精品解析：广东佛山市萌茵实验学校2025～2026学年第二学期八年级数学学科5月综合素养评价

2025～2026学年第二学期八年级数学学科5月综合素养评价 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共 10 道小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则锐角（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个六边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 25 D. 45 9. 如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形和等边三角形的顶点重合，且点，，在同一条直线上，已知，，连接，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11. 分解因式：_______． 12. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 13. 已知实数，满足，则的值为______． 14. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线交于A，当时，x的取值范围是______． 15. 习总书记提出的“绿水青山就是金山银山 ”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是_____cm． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7分，共 21分） 16. 解不等式组 17. 如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 18. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） （1）________；（直接写出结果） （2）请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； （3）请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 四．解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 先化简，然后从0，，1，，2中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 20. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多少条？ 21. 如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 （1）上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 五．解答题（二）（本大题共 2 小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 八年级某同学在做一次函数作业时，不小心把题目抄写漏了一个条件，原题信息如下：已知一次函数的图象经过点，请你根据下面问题完成解答： （1）请你补充一个合适的条件， ①求一次函数的解析式； ②求出一次函数图象与坐标轴交点的坐标； （2）一次函数的图象不经过第四象限，设，求S的取值范围． 23. 综合实践 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【应用模型】 （2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且,,．若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，若的面积为20，请直接写出四边形的面积为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期八年级数学学科5月综合素养评价 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共 10 道小题，每题 3 分，共 30 分） 1. 下列代数式是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义进行判断，若代数式形如，其中，为整式，且分母中含有字母，则该代数式为分式，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：根据分式的定义判断： 选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项B：是常数，属于整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项C：分母为常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项D：分子是整式，分母是含有字母的整式，满足分式定义，故该选项符合题意． 2. 在中，，则锐角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质进行解答. 【详解】解：∵中，， ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解答该题时利用了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 3. 若，则下列不等式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若， 对选项A，，无法推出，A变形错误； 对选项B，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，B变形错误； 对选项C，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，C变形正确； 对选项D，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，可得，D变形错误． 4. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式，不是乘积形式，不是因式分解； B、，等式右边是差的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解； D、，不是整式，等式右边不是整式乘积，不是因式分解． 5. 若一个六边形的每个外角都是，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】任意多边形的外角和恒为，六边形有6个外角，结合每个外角相等的条件即可计算的值． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该六边形有6个外角，且每个外角都相等， ． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查异分母分式的加法运算，解题的关键是掌握异分母分式的加法运算法则． 需先通分转化为同分母分式，再根据同分母分式加法法则计算． 【详解】解：∵异分母分式相加，先通分，最简公分母为， ∴ 所以结果为， 故选：D． 7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，， 画数轴如图所示， 8. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 25 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 9. 如图，小明在走廊看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出一个数学图形，其中，，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，得到，求出，以及，再根据即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ， ， ， ， ． 10. 如图，等边三角形和等边三角形的顶点重合，且点，，在同一条直线上，已知，，连接，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，利用等边三角形性质求出，再求出，在中利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理求出． 【详解】如图，过作于， ∵三角形是等边三角形，， ∴，， ∵三角形是等边三角形，， ∴， ∴， 在中，， 在中， ．​ 二、填空题（本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，得到答案． 【详解】解：． 12. 若等腰三角形的顶角为，则其底角的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形两底角相等且三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴它的底角度数为， 故答案为：． 13. 已知实数，满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的基本性质对分式进行化简求值． 【详解】解： ， 原式． 14. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线交于A，当时，x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．