2025年安徽省芜湖市繁昌区第一中学自主招生数学试题

2025年自主招生素质检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．全卷包括“试题卷”（4页）和“答题卡”（2页）两部分． 3．答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不使用计算器． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某文旅景区统计发现，2024年全年接待游客总量为人次．若该景区平均每位游客产生的旅游收入为120元，则2024年该景区的总旅游收入（单位：元）用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动最上面的一块小正方体使得移动后的左视图和俯视图与移动前均相同，则这样的位置有（ ） A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处 3. 若锐角满足，则锐角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 从1，2，3，4四个数中任选两个不同的数分别记为，，则不等式组有且只有两个整数解的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的平面内，中，点、分别在边、上，将沿和折叠，点和点重合于点．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是抛物线在第四象限上一动点，以点为圆心的圆与轴和直线均相切，则的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（ ） A. B. C. D. 9. 对于自变量为的函数，我们把使函数值等于零的实数叫做函数的零点．如果函数在上的图象是一条连续不断的曲线，并且在和时的函数值乘积为非正值，则该函数在范围内至少有一个零点，那么对于函数在下列范围内一定有零点的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点是斜边的中点，点在射线上运动，与边所在直线交于点，且，连接．当，时，①；②；③当时，则；④当时，则的面积为．则以上说法正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 11. 因式分解：______． 12. 如图，已知的半径为4，一条直线经过圆心，另一条直线与分别交于点和点，，，则弦的弦心距等于________． 13. 已知抛物线与轴交于点和点，点为抛物线上的一动点，当为直角三角形时，则点的坐标为______． 14. 已知一列数（其中为正整数），其中，，，，，…，则________，________（用含的表达式表示）． 三、解答题：共5题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 15. （1）现有十名学生参加数学素质测试，测试成绩分别为83，85，86，86，87，89，90，93，95，96，请计算这组数据的方差； （2）先化简代数式：，再求值，其中，． 16. 在平面直角坐标系中，点、、、、的坐标分别为，，，，． （1）请在图1中用无刻度的直尺将线段分为五等分；（保留作图痕迹，不写作法） （2）请在图2中用无刻度的直尺画出的内切圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） （3）点为上一动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 17. 如图1，已知四边形内接于，，过点的直线与、的延长线分别交于点和点，的延长线平分并交于点，，，，四边形的面积为． （1）求证：直线是的切线； （2）求线段的长； （3）如图2，连接，求证：． 18. 已知矩形中，． （1）如图1，若且点、分别为、的中点，与交于点，求的长； （2）如图2，若，点为的中点，以点为圆心，为半径作圆，点为的中点，延长交于点，求的值； （3）如图3，若，点在上且，为上任意一点，点在四边形内，且，连接，求的最小值． 19. 如图1，已知二次函数的图象分别与轴、轴交于、、三点． （1）如图2，若点为抛物线上位于第一象限的一点，且，求点的坐标； （2）若抛物线上有两动点、，且直线与轴正方向夹角的正切值为2，直线、分别与轴交于、两点，证明：为的中点； （3）如图3，若为抛物线上一动点，且，轴，点在轴上，四边形为平行四边形，求当最大时，的最小值． 2025年自主招生素质检测 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．全卷包括“试题卷”（4页）和“答题卡”（2页）两部分． 3．答题一律要求用0.5mm黑色签字笔在答题卡上规定的地方答卷，作图题使用2B铅笔作答，考试不使用计算器． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卡”一并交回． 一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】或 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题：共5题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤． 【15题答案】 【答案】（1）17.6 （2），3 【16题答案】 【答案】（1）解：如图1所示为所求： （2） 解：如图2所示为所求： （3）面积的最大值为，． 【17题答案】 【答案】（1）证明： 的延长线平分， ， ，即， ， ， ， ， 在和中，， ，即， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （2） （3）证明：由（2）得，又， ， ， ， ， 又是的切线， ，即， ∴， ， 又∵， ∴即， 在和中， ，， ， ， ． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 由题意可知，如图2所示． 设，，， ，， 联立解得    联立解得 联立解得 令，解得，， ， 又， ，， 又， ， 线段，故为的中点． （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $