精品解析：2025年安徽省芜湖市繁昌区第一中学自主招生数学试题

2025年自主招生素质检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．全卷包括“试题卷”（4页）和“答题卡”（2页）两部分． 3．答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不使用计算器． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某文旅景区统计发现，2024年全年接待游客总量为人次．若该景区平均每位游客产生的旅游收入为120元，则2024年该景区的总旅游收入（单位：元）用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动最上面的一块小正方体使得移动后的左视图和俯视图与移动前均相同，则这样的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 3. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的平面内，中，点、分别在边、上，将沿和折叠，点和点重合于点．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（ ） A. B. C. D. 9. 对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在射线上运动，与边所在直线交于点，且，连接．当，时，①；②；③当时，则；④当时，则的面积为．则以上说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 11. 因式分解：______． 12. 如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于________． 13. 已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 14. 已知一列数（其中为正整数），其中，，，，，…，则________，________（用含的表达式表示）． 三、解答题：共5题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. （1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差； （2）先化简代数式：，再求值，其中，． 16. 在平面直角坐标系中，点、、、、的坐标分别为，，，，． （1）请在图1中用无刻度的直尺将线段分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请在图2中用无刻度的直尺画出的内切圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （3）点为上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 17. 如图1，已知四边形内接于，，过点的直线与、的延长线分别交于点和点，的延长线平分并交于点，，，，四边形的面积为． （1）求证：直线是的切线； （2）求线段的长； （3）如图2，连接，求证：． 18. 已知矩形中，． （1）如图1，若且点、分别为、的中点，与交于点，求的长； （2）如图2，若，点为的中点，以点为圆心，为半径作圆，点为的中点，延长交于点，求的值； （3）如图3，若，点在上且，为上任意一点，点在四边形内，且，连接，求的最小值． 19. 如图1，已知二次函数的图象分别与轴、轴交于、、三点． （1）如图2，若点为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点的坐标； （2）若抛物线上有两动点、，且直线与轴正方向夹角的正切值为2，直线、分别与轴交于、两点，证明：为的中点； （3）如图3，若为抛物线上一动点，且，轴，点在轴上，四边形为平行四边形，求当最大时，的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年自主招生素质检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．全卷包括“试题卷”（4页）和“答题卡”（2页）两部分． 3．答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不使用计算器． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某文旅景区统计发现，2024年全年接待游客总量为人次．若该景区平均每位游客产生的旅游收入为120元，则2024年该景区的总旅游收入（单位：元）用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】总旅游收入等于游客总人次乘人均旅游收入，计算出结果后整理为科学记数法形式即可得到答案． 【详解】解：． 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动最上面的一块小正方体使得移动后的左视图和俯视图与移动前均相同，则这样的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 【答案】B 【解析】 【分析】根据移动前后左视图和俯视图不变选择适当的位置解答． 【详解】解：移动最上面的一块小正方体到1，2位置，其左视图和俯视图均相同， 所以这样的位置有2处． 3. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原不等式转化为同类型三角函数，即可求出的取值范围． 【详解】解：，且 原不等式可化为 是锐角，正弦函数在之间随角度增大而增大， ． 4. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上截取一点D，使得，在上截取一点F，使得，过点D作，然后可得，，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，在上截取一点D，使得，在上截取一点F，使得，过点D作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ． 5. 从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，概率公式求概率．简化不等式组得到解集范围，求整数解个数为，令其等于2得，再计算满足条件的概率． 【详解】解：∵不等式组 简化得和 ∴解集为 整数解个数为 令 得 从中选两个不同的数作为和， 总情况数 满足的对为、、，共3种 ∴概率 故选：C． 6. 在如图所示的平面内，中，点、分别在边、上，将沿和折叠，点和点重合于点．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补．先证明得出四边形为圆内接四边形，得出，由折叠知，，故设，在和中，根据勾股定理建立方程，得出，，进而根据正切的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠知，，而， ，即． 又由折叠知，， ， ， ，即， ∴四边形为圆内接四边形． ， ， 由折叠知，， 故设，在和中， 根据勾股定理得，， ，， ， ， 解得，（舍）． ，， ． 故选：A． 7. 已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设切点分别为，过点作轴于点，根据切线长定理得出平分，进而可得，设，得出，根据点在抛物线上，，联立解方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，设与y轴，直线的切点分别为，过点作轴于点， 设， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∵是的切线， ∴平分 ∴ 设， ∴ ∴， ∴ ∵点在抛物线上， ∴． 联立得：， 整理得， 即． ∵， ∴， 即的半径为． 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 9. 对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是函数零点存在性定理的应用，解题关键是理解题意． 根据题意，若函数在闭区间上连续且端点函数值乘积非正，则区间内至少有一个零点，计算各选项端点函数值即可得解． 【详解】函数 在实数范围内连续， 只需验证各选项区间端点函数值乘积是否非正， 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为非正值，符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意； 选项，时，， 时，， 在和时的函数值乘积为正值，不符合题意． 故选：． 10. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在射线上运动，与边所在直线交于点，且，连接．当，时，①；②；③当时，则；④当时，则的面积为．则以上说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形．先证明四边形为圆内接四边形，得出，根据是斜边中点，得出，即可得出，即可判断②，根据和只有一对对顶角相等，即可判断①；当时，得出，即可判断③，根据，，即可证明，设，，，则，在中，根据勾股定理得，解得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：，， ， 四边形为圆内接四边形， ， 是斜边中点， ， ，即，故②正确； 和只有一对对顶角相等，故①错误； 当时，如图，由四边形为圆内接四边形， ， ，过作， 由， ， ， 又点是斜边中点， ， ， ， ， ， ， 而，， ，，故③错误； ，，在中，根据勾股定理得， ∵，， ∴， ， ， 故设，，，则， ， ， ， ． 在中，根据勾股定理得，解得， ，故④正确． 故选：C． 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提出公因式x，再分组提公因式解答． 【详解】解：原式 ， ． 12. 如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质． 连接，，过作，根据已知得出，根据勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 连接，，过作， ， ， ， 为等腰， ， ， ． 故答案为：． 13. 已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意易得，设，然后根据两点间距离公式可得，，，进而根据勾股定理进行分类讨论求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得， 不妨令点在点的左侧， ∴， 设， ∴， ， ， 当为直角三角形，且时，根据勾股定理得：， ∴， 解得，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得：，此时点T与点重合，故不符合题意； 当时，同理可得：， 解得， ∵不符合题意， ∴或， ∴当时，则； 当时，则； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 14. 已知一列数（其中为正整数），其中，，，，，…，则________，________（用含的表达式表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意先计算出前几个数，找到规律即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 三、解答题：共5题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. （1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差； （2）先化简代数式：，再求值，其中，． 【答案】（1）17.6 （2），3 【解析】 【分析】本题考查了求方差，分式的化简求值，特殊角的三角函数值计算，二次根式的混合运算． （1）根据题意先求得平均数，进而根据方差的计算公式进行计算即可； （2）根据分式的混合运算进行计算，再根据二次根式的性质化简，根据特殊角的三角函数值求得的值，代入化简后的代数式进行计算即可求解． 【详解】解：（1）把原数据均减去85得：，0，1，1，2，4，5，8，10，11， ， ； （2） ， ， ， 代入、，∴原式． 16. 在平面直角坐标系中，点、、、、的坐标分别为，，，，． （1）请在图1中用无刻度的直尺将线段分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请在图2中用无刻度的直尺画出的内切圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （3）点为上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1）解：如图1所示为所求： （2） 解：如图2所示为所求： （3）面积的最大值为，． 【解析】 【分析】（1）找到格点，，，，，和格点，，，，，连接，，，，，分别交于，，，．则，，，是线段的五等分点； （2）连接点和格点，则是的平分线，在延长线上找到格点，则，在点下方找到格点，连接，，利用矩形对角线的性质得交点是中点，连接，则是的平分线，与相交于点，则为的内切圆圆心． （3）由图3根据网格的特点可得，且与两平行线间距离为，进而即可求出面积的最大值，由作图知，，求出，，直线的解析式为，设，由勾股定理建立方程求解即可得到点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图3根据网格的特点可得，且与两平行线间距离为， 点为与的切点， 由图3根据勾股定理可得， 即的面积的最大值为； 由作图知，， ∴， ∵点为与的切点， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 17. 如图1，已知四边形内接于，，过点的直线与、的延长线分别交于点和点，的延长线平分并交于点，，，，四边形的面积为． （1）求证：直线是的切线； （2）求线段的长； （3）如图2，连接，求证：． 【答案】（1）证明： 的延长线平分， ， ，即， ， ， ， ， 在和中，， ，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） （3）证明：由（2）得，又， ， ， ， ， 又是的切线， ，即， ∴， ， 又∵， ∴即， 在和中， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据，结合已知得出，进而根据三角形内角和定理可得，即可证明； （2）根据四边形内接于，，根据勾股定理得出，由，设，，，根据四边形的面积为，进而求得的长为6； （3）先求得，又由（1）得得出是的切线，进而证明得出，即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形内接于，， 在和中， 根据勾股定理得：， ， 故设，，， ，化简整理得：，① ， ，即，② 把②代入①得， 解得：，（舍）， 即的长为6． 【小问3详解】 略 18. 已知矩形中，． （1）如图1，若且点、分别为、的中点，与交于点，求的长； （2）如图2，若，点为的中点，以点为圆心，为半径作圆，点为的中点，延长交于点，求的值； （3）如图3，若，点在上且，为上任意一点，点在四边形内，且，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：先证明，得出，进而根据； 解法二：四边形是正方形，根据点、分别为、的中点，证明，勾股定理求得，根据，即可求解； （2）过点作，证明，得出，设则，在中，勾股定理建立方程，解得，进而求得； （3）过作，作，根据三角形的面积公式可得，证明得出，进而可得，证明则，取点为中点，连接，可知，由题意可知，当在连线上时的取值最小，进而根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解法一：由题意可知，，如图1所示． 四边形为正方形， 又为中点，为中点， ， 又且， ， ， 故 ， ∴ ∴， ，故， ． 解法二：如图1所示，， ∵矩形是正方形， ， 点、分别为、的中点， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 【小问2详解】 如图2所示，过点作， ，， ， ，则， 设则 在中有，即， 解得，（舍）， ． 【小问3详解】 如图3所示，过作，作 ， ， ① ， ， 又， ，所以， 故，即，② 由①、②可得， ∵ ∴，即， 又∵， ∴， ， 取点为中点，连接， ∴，则 ∴， 由题意可知，当在以为圆心、半径1的圆上，且在上时，最小， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图1，已知二次函数的图象分别与轴、轴交于、、三点． （1）如图2，若点为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点的坐标； （2）若抛物线上有两动点、，且直线与轴正方向夹角的正切值为2，直线、分别与轴交于、两点，证明：为的中点； （3）如图3，若为抛物线上一动点，且，轴，点在轴上，四边形为平行四边形，求当最大时，的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据得出，，．延长并过作交于点，过作轴，根据得出，，进而可得的坐标为，求得，联立抛物线解析式，进而得出 （2）根据直线与轴正方向夹角的正切值为2，设，，，，，联立直线与抛物线解析式得出，，，，根据得出则线段，故为的中点． （3）设，，表示出，根据二次函数的性质求得当时，的取值最大，此时点坐标为，作关于轴对称点，连接、、，则，，根据四边形为平行四边形，得出 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 当时，， 解得, ，，． ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 如图1所示，延长并过作交于点，过作轴， ∴ 由题意知，又， ， ∴， 的坐标为， 设直线的解析式为，代入， 解得： ， 联立 解得，， 或（舍）， 综上所述，点坐标为． 【小问2详解】 由题意可知，如图2所示． 设，，， ，， 联立解得 联立解得 联立解得 令，解得，， ， 又， ，， 又， ， 线段，故为的中点． 【小问3详解】 因为，且轴， ， ∴， 由题意可知． 设，， ， ， 当时，的取值最大，此时点坐标为， 如图3，作关于轴对称点，连接、、， 则，， 四边形为平行四边形， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，解直角三角形，一次函数与二次函数图象交点问题，二次函数的性质，轴对称的性质求最短线段的和，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $