2025年安徽省芜湖市第一中学高一自招试题数学试卷

2025年高一自主招生考试 数学答题卷 (满分：150分) 一、 选择题（每小题6分，共42分) 题 % 1 2 3 5 6 7 湿 答 案 二、填空题（每小题7分，共49分) 8. 10. 11. 12 13. 14. 三、解答题（本大题共4小题，满分59分，写出必要的解答过程。） 15. (1)(6分) 座位号 □■ (2)(7分) 16.(1)(6分) F A D ⊙ C E (2)(6分) 17.(1)(4分) (2)(7分) B M 图1 (3)(6分) E 图2 18.(1)(3分) (2)(4分) (3)(5分) (4)(5分)2025年高一自主招生考试 数学试卷 （满分：150分) 一、选择题（本大题共7小题，每小题6分，共42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选项填在答 题卡答题栏中) 1.如果关于x的方程(x-3)(x2-6x+n)=0有三个根，且这三个根可以作为一个三角形的三边之长，则 n的取值范围为( ) 27 93> ns9 27 A.0<n≤9 B.n≥ D 4 ns9 2若(1+2x)205=a,+ax+a,x2+ax3++a如sx05(其中x可取任意实数)，则下列选项中不正确 的是() A.4=1 32025-1 B.a0+43+a4++a2024= 2 C.a1-4+43-a4++a25=2 。2生≥2十8—工 223+2 3.在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2+y°≤4x+4y-7的整数点坐标(x,y)有()个 A.9 B.7 C.5 D.3 4.如图，点A,B,C均在二次函数y=x2的图像上，M为线段AC的中点，BM∥y轴， 且MB=3.设A,C两点的横坐标分别为t,,(:<t),则t,-1的值为( ) A.3 B.2V5 C.4 D.2W2 第4题图 5.如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD=BC,连接DG并 延长交AC于点E,则4E=() AC c 第5题图 1 6.若关于x的方程x-5+x-50-x-25=a恰有3个解，则所有符合条件的a之和为( A.70 B.65 C.50 D.45 7.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，若∠AOB=60°，则OA、OB、OC之间满足( A.OA2+OB2=OC2 B.OA2+OB2+√20A·OB=20C2 C.OA2+0B2=20C2 B 第7题图 D.OA+0B+304.OB=20C2 二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共49分) 8.分解因式：3x3-x2+x+2= 9.已知(V2+1x=V2-1,则多项式x4-5x2-4x2-4x+3= 10.己知x,y,z为正数，A=V代2-√2z+z2+V2-√2z+z2,B=√代2+y,则A与B的大小关系 是 11.如图为一个5×5的正方形格子，现在给其中的三个小正方形染色，则被染色的三个小正方形不同行也 不同列的概率为 第11题图 第13题图 第14题图 12.定义新运算※：a※b=a+(a+1)+(a+2)++(a+b-1),其中b为正整数.如果 (x※4)※(2x)=8,则x= 13.如图，已知△OCD是等边三角形，边长为3，以O为顶点，作等边△AOB,边长为6，连接AC、BD, 若等边△AOB绕O点在平面内旋转，则AC+BD的最小值为」 14如图，曲线1是由函数y=19在第一象限内的图像绕坐标原点0逆时针旋转45°得到的，过点 A-6V2,6W②)，B3√2,3V2)的直线与曲线1相交于点M、N,则△OMN的面积为 三、解答题（本大题共4小题，共59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 6D(本题6分)解方程：2x+7x-13=3是： (2)(本题7分)设x,y为实数，求S=(y-1)+(x+y-3+(2x-y-1的最小值. 16.(本题12分)如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA.过点P作PE⊥PA, 交BC的延长线于点E,过点E作EF⊥BP于点F. (1)求证：AP=PE: 2)求CE 的值 PD F A 0 B C 心 17.(本思17分)如图1，抛物线y=x2+(a+3)x+3a≠0)与x轴交于点A(2,0),与y轴交于点B, 在x轴上有一动点E(,O)(0<<2),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P, 过点P作PM⊥AB于点M. (1)求a的值和直线AB的函数表达式： (2)设APN的周长为C,△AEN的周长为C,若9=，求m的值； C,2 (3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE,旋转角为(0°<<90°)， 连接EA、EB,求EA+二EB的最小值. 图1 图2 18.(本题17分)已知抛物线y=x,直线y=+交抛物线于A,B两点，设A(任，y),B(x,) (1)xx2,y2是否为定值，如果是定值则求出该值： (2)设直线与y轴交于F点，求抛物线上的任意一点P(x,)到点F的最小距离： 11 (3) AF BF 是否为定值，如果是定值则求出该值： (4)证明：以线段AB为直径的圆与直线y=-二相切. 42025年高一自主招生考试 数学答案 一、选择题（每小题6分，共42分） 题号 1 2 3 4 6 7 答案 c D C B B A D 二、填空题（每小题7分，共49分） 8. (3x+2)(x2-x+1 9.5-2√5 10.A≥B 6 11. 23 12. 2 13.6√5 14.24 三、解答题（本大题共5小题，满分59分，写出必要的解答过程。） 15.(1)解： 2可x*)+(x+-2=0 2-+-0-0 *女xs-0 x2+6.x+1=0或2x2-5x+2=0 得气-3-25,5=-325孩写-2月 经检验，为=-3-2W5,=-3+25,$=2,龙=是原方程的解 (2)解：S=y2-2y+1+x2+y2+9+2xy-6x-6y+4x2+y2+1-4y-4x+2y =3y2-(2x+6)y+5x2-10x+11 -)4-12+8 =华 当且仅当 x+3=0 9 V x=- 3 → 9 10 x- -=0 7 S取得最小值气 16.解：(1)如图1，在EF上取一点G,使得FG=FP,连接BG、PG, EF⊥BP, ∴.∠BFE=90°， F ,四边形ABCD为正方形， D .∴.∠FBC=∠ABD=45°， G .BF=EF, B C 在△BFG和△EFP中， 图1 「BF=EF ∠BFG=∠EFP, FG=FP ∴.△BFG≌△EFP(SAS), ∴.BG=PE,∠PEF=∠GBF, ,∠ABD=∠FPG=45°， ∴.AB∥PG, ,AP⊥PE, ∴.∠APE=∠APF+∠FPE=∠FPE+∠PEF=90°， .∠GBF=∠APF=∠PEF, .AP∥BG, .四边形ABGP是平行四边形， ∴.AP=BG, .AP=PE (2)连接cG,如图2， ,四边形ABCD为正方形， .AB=CD,AB∥CD, D ,四边形ABGP是平行四边形， ∴.AB∥PG,AB=PG ∴.PG∥CD,PG=CD, B C E 图2 ∴.四边形DCGP是平行四边形， ∴CG=PD,CG∥PD, ,PD⊥EF, .CG⊥EF,即∠CGB=90°， .'∠CEG=45°， ∴.CE=√2CG=V2PD, :cg-5 PD 17.(1)把A(2,0)带入y=x2+(a+3)x+ 0=4a+2a+6+ 3 2 解得a三 5x2+2x 3 y=4++ 2 3 令x=0,则y= 2 设直线AB的解析式为y=+b, 代入，得 2k+b=0 k、3 解得 4 3 33 ∴直线AB的解析式为y=一 4x+2 (2)如图1，，PMLAB,PE⊥OA, ∴.∠PMN=∠AEN, .∠PNME∠ANE, .∴.△PM∽△ANE, 发 PN 1 AN2 NE∥OB, “猫脂 在Rt△AOB中， a-E周 图1 .N) .E(,0)(0<m<2）, Pw=-5 7 34 3 3、 2+一 L十 m2+ , 4 42 2 4 2 5 5 22+。m1 .0-m 4 2 4 1 解得m=2(舍去)，= 经检验，是原方程的浪 w子 (3)如图2，在y轴上取一点M使得OM= ，连接AM',在AM'上取一点E使得 6 OE=OE. :0E=2 1 OE y =3, OM .OB OE' =3, O8'08 OM'OE'' ∠BOE'=∠MOE, 图2 ∴.△MOE∽△E'OB, ..MBOF 1 BB OB=3 Mr-8驱， :当A,M,E三点共线时，AB+BB=AB+EM=AM,此时AB+BB最小， 最小值为AM=2+(月= 145 6 6 18.(1)是定值. 1 V= 3 联立： 1’则x +1=1x2,化简得x2-2x-1=0, y=+ 22 2 x+x3=2k,xx2=-1, n-)-)- .1 xx,=-1,y=4 (2):直线y=+】与y轴交于F点， 1 :抛物线上的任意一点P(x,) 1 % 则2p-0-+}y =0-传j》 -aa0叭，则产-日+o-a+旷- 4 4 4 :抛物线上的任意一点P(,%)到点F的最小距离为2： (3)是定值， =可= ，1 1 +2+片+2 y3+y1+1 =1 ,1,1 2为+4+2方+ 由)知：y= “原式= 当+4+1 2 仍+y+1) 1 六B丽是定值，定值为2： (4),线段AB为直径， 圆心的坐标为： +x2+y2 2 2/ 调心到直线y=方的距日为当》+分 22 +y方-x+广-2]4+2列=2次+1. :d=+业+=k2+1 22 由(1)知：x1+x3=2k,xx3=-1, ∴(x-x)=(x+x)}-4xx=42+4, 0--合-j-+x-广-4k4+4=44到 AB=V(-⅓广+（西-=V压2(4+4+(42+4=V4(+1=2(k2+1) :AB_2图+-+1， 2 2 ..d=AB ∴圆心到直线的距离等于半径， ∴以线段AB为直径的圆与直线y=-】相切. 2