根据函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知与直线相交于点，则当时，x的取值范围为． 故答案是：． 15. 习总书记提出的“绿水青山就是金山银山 ”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基．小张在数学活动课上用正方形纸片制作成图1的“七巧板”，设计拼成了图2的水杉树树冠．如果已知图1中正方形纸片的边长为2cm，则图2中水杉树树冠的高（即点A到线段BC的距离）是_____cm． 【答案】（） 【解析】 【分析】连接AE，根据等腰直角三角形的性质得到AE＝MN＝1，EF＝BF＝BE＝，于是得到结论． 【详解】解：如图所示，连接AE， 由题意可知ME=NE ∴,均为等腰直角三角形 ∵MN＝BE＝2， ∴AE＝MN＝1， 在中，由勾股定理可得 EF＝BF＝BE＝， ∴水杉树树冠的高＝EF +AE＝+1， 故答案为：（+1）． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7分，共 21分） 16. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解一元一次不等式组的解集，分别求解两个一元一次不等式，再求解集的公共部分． 【详解】解：解不等式 解不等式 不等式解集为 17. 如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断： （1）； （2）； （3）； （4）． 请把上述论断中的三个作为条件，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并给出证明． 【答案】见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意选取条件，写出一个真命题为：如果，，，那么，进而证明，即可得（答案不唯一） 【详解】如果，，，那么. 证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了命题，三角形全等的性质与判定，理解题意写出命题是解题的关键． 18. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） （1）________；（直接写出结果） （2）请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； （3）请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】（1）4； （2）见详解； （3）见详解； 【解析】 【分析】本题考查在网格中只用无刻度的直尺作角平分线，角平分线的性质； （1）观察图形即可解答； （2）过点B连接小正方形对角线即可解答； （3）根据角平分线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则； 【小问2详解】 解：如图即为所求， 由图可知，且点在格点上， ∵正方形对角线平分两个对角， ∴连接小正方形的对角线，即为的平分线； 【小问3详解】 解：如图， 过点作于点，且，再过点作于点，且， ∵，且, ∴是的平分线． 四．解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19. 先化简，然后从0，，1，，2中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值． 【答案】，时，值为．时，值为 ． 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件排除使分母为零的 的值，从给定整数中选取合适的值代入化简结果计算即可． 【详解】解：        ， ∵分式有意义时分母不为，  ∴ ， ，， 解得且 ， 当时，原式 ． 当时，原式 ． 20. 为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球，已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同． （1）绳子和实心球的单价各是多少元？ （2）如果本次购买的总费用不超过510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么绳子最多能购买多少条？ 【答案】（1）绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 （2）绳子最多能购买30条 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并正确列方程和不等式是解题关键． （1）设绳子的单价是元，则实心球的单价是元，根据“84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设绳子能购买条，则实心球能购买条，根据“购买的总费用不超过510元”列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设绳子的单价是元，则实心球的单价是元， 则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， （元）， 答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元 【小问2详解】 解：设绳子能购买条，则实心球能购买条， 则， 解得：， 是正整数， 绳子最多能购买30条． 21. 如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形 （1）上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． （2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值． ②计算： 【答案】（1）B （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可； ②利用平方差公式将原式变形即可求解． 【小问1详解】 解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以. 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的值为3； ② ． 五．解答题（二）（本大题共 2 小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 八年级某同学在做一次函数作业时，不小心把题目抄写漏了一个条件，原题信息如下：已知一次函数的图象经过点，请你根据下面问题完成解答： （1）请你补充一个合适的条件， ①求一次函数的解析式； ②求出一次函数图象与坐标轴交点的坐标； （2）一次函数的图象不经过第四象限，设，求S的取值范围． 【答案】（1）补充条件：一次函数图象经过点．（补充条件不唯一，只要满足即可）①解析式为；②与x轴交点为，与y轴交点为 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）补充条件：一次函数图象经过点． ①运用待定系数法求解即可； ②分别令，，即可求解； （2）先将已知点代入函数式得到k与b的关系，再根据一次函数不经过第四象限的性质，得到b的取值范围，将S用含b的式子表示后即可求出S的取值范围． 【小问1详解】 解：补充条件：一次函数图象经过点． ①∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， 所以这个一次函数解析式为． ②对于一次函数， 令，则，解得． 令，则， ∴这个一次函数与x轴交点为，与y轴交点为． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的图象不经过第四象限， ∴，， 即，解得 ∵， 又， ∴． 23. 综合实践 《被数学选中的人》是央视推出的纪录片，节目中说道：“数学区别于其他学科，最主要的特征是抽象与推理．”几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象．形成一些基本的几何模型，用类比等方法，进行探究，推理，以解决新的问题． （1）如图1，直线经过点，，，过点，分别向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【应用模型】 （2）如图2，在中，，为上一点，是上一点，且,,．若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，若的面积为20，请直接写出四边形的面积为 ． 【答案】（1）证明：， ， ． ， ， ． 在和中， ； （2）5 （3）56 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出，利用证明三角形全等即可； （2）过点作，垂足为，借助（1）证明，得出，利用等角对等边得出等腰三角形，然后根据三线合一即可求解； （3）过点作，交的延长线于点，过点作于点，借助（1）证明，得出相等的边，根据给出三角形的面积求出，表示出相关线段的长度，然后求出相关图形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，过点作，垂足为． 同（1）可得， ． ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，过点作，交的延长线于点，过点作于点． 同（1）得， ． ， 是等腰直角三角形， ． 的面积为20， ． ， ， ， ∴ ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $