时取得为2，故B正确． 【例6.4.】 （1）函数的最小值为______． （2）函数的最大值为______． 【答案】 【难度】0.71 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （2）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）. 当且仅当，即时，． （2）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 【例6.5.】 已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】，则， 令，则， 则转化为， 开口向下，对称轴为， 所以的最大值为，最小值为， 所以的值域为. 故选：C 【例6.6.】 函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】首先对原式进行变形，然后再利用换元法求函数的最值. 【详解】由题知， 整理得， 令，易知， 所以知在时是单调递减函数， 因为， 整理得， 解得，代入中有的最大值为， 即的最大值为. 故选：D. 题型7：已知函数的值域求参数 【例7.1.】 已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、利用函数单调性求最值或值域、函数图象的应用、分段函数的值域或最值 【分析】要使分段函数的值域为，需两段函数值域衔接覆盖全体实数，即满足部分的最小值不大于部分的上界. 【详解】当时，，这部分值域为； 当时，，是增函数，这部分值域为， 要使整个函数的值域为，则， 画出和的图像，可知两个函数的交点为和，且当且仅当时，成立， 因此的取值范围是. 【例7.2.】 若函数在上的值域是，则实数a的值为______． 【答案】 【难度】0.71 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数a的值； 【详解】因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． 【例7.3.】 设函数且在上的最大值和最小值之和为，则a的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数的最值求参数、根据指数函数的最值求参数、对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】结合函数与的单调性可知在单调递增或单调递减，从而可得函数在上的最值分别为，代入可求a的值. 【详解】由换底公式可得， 又与在区间上具有相同的单调性， 故在上单调递增或单调递减，在上的最值分别为， 故，由题意，解得. 故选：B 【例7.4.】 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 ，； 【难度】0.15 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、分段函数的单调性、求函数的单调区间、分段函数的性质及应用 【分析】（1）先将代入，考虑时，配方求出函数的单调递减区间，考虑时，函数单调递减，从而求出函数的单调递减区间； （2）考虑在取得最小值为，且，从而得到，再考虑的定义域，得到，因为时，值域为，不合题意，从而，得到，与比较后，得到不等式求出实数的取值范围. 【详解】时，， 当时，， 故单调递减区间为， 当时，单调递减， 故单调递减区间是，； 因为函数在上单调递减，而函数的值域是， 若，显然不符合题意，所以． 当时，函数单调递减，所以，即有， 所以，故函数在时的值域为. 因为在处取得最小值， 令，解得：或，所以函数在处取得最大值， 当时，，解得：． 综上：，即实数的取值范围是. 故答案为：； 【例7.5.】 已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】分类讨论，，时，两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论. 【详解】由题意，令，，，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，且值域为， ，此时分段函数存在最小值2，符合题意； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 且在上的值域为， 由题意，分段函数存在最小值，故需，即， 解得，这与矛盾，故不符合题意. 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 题型8：恒成立与有解问题 【例8.1.】 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增 (2) (3)或或 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）应用单调性定义判断单调性； （2）根据单调性列不等式计算求解； （3）根据不等式在给定范围恒成立，分和分别判断计算求解. 【详解】（1）任取，且， 则为奇函数， ， 由已知得， ，即． 在上单调递增． （2）在上单调递增， ． 所以不等式的解集为． （3）在上单调递增． 在上，． 问题转化为， 即，对恒成立． 设． ①若，则，对恒成立． ②若，则为的一次函数，若，对恒成立，必须有且， 或． 实数的取值范围是或或． 【例8.2.】 已知函数，且在上恒成立，则实数a的最小值为___________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】函数不等式恒成立问题、基本不等式求积的最大值 【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值 【详解】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数a的最小值为-3． 【例8.3.】 已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的最值求参数 【分析】根据最小值为，可得，进而对进行讨论即可求解. 【详解】由题意知的最小值为，故，即． 当时，，不合题意； 当时，在上的最小值为， 为使为全局最小值，还需在上， 此时的下确界为3，故需， 解得， 综上，实数的取值范围为 故选：D． 【例8.4.】 已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 【详解】因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 【例8.5.】 已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.63 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】将问题转化为，利用基本不等式和对数函数单调性可分别求得的最小值，由此可构造不等式求得结果. 【详解】，，使得，； （当且仅当时取等号）， 时，的最小值为， ，解得：， 实数的取值范围为. 【例8.6.】 已知函数，，，，有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】通过换元和对数函数的单调性，求得当时，的值域.通过换元及二次函数的对称轴，讨论的取值，从而求得当时，的值域，由题意可知，从而建立不等式组，求得实数的取值范围. 【详解】令，在上单调递减， ∵，∴， 又∵函数在上单调递增，∴， ∴时，， 令，∵，∴，对称轴为， 当时，， 当时，函数在上单调递增，∴， 由题意可知，，即，∴， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ∴，由题意得， 即，则或， 解得或，不等式组无解. 当时，函数在上单调递减，∴， 由题意可知，，即，则，不等式无解. ∴. 故选：D. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 函数的单调性与最值·复习讲义 目录 题型1：函数单调性的判断与证明 3 题型2：求函数的单调区间 4 题型3：利用单调性求参数 5 题型4：利用单调性比较大小 5 题型5：利用单调性解不等式 6 题型6：求函数的值域与最值 7 题型7：已知函数的值域求参数 9 题型8：恒成立与有解问题 9 1. 函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 (2) 单调区间的定义 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． (3) 函数单调性的两个等价结论： 设，则： ①（或）在上单调递增； ②（或）在上单调递减. 2. 函数的最值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 题型1：函数单调性的判断与证明 方法提炼 判断函数单调性的方法 (1) 定义法证明或判断函数单调性的步骤 (2) 性质法 ①在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数－减函数=增函数，减函数－增函数=减函数. ②函数在公共定义域内与的单调性相反． ③复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 【例1.1.】 （2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【例1.2.】 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 【例1.3.】 （多选）下列函数中，满足“对任意不相等的、，使得”成立的是（   ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知函数 (1)若，求的值； (2)若，判断在区间上的单调性，并用定义证明. 题型2：求函数的单调区间 方法提炼 确定函数单调性的方法： (1) 定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解. (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 导数法:先求导，利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. 【例2.1.】 函数的单调增区间为________． 【例2.2.】 函数的单调递减区间为（　 ） A． B． C． D． 【例2.3.】 函数的单调递增区间为______________ 【例2.4.】 设函数，，则函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 已知函数在上单调递减，则的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 题型3：利用单调性求参数 方法提炼 利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确 定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数. 同时注意函数定义 域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 【例3.1.】 已知函数为上的减函数，则实数的取值范围是________. 【例3.2.】 已知且，若函数在上是减函数，则的取值范围是__________ 【例3.3.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围为__________. 【例3.4.】 已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：利用单调性比较大小 方法提炼 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小. 【例4.1.】 定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【例4.5.】 已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 题型5：利用单调性解不等式 方法提炼 运用函数单调性定义解不等式问题，解题步骤为： (1) 根据已知不等式构造的不等关系式； (2) 结合函数单调性的定义，将符号脱掉，转化为自变量间的大小关系； (3) 运算求解，应注意函数的定义域. 【例5.1.】 已知定义在上的函数为增函数，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 设函数，则满足的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 设函数，则满足的的取值范围是______. 【例5.5.】 若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 题型6：求函数的值域与最值 方法提炼 求函数最值（值域）的方法 (1) 单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值. (2) 配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域. (3) 图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (4) 换元法：将已知函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体，并用新元代替(用换元法时一定要注意新元的取值范围)，使解析式化归为熟悉的函数，再进行值域的求解.换元法分为三角换元法与代数换元法. (5) 基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (6) 导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. (7) 分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化后便于分析. (8) 几何法：分析代数式的结构，转化成斜率、截距、距离等几何意义求解. (9) 有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求 值域，注意的取值范围必须为实数集R. 【例6.1.】 已知函数，则在上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 【例6.2.】 函数的最大值与最小值的和是（     ） A． B． C． D． 【例6.3.】 定义为中的最小值，设，则的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【例6.4.】 （1）函数的最小值为______． （2）函数的最大值为______． 【例6.5.】 已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型7：已知函数的值域求参数 【例7.1.】 已知函数的值域为，则的取值范围是_________． 【例7.2.】 若函数在上的值域是，则实数a的值为______． 【例7.3.】 设函数且在上的最大值和最小值之和为，则a的值为（   ） A． B． C． D．3 【例7.4.】 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 【例7.5.】 已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________. 题型8：恒成立与有解问题 【例8.1.】 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立． (1)判断在上的单调性； (2)解不等式； (3)若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【例8.2.】 已知函数，且在上恒成立，则实数a的最小值为___________． 【例8.3.】 已知函数若，，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例8.4.】 已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【例8.5.】 已知函数，，若，，使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.6.】 已知函数，，，，有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $