第二章 课时2 函数的单调性与最值讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义内涵、判定方法、应用策略的逻辑层次梳理知识，通过知识梳理构建概念体系，基础回顾夯实认知，考点扫描（含考向分析、典例精讲、真题训练）突破重点，形成系统性复习路径。 讲义突出新课标核心素养培养，如通过定义证明单调性训练数学思维的推理能力，分析“对勾函数”等特殊函数发展数学眼光的抽象能力，设置分层练习与即时反馈保障复习效果，助力学生高效掌握解题方法，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

课时2 函数的单调性与最值 一、课标要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用． 二、知识梳理 1．增函数与减函数 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是_______ 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是_______ 图象描述 自左向右看图象是_________ 自左向右看图象是____________ 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)________，区间I叫作y＝f(x)的__________． 注意：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如果一个函数有多个单调性相同的区间，书写时应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”隔开． 3．函数的最大值与最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1) ，都有_________；，使得________，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． (2) ，都有_________；，使得________，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 【拓展知识】 1．判断函数的单调性的等价结论 ，>0恒成立⇔f(x)在D上是增函数.请将减函数的性质类似写出：__________________________________． 2．两种特殊函数的单调性 ① “对勾函数”y＝x＋(a>0)的单调递增区间为(－∞，－]和[，＋∞)；单调递减区间为(－，0)和(0，). ② “飘带函数”y＝x－(a>0)的单调递增区间为(－∞，0)和（0，＋∞)；无单调递减区间． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）若函数f(x)满足f(－1)<f(1)，则f(x)在[－1,1]上单调递增． （ ） （2）若函数f(x)满足f(－1)<f(1)，则f(x)在[－1,1]上不是减函数． （ ） （3）在其定义域上是增函数. （ ） （4）若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值． （ ） 2．（2026·陕西榆林市一模）下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是(　　) A.y=－x+1 B.y=(x－1)2 C.y=|ln x| D.y=x 3．(多选题) （2026·安徽蚌埠市期末）下列函数中，满足“对任意的，使得>0”成立的有（    ） A． B． C． D． 4．函数y=－在区间[1，2]上的最大值为 . 四、考点扫描 考点一 研究函数的单调性 考向1 确定函数的单调区间 例1 （1）下列函数在定义域上为增函数的是(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝2x2 C．f(x)＝x－1 D．f(x)＝ （2）函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为(　　) A. B. C．[1，＋∞) D.∪[1，＋∞) 考向2 利用定义证明函数的单调性 例2 已知函数f(x)=. (1)求f(x)的定义域； (2)试判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性，并用定义加以证明. 对点训练（1） (多选题)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的有(　　) A．y＝x－ B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg(x＋1) （2）已知函数f(x)=x2－2x.用定义法证明：函数y=f(x)在区间(－∞，1]上单调递减. 规律方法：　 考点二 函数单调性的应用 考向1 根据函数的单调性求参数范围 例3 （2026·陕西商洛市一模）已知函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 规律方法： 考向2 比较大小、解不等式 例4 （1）已知定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) (2) (2026·湖南湘潭市统考)已知函数.若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 规律方法： 考点三 利用单调性求函数的最值(值域) 例5 函数f(x)＝x－＋1在[1,4]上的取值范围是(　　) A. B．[0,1] C. D. 对点训练 （1）若函数f(x)=在(a，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.  （2）（2026·山西太原市统考）函数y=f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a+1)<f(2a)，则实数a的取值范围是　　　　.  （3）(2026·四川外国语大学附中模拟)函数f(x)＝＋的最小值为__________. 课时2 函数的单调性与最值参考答案 二、知识梳理 1．（单调）增函数 （单调）减函数 上升的 下降的 2．单调性 单调区间 3．(1) f(x)≤M f(x0)＝M (2) f(x)≥M f(x0)＝M 【拓展知识】 1．，<0⇔f(x)在D上是减函数 三、基础回顾 1．（1）× 【解析】仅由f(－1)<f(1)，无法得出f(x)在[－1,1]上是增函数． （2）√ 【解析】假设f(x)在[－1,1]上是减函数，则f(－1)>f(1)矛盾, 所以原命题正确． （3）× 【解析】的定义域是，区间中间在0处断开，不具有连续性，不符合单调性的定义． （4）√ 【解析】连续函数在闭区间上一定存在最大、小值． 2．　D 【解析】 y=－x+1在(0，+∞)上单调递减，不符合题意； y=(x－1)2在(0，+∞)上不单调，不符合题意； 因为y=|ln x|=则y=|ln x|在(0，+∞)上不单调，不符合题意； y=x在(0，+∞)上单调递增，符合题意.故选D. 3．BCD 【解析】根据题意，“对任意的，使得>0”，则函数在上为增函数. 对于选项A，，为二次函数，其图象对称轴为x＝－1，在上递减，不合题意； 对于选项B，，其导数，所以在上递增，符合题意； 对于选项C，为一次函数，所以在上递增，符合题意； 对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，符合题意.故选BCD. 4．　 【解析】　在(－1，+∞)上单调递增，则在区间[1，2]上单调递增， 所以. 四、考点扫描 例1 （1）D 【解析】对于选项A，函数f(x)＝－x＋1在R上为减函数，故A错误； 对于选项B，函数f(x)＝2x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，在定义域R上不单调，故B错误； 对于选项C，函数f(x)＝x－1在(－∞，0)，(0，＋∞)上都递减，在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不单调，故C错误； 对于选项D，函数f(x)＝定义域是[1，＋∞)，且在[1，＋∞)上是增函数，故D正确．故选D. （2）B 【解析】g(x)＝x·|x－1|＋1＝ 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递减区间为.故选B. 例2 【解】　(1) 由x2－1≠0，得x≠±1， 所以函数的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}. (2) 【证明】∀x1，x2∈(1，+∞)，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)=. 由x1，x2∈(1，+∞)，得x1>1，x2>1，所以－1>0，－1>0，x1+x2>0. 又x1<x2，所以x1－x2<0，于是<0，即f(x1)>f(x2)， 因此函数f(x)=在(1，+∞)上单调递减. 对点训练（1）ACD 【解析】因为y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； 因为y′＝2－2sin x≥0， 所以y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD. （2）【证明】　任取x1，x2∈(－∞，1]，且x1<x2，则x1－x2<0且x1+x2<2， 所以f(x1)－f(x2)=(－2x1)－(－2x2)=(－)－2(x1－x2) =(x1－x2)(x1+x2)－2(x1－x2)=(x1－x2)(x1+x2－2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函数y=f(x)在区间(－∞，1]上单调递减. 例3 B 【解析】因为是定义在上的增函数， 所以，解得.故选B. 例4（1）A 【解析】因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减. 又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)<f(3)<f(4). 又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4)．故选A. （2）C 【解析】根据题意，函数，其定义域为， 有，则为奇函数， ，在区间上，，设，则， 易得函数在上为减函数，在上为减函数， 则函数在上为增函数. 又由在区间上，，且为奇函数， 则在上为增函数.若，必有，解得， 即的取值范围是.故选C． 例5 C 【解析】由y＝x在[1,4]上单调递增，且y＝在[1,4]上单调递减， 可得f(x)＝x－＋1在[1,4]上单调递增. 又f(1)＝0，f(4)＝，故取值范围是.故选C. 对点训练 （1）　[1，2)【解析】　f(x)===1+， 因为f(x)在(a，+∞)上单调递增，所以⇒1≤a<2. （2）　[－1，1)【解析】依题意，得解得－1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[－1，1). （3） 【解析】函数的定义域为[1，＋∞)， 因为y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， 所以f(x)＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数， 所以当x＝1时，f(x)min＝. . 学科网（北京）股份有限公司 